高考数学知能优化训练题2

1．(2011年高考山东卷)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

解析：选A.命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．

3a3

2．命题“若a>0，则4a＝4”的逆命题为( )

3a33a3

A．若a≤0，则4a≠4 B．若4a≠4，则a>0

3a33a3C．若4a≠4，则a≤0 D．若4a＝4，则a>0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．

3．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．

答案：若A∪B≠B，则A B

4．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”． (1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

解：(1)命题p的否命题为：“若ac<0， 则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根” (2)命题p的否命题是真命题． 证明如下：∵ac<0，

∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根． ∴该命题是真命题．

一、选择题

1．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( ) A．若x≤y，则x2≤y2 B．若x>y，则x2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．

π

2．命题“若△ABC有一内角为3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题 C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题

解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内

π

角成等差数列，则△ABC有一内角为3”，它是真命题．故选D.

3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( ) A．逆命题、否命题、逆否命题都为真 B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假 C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真 D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真

解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．

4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的( ) A．逆命题 B．逆否命题 C．否命题 D．以上判断都不对

解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若綈y，则綈x，所以p是r的逆否命题．所以选B. 5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )

A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除

解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题． 6．存在下列三个命题：

①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；

②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题． 其中真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.①②正确． 二、填空题

7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．

答案：若a>0，则a>1 若a≤0，则a≤1 8．有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x2<4，则－2①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．

解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．

我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题． ②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点． 由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点． 所以②中的逆命题是真命题． 答案：② 三、解答题

10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假． (1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B； (2)正偶数不是素数．

解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题； 否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题； 逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题． (2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题； 否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题； 逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题． 11．判断下列命题的真假：

(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；

(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．

解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.

(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为

假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．

12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假． 解：∵m>0，

∴12m>0，∴12m＋4>0.

∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式 Δ＝12m＋4>0.

∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．