2007-2019全国卷高考理科数学数列专题

一．选择题（共14小题）

1．（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（ ）

A．138 B．135 C．95 D．23

2．（2010•大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ） A．5√2 B．7

C．6

D．4√2

3．（2010•大纲版Ⅰ）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ） A．14 B．21 C．28 D．35

4．（2011•大纲版）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（ ） A．8

B．7

C．6

D．5

15．（2012•大纲版）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{𝑎𝑎}

𝑛𝑛+1

的前100项和为（ ）

1009999101A． B． C． D． 101101100100

6．（2012•新课标）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ） A．7

B．5

C．﹣5 D．﹣7

7．（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

8．（2013•新课标Ⅰ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则

1

a1=（ ）

111

A． B．−3 C．

39

1

D．−9 9．（2015•新课标Ⅰ）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ） A．21 B．42 C．63 D．84

10．（2016•新课标Ⅰ）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ） A．18个

B．16个

C．14个

D．12个

11．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ） A．100 B．99 C．98 D．97

12．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ） A．1

B．2

C．4

D．8

13．（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A．440 B．330 C．220 D．110

14．（2017•新课标Ⅰ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）

2

A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8

9.（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则 A. an2n5

an3n10 B. 2C. Sn2n8n

D.

Sn12n2n 2

二．填空题

15．（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为 ．

16．（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8= ． 17．（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则

𝑆9𝑆5

= ．

n33．（2012•新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前60项和为 ．

2118．（2013•新课标Ⅰ）若数列{an}的前n项和为Sn=an+，则数列{an}的通项公

33

式是an= ．

19．（2013•新课标Ⅰ）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 ．

20．（2015•新课标Ⅰ）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn= ．

21．（2016•新课标Ⅰ）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ．

22．（2017•新课标Ⅰ）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则

∑𝑛𝑘=1

1

= ． 𝑆𝑘

23．（2017•新课标Ⅰ）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=

3

14.（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1，a4a6，则

213S5=____________．

三．解答题

24．（2008•全国卷Ⅰ）设函数（fx）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）． （Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数； （Ⅰ）证明：an＜an+1＜1；

𝑎−𝑏（Ⅰ）设b∈（a1，1），整数𝑘≥𝑎1𝑙𝑛𝑏．证明：ak+1＞b．

1

𝑛+125．（2009•全国卷Ⅰ）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+𝑛．

𝑛2

𝑎𝑛

（1）设bn=，求数列{bn}的通项公式；

𝑛

1

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

26．（2009•全国卷Ⅰ）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．

（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式．

4

27．（2010•大纲版Ⅰ）已知数列{an}中，a1=1，an+1=c﹣．

𝑎𝑛

51

（Ⅰ）设c=，bn=，求数列{bn}的通项公式；

2𝑎𝑛−2（Ⅰ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围．

28．（2010•大纲版Ⅰ）已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．

𝑎1𝑎2𝑎𝑛𝑎

（Ⅰ）求𝑙𝑖𝑚𝑆𝑛；（Ⅰ）证明：2+2+…+2＞3n．

𝑛→∞𝑛12𝑛

1

29．（2010•宁夏）设数列满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1 （1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

5

30．（2011•大纲版）设数列{an}满足a1=0且（Ⅰ）求{an}的通项公式；

1−√𝑎𝑛+1∑𝑛（Ⅰ）设𝑏𝑛=，记𝑆=𝑛𝑘=1√𝑛

11−𝑎𝑛+1

−

11−𝑎𝑛

=1．

𝑏𝑘，证明：Sn＜1．

31．（2011•新课标）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅰ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{

32．（2012•大纲版）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（ xn，f（ xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标． （Ⅰ）证明：2≤xn＜xn+1＜3； （Ⅰ）求数列{ xn}的通项公式．

6

1𝑏𝑛

}的前n项和．

34．（2014•新课标Ⅰ）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ

（Ⅰ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

35．（2014•新课标Ⅰ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．

1

（Ⅰ）证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式；

21113

（Ⅰ）证明：++…+＜．

𝑎1𝑎2𝑎𝑛2

36．（2015•新课标Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3 （I）求{an}的通项公式：

（Ⅰ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．

𝑎𝑛𝑎𝑛+1

7

1

37．（2016•新课标Ⅰ）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0． （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

31

（2）若S5=，求λ．

32

38．（2016•新课标Ⅰ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． （Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅰ）求数列{bn}的前1000项和．

17．（2018全国卷）已知数列an满足a11，nan12n1an，设bnan． nb2，b3； ⑴求b1， 8

⑵判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； ⑶求an的通项公式．

21.（2019•新课标Ⅰ）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2,,7)，bP(X0)，cP(X1)．0.8．其中aP(X1)，假设0.5，

,7)为等比数列；

(i)证明：{pi1pi}(i0,1,2,(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

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