专题09 指数函数的图像与性质-高一数学期末复习高频考点强化训练(北师大2019版)

—指数函数的图像与性质

考点1 指数函数的概念

1．函数fxmm1a是指数函数，则实数m（ ）

2xA．2 答案：D 【解析】 【分析】

B．1 C．3 D．2或1

根据指数函数的定义，得m2m11，即可求解实数m的值. 【详解】

由指数函数的定义，得m2m1=1，解得m2或1，故选D. 【点睛】

本题主要考查了指数函数的定义，其中熟记指数函数的定义的形式，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2．指数函数y=f（x）的图象经过点（–2，A．8 答案：D 【解析】 【分析】

B．16

1），那么f（4）f（2）= 4C．32

D．64

设指数函数fxa(a0,a1)，由函数图象经过点(2,)，代入即可求得a2，得到指数函数的解

x14析式，即可求解f4f2得值. 【详解】

设指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1），由函数图象经过点（–2，析式为y=2x，所以f（4）f（2）=24×22=64．故选D． 【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中根据指数函数的概念，设出指数函数

11），可得a–2=，解得a=2．所以函数的解44fxax(a0,a1)，代入点的坐标求得a的值，确定函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与

运算能力.

考点2 指数函数的图像

3、设a0且a1,则函数yaxb与ybax在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A．B．C．D．

【答案】C 【解析】 【分析】

根据两个图像得a,b的范围，看能否统一即可.

【详解】

解：对A，ybax中的1b0,0a1，yab中的a1，不能统一，错误；

x对B，ybax中的a0,b1，yab中的a0,1b0，不能统一，错误；

x对C，ybax中的1b0,0a1，yab中的1b0,0a1，正确；

x对D，ybax中的b1，yaxb中的1b0，不能统一，错误； 故选：C. 【点睛】

本题考查函数图像的识别，考查一次函数和指数函数的性质，是基础题. 4、函数f(x)=ax+b-1的图像经过一,二,四象限,则有( ) A．0＜a＜1,0＜b＜1 B．0＜a＜1,b＞1 C．a＞1,b＞0 D．a＞1,b＜0 【答案】A 【解析】 【分析】

对a分成a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，结合指数函数的图像的平移得解. 【详解】

如图:a＞1时,图像上下平移的可能情况:可知不可能同过一二四象限

当0＜a＜1时,满足条件如图:所以0＜1-b＜1.得0＜b＜1

故答案为：A 【点睛】

本题主要考查指数函数的图像和性质，考查函数图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.

5、当0a1时，函数yax与ylogax在同一直角坐标系中的图像是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据函数单调性及二者间的对称性即可得到结果. 【详解】

当0a1时，函数ya与ylogaxx都是减函数，所以观察图像知，D正确．

故选D 【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了反函数的性质，属于基础题. 6、在同一坐标系中，函数y2x与ylog2x的图象都正确的是（ ）

A． B． C．

D．

【答案】A 【解析】 【分析】

把两个函数的解析式运用指数运算的公式和对数运算的公式，化简为指数函数和对数函数的解析式形式，然后选出正确答案. 【详解】

x因为y2x1，所以函数单调递减，排除B，D. 2因为

ylog2xlog1x，所以函数单调递减.排除C.

2故本题选A. 【点睛】

本题考查了对数的运算公式和指数的运算公式，考查了指数函数图象和对数函数图象的识别.

x17、方程log3x的解的个数是（ ）. 3A．0个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．1个 C．2个 D．3个

1分别作出函数y,ylog3x图象,即可根据图象交点个数确定解的个数. 3【详解】

xx1分别作出函数y,ylog3x图象, 3

1由图可知，有2个交点，所以方程log3x的解的个数是2， 3故选：C 【点睛】

本题考查根据函数图象求方程的根的个数，考查数形结合思想方法，属基础题. 考点3 指数函数的性质

8、函数yax20182018（a0且a1）的图象必经过点（ ） A．2018,2019

B．2018,2018

xC．2019,2019 【答案】A 【解析】 【分析】

令x20180，即可得解. 【详解】

D．2019,2018

解：令x20180，得x2018，此时ya2018120182019，

0函数ya故选：A. 【点睛】

x20182018（a0且a1）的图象必经过点2018,2019，

本题考查指数型函数恒过定点问题，是基础题.

2.519、设a2，b2.5，c，则a，b，c的大小关系是（ ） 22.50A．acb 【答案】C 【解析】 【分析】

B．cab C．abc D．bac

直接利用指数函数的单调性求解. 【详解】

2.5因为a22.511，b2.51，c201，所以abc.

故选：C 【点睛】

本题主要考查指数式比较大小，属于基础题.

13x110、已知函数f(x)x,g(x)，则在R上（ ） 3A．f(x)与g(x)都是增函数 B．f(x)与g(x)都是减函数

C．f(x)是增函数，g(x)是减函数 D．f(x)是减函数，g(x)是增函数 【答案】C 【解析】 【分析】

利用幂函数与指数函数的性质即可求解. 【详解】

13由函数fxx，在定义域内为单调递增；

1函数g(x)，在定义域内为减函数； 3故选：

C

x【点睛】

本题主要考查幂函数、指数函数的性质，需熟记性质，属于基础题. 11、不等式2x31的解集是______．

【答案】x|x3

【解析】

不等式2x31得：x30，解得x3. 所以不等式2x31的解集是xx3.

12．已知集合My|y2x,x0，Ny|y2xx【答案】． 【解析】 【分析】

2，则MN等于__．

利用指数函数与幂函数的性质，化简My|y1，Ny|0y1，再利用两个集合的交集的定义求出MN． 【详解】

解：集合My|y2,x0y|y1，Ny|yx2xx2y|0y1，

故MNy|y1y|0y1，

故答案为：． 【点睛】

本题考查了集合的交集及其运算以及指数函数、幂函数的性质，属于基础题．

13、函数fx12x1的定义域为______. x3【答案】3,0 【解析】 【分析】

12x0根据解析式有意义可得，其解集为所求的定义域.

x30【详解】

12x0x0由题设有，∴解得，

x3x30∴x3,0. 故答案为：3,0. 【点睛】

函数的定义域一般从以下几个方面考虑： （1）分式的分母不为零；

（2）偶次根号na（nN,n2，n为偶数）中，a0；

*（3）零的零次方没有意义；

（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.

14．若函数f(x)(2a3)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是________ 3【答案】，2

2【解析】

∴函数fx2a3在R上是减函数,∴02a31,

x解得

33a2，∴实数a的取值范围是(,2)。 2232

答案：(,2)

3xa

15、已知函数f(x)＝x为奇函数．

31

（1）求a的值；

（2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

【答案】（1）a＝－1；（2）函数f(x)在定义域R上单调递增，详见解析 【解析】 【分析】

（1）根据定义域为R的奇函数满足f(0)＝0即可求得结果； （2）由定义法知，当x1（1）因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝

1a＝0，所以a＝－1，经检验满足题意. 1123x1（2）f(x)＝x＝1－x，函数f(x)在定义域R上单调递增．

3131理由：设任意的x1，x2，且x1则f(x1)－f(x2)＝

23x13x23x113x21.

因为x1本题考查指数型复合函数的基本性质，要求学生会根据函数的奇偶性求参数以及利用定义法证明函数的单调性，属基础题.

2x116、已知函数fxx.

21（1）判断并证明函数fx的奇偶性； （2）判断并证明fx在其定义域上的单调性. 【答案】（1）详见解答；（2）详见解答. 【解析】 【分析】

（1）求出f(x)判断与f(x)的关系，即可得出结论；

（2）将f(x)分离常数，任取x1x2，用作差法比较f(x1),f(x2)大小，即可得出结论. 【详解】

（1）f(x)的定义域为实数集R，

xx2112f(x)xf(x)， 2112x所以f(x)是奇函数；

2x12（2）fxx，设x1x2， 1x2121222(2x12x2)f(x1)f(x2)x1x2x1， x22121(21)(21)x1x2,02x12x2,2x12x20,f(x1)f(x2)，

所以f(x)在实数集R上增函数. 【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的证明，意在考查逻辑推理能力，属于基础题. 易错专攻

易错点1 （易错点提醒：忽略指数函数的值域而致错）

x22x17、函数f(x)12的值域为（ ）

A．(0,) 【答案】D 【解析】 【分析】

B．[2,) C．(,2]

D．（0，2]

求出tx22x的值域后可得fx的值域. 【详解】

函数的定义域为R，设tx22x，xR，则t1.

1则02故选：D. 【点睛】

x22x12，故函数的值域为0,2. 21本题考查与指数函数有关的复合函数的值域，此类问题可通过换元法来处理，本题属于基础题. 18、用min{a,b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设fxmin2,x2,10xxx0，则fx的

最大值为______． 【答案】6 【解析】

【分析】

x在同一坐标系内画出三个函数y10x，yx2，y2的图象，以此作出函数fx图象，观察最

大值的位置，通过求函数值，解出最大值． 【详解】

y10x是减函数，yx2是增函数，y2x是增函数，令x210x，x4，此时，

x210x6，如图：

yx2与y2x交点是A、B，yx2与y10x的交点为C（4，6），由上图可知fx的图象如

下：

C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6． 故答案为6. 【点睛】

本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．解答本题的关键是通过题意得出fx的简图．

易错点2 （易错点提醒：忽略对指数函数的底数分类讨论而致错）

19、函数yxa与yax，其中a0，且a1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )

A． B． C． D．

答案：D 【解析】 【分析】

根据一次函数单调性与指数函数单调性，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

因为函数yxa单调递增，所以排除AC选项；

x当a1时，yxa与y轴交点纵坐标大于1，函数ya单调递增，B选项错误；

x当0a1时，yxa与y轴交点纵坐标大于0小于1，函数ya单调递减；D选项正确.

故选D 【点睛】

本题主要考查函数图像的识别，熟记函数单调性即可，属于常考题型.

20、

设y1a2x1,y2a3x，当

y1y2时，求x的取值范围.

当a>1时，x11；当055【解析】

试题分析：对底数a分类讨论，借助指数函数的单调性求得x的取值范围 试题解析： y1>y2即a2x+1>a-3x （1）当a>1时 y=ax在R上单调递增 ∴2x+1>-3x ∴x15 （2）当0y=ax在R上单调递减 ∴2x+1<-3x

x15

∴