2019年吉林省名校高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x∈N|lnx＜1}，则A∩B=（ ）
A. {0,1} B. {1,2} C. {0,1，2} 2. 设复数z满足2−𝑖=𝑖，则|z|=（ ）
𝑧−𝑖
3
A. √4
B. √3
3 C. 3√43 D. 4√3
9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a（2sinB-√3cosC）=√3ccosA，点D是边
BC的中点，且AD=√13，则△ABC的面积为（ ）
2
D. {0,1，2，3}
A. √3
3 B. √2
C. √3或2√3
3
或√3 D. 3√4
10. 函数f（x）=xsin2x+cosx的大致图象有可能是（ ）
A. 1
3. 已知双曲线
𝑥2𝑎2
B. √5
−
𝑦2𝑏2
C. 3 D. √10
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点(√2，√6)，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 男性青年观众 女性青年观众 不喜欢 30 30 B. √2
喜欢 10 50 C. 3 D. √3 A.
B.
4. 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
⃗⃗⃗⃗⃗ =3⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 在△ABC中，若点D满足⃗𝐵𝐷𝐷𝐶，点E为AC的中点，则⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐷=（ ）
⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶𝐴𝐵 A. 6⃗⃗3
5
1
C.
D.
⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+4⃗⃗𝐴𝐶B. 4⃗⃗⃗⃗⃗
11
⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶𝐴𝐵 C. 4⃗⃗4
31
⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶𝐴𝐵 D. 6⃗⃗3
51
6. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（ ）
A. 4 B. 13 C. 40 D. 41
7. 将函数f（x）=sinx的图象向右平移4个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）g（x）
的最大值为（ ）
𝜋
11. 已知四棱锥S-ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠DAB=π，SA=2，𝐵𝐶=
𝜋
2√63
，二面角S-BC-A
的大小为3．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 4√2𝜋 A. (−∞,1)
1
B. 4𝜋 B. (−∞,1]
C. 8𝜋 C. (−∞,2)
D. 16𝜋 D. (−∞,2]
12. 已知函数f（x）=ex-e-x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（ ） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 二项式(√𝑥−𝑥)5的展开式中x-2的系数是______．
𝑥+2𝑦−4≤0，14. 设x，y满足约束条件{𝑥−𝑦−1≤0，，则𝑧=𝑥+3的最大值是______．
𝑦+2
A.
2+√24
B.
2−√24
C. 1
D. 2
1
2𝑥+𝑦+1≥0，-mcos10°=2cos140°15. 已知sin10°，则m=______．
16. 已知A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，
0），则x0的取值范围是______．（用p表示） 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. 已知数列{an}为等差数列，a7-a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=𝑎
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1
𝑛𝑎𝑛+1
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn=25，求n的值．
2
18. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E
是线段D1O的上一点．
（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；
（2）能否存在点E使得平面CDE上平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．
19. 随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，
在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数yi（单位：人）与时间ti（单位：年）的数据，列表如下： ti yi 1 24 2 27 3 41 4 64 5 79
20. 顺次连接椭圆𝐶：𝑥2𝑎2
+
𝑦2𝑏2
=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为√3且面积为2√2的菱形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为−2（O为坐标原点），线段OA上有一点M满足|𝑂𝐴|=3，连接BM并延长椭圆C于点N，求|𝐵𝑁|的值．
21. 已知函数f（x）=x2-2x+2alnx，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)+𝑙𝑛2+2＞0．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：{𝑦=𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ=6（ρ∈R）．
（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（2）若直线C3的方程为y=-√3x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2√3，求a的值．
23. 已知函数f（x）=|4x-1|-|x+2|．
（1）解不等式f（x）＜8；
（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2-8a的解集不是空集，求a的取值范围．
𝜋
𝑥=𝑎(1+𝑠𝑖𝑛𝑡),3
|𝑂𝑀|
2
|𝐵𝑀|
1
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） 附：相关系数公式𝑟=
∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)𝑛22√∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)√∑𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)
−−−
−
=
∑𝑛𝑖=1𝑡𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑡𝑦−−−
−𝑛22√∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)√∑𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)
，参考数据√5695≈75.47．
（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：每满600元可减100元；
方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为2，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率； ②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
1
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
故选：C．
由分层抽样的性质列方程能求出n的值．
本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】B
【解析】
解：B={1，2}，A={0，1，2，3}； ∴A∩B={1，2}． 故选：B．
可解出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算． 2.【答案】D
【解析】
解：==+=+（）=，
故选：B．
，∴z-i=2i+1，可得z=3i+1． ．
由平面向量基本定理及共线向量的运算得：
）=
，得解．
=
=
+
=
+（
解：∵复数z满足则|z|=故选：D．
=
本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题． 6.【答案】C
【解析】
利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】A
【解析】
解：模拟程序的运行，可得 A=1，B=0
满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2
解：双曲线由题意可得
=
（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3
，即b=
=a，
满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4
=2．
满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5
即有双曲线的e==故选：A．
此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．
求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．
故选：C．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的
属于基础题． 4.【答案】C
【解析】
运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
，
7.【答案】A
【解析】
解：由分层抽样的性质得：
解得n=24．
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解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移则g（x）=sin（x-），
个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，
cosC）=ccosA， 解：∵a（2sinB-sinAcosC=sinCcosA， ∴2sinAsinB-sinAcosC+sinCcosA=即2sinAsinB=
∵sinB≠0， ∴2sinA=
，即sinA=
，即A=
或
sin（A+C）=sinB，
则y=f（x）g（x）=sinx•sin（x-）=-[cos（2x又-1≤cos（2x
）≤1，
，
）-cos]=-cos（2x）+，
∵点D是边BC的中点， ∴
=（
2=
所以函数y=f（x）g（x）的最大值为故选：A．
+（
），
2+
2+2
平方得即
•），
由三角函数图象的平移得：g（x）=sin（x-），由积化和差公式得：y=f（x）g（x）=sinx•sin（x-）=-[cos（2x
）-cos
]=-cos（2x
）+
，由三角函数的有界性及最值得：因为-1≤cos（2x
，得解．
=（b2+c2+2bccosA），
即13=1+c2+2ccosA， 若A=若A=
则c2+c-12=0得c=3或c=-4（舍），此时三角形的面积S=bcsinA=则c2-c-12=0得c=4或c=-3（舍），此时三角形的面积S=bcsinA=
或
，
==
，
）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为
本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题． 8.【答案】B
【解析】
综上三角形的面积为故选：D．
解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC， 其中底面△ABC是边长为2
的等边三角形，
根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出c的值进行求解即可．
平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2， ∴BO=
∴该几何体的体积为：
=3，SO=
=1，
本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键．
V===
．
10.【答案】A
【解析】
解：f（-x）=-xsin（-2x）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D， 由f（x）=x2sinxcosx+cosx=0，得cosx（2xsinx+1）=0， 得cosx=0，此时x=或
， ，
，在（0，2π）内的图象，由图象知
的等边三角形，
由2xsinx+1=0得sinx=-
故选：B．
由几何体的三视图得该几何体三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，由此能求出该几何体的体积．
作出函数y=sinx和y=-本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、空间中线线、线面、面面间的位置关系
两个函数此时有两个不同的交点，
等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 9.【答案】D
【解析】
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综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，
故选：A．
判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键． 11.【答案】C
【解析】
12.【答案】D
【解析】
解：令g（x）=ex-e-x-mx，x∈（0，+∞）， 则g′（x）=ex+e-x-m，x∈（0，+∞），
易得函数y=ex+e-x＞2在x∈（0，+∞）恒成立， 故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）=0，故f（x）＜mx恒成立， 当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增， 故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）=0，
解：如下图所示，
故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
又g（0）=0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，
由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=π，所以，
∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA． 又BC⊥AB，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，
∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S-BC-A的平面角为∠ABS，即在Rt△ABS中，
所以，直角△ABC的外接圆直径为
．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档
，即四边形ABCD的外接圆直径为AC=2．
题．
∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S-ABCD的外接球直径为因此，该球的表面积为4πR2=π×（2R）2=8π． 故选：C．
令-先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二
x-2的系数=-面角S-BC-A的平面角为圆的直径AC，然后利用公式式可得出的答案．
本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接
故答案为：-10．
计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14.【答案】5
【解析】
，则A、B、C、D四点共圆．
故m≤2，
即m的范围是（-∞，2]， 故选：D．
．
求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．
，
13.【答案】-10
【解析】
解：二项式
的展开式中通项公式：Tr+1=
=（-1）r
．
=-2，解得r=3．
=-10．
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解：x，y满足约束条件则
，满足的可行域如图：
∵A，B是抛物线上的两个点， ∴y12=2py1，y22=2py2，
的几何意义是可行域内的点
代入上式得x0=p+
，
与（-3，-2）连线的斜率，
∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，
经过A时，目标函数取得最大值．
则得x0=p+
由则
，可得A（-2，3），
即x0的取值范围是（p，+∞），
的最大值是：
=5．
故答案为：（p，+∞）．
故答案为：5．
设出A，B坐标，结合线段AB垂直平分线的性质建立|PA|=|PB|，利用点在抛物线上利用消参法
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．
进行转化求解即可
本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键． 15.【答案】√3
【解析】
＞p，
本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．
=
=
=
，
17.【答案】解：（1）设数列{an}为公差为d的等差数列，
a7-a2=10，即5d=10，即d=2， a1，a6，a21依次成等比数列，可得
a62=a1a21，即（a1+10）2=a1（a1+40）， 解得a1=5，
则an=5+2（n-1）=2n+3； （2）bn=𝑎
1
𝑛𝑎𝑛+1
解：由题意可得m==故答案为：
．
把已知等式变形，可得m=弦即可．
==30°+10°，化40°，展开两角差的余
=(2𝑛+3)(2𝑛+5)=2（2𝑛+3-2𝑛+5），
1
1111
1
1
1111
本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 16.【答案】（p，+∞）
【解析】
即有前n项和为Sn=2（5-7+7-9+…+2𝑛+3-2𝑛+5） =（-）=5(2𝑛+5)， 252𝑛+5
由Sn=25，可得5n=4n+10， 解得n=10．
【解析】
2
1
1
1
𝑛
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）， ∴AB不平行于y轴． 即x1≠x2，
（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
则|PA|=|PB|
（2）求得bn=
则
=
；
n．
=
=（
-），运用裂项相消求和可得Sn，解方程可得
整理得（x1-x2）（x1+x2-2x0）=y22-y12，
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本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：（1）不妨设正方体的棱长为2，
DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 以DA，
则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）． 因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为(2，2，1)．
11
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以⃗𝑂𝐷1=(−1，−1，2)，𝐷𝐸=(2，2，1)，𝐷𝐶=(0，2，0)．
1
1
CD1O的一个法向量，利用向量法能求出结果．
本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
22∑5【答案】解：（1）由题知𝑡=3，，， 19.√∑𝑛√∑𝑛𝑦=47，𝑖=1𝑡𝑖𝑦𝑖=852，𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)=√2278𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)=√10
−
−
−
−
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⃗ ⋅⃗𝑝𝐷𝐸
设𝑝即⃗ =(𝑥，𝑦，𝑧)是平面CDE的法向量，则{
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⃗ ⋅𝐷𝐶𝑝
𝑥+𝑦+𝑧=0，2{2，
2𝑦=0.
取x=2，则z=-1，所以平面CDE的一个法向量为𝑝⃗ =(2，0，−1)．
𝑂𝐷1⋅𝑝⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 〉=|𝑂𝐷=所以𝑐𝑜𝑠〈𝑂𝐷1，𝑝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑝⃗ |
1
则𝑟=
∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)𝑛2√∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)√∑𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)
−−−−
=
∑𝑛𝑖=1𝑡𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑡𝑦−−−
−𝑛√∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)√∑𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)
=2
√=222780147147√≈150.94≈0.97＞0.75． 5695147
故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．
0
()3=， （2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则𝑃(𝐴)=𝐶328
1
1
11
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
−1×2+2×(−1)√(−1)2+(−1)2+22⋅√22+(−1)22√30
． 15
=−
2√30
． 15
故所求概率为𝑃=1−𝑃(𝐴)𝑃(𝐴)=64．
②若选择方案一，则需付款1000-100=900（元），
3
800，900，1000.𝑃(𝑋=700)=𝐶3()3=；𝑃(𝑋=800)=若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，28021
𝐶3(2)2×2=8；𝑃(𝑋=900)=𝐶3×2×(2)2=8；𝑃(𝑋=1000)=𝐶3(2)3=8．
1
1
3
1
1
3
1
1
1
1
63
所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为
（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷1𝐸=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑂．
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶=(−1，1，0)，⃗𝑂𝐷1=(−1，−1，2)．
⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑚𝑂𝐶=0，−𝑥+𝑦=0,
设𝑚，即{−𝑥−𝑦+2𝑧=0,． ⃗⃗⃗ =(𝑥，𝑦，𝑧)是平面CD1O的法向量，则{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⋅⃗𝑚𝑂𝐷1=0，取x=1，则y=1，z=1，所以平面CD1O的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗ =(1，1，1)．
𝜆𝜆2
因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷1𝐸=𝜆⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑂，所以点E的坐标为(𝜆+1，𝜆+1，𝜆+1)．
所以𝐸(𝑋)=700×8+800×8+900×8+1000×8=850（元）， 因为850＜900，所以选择方案二更划算．
【解析】
1331
（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；
（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次； ②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择． 本题考查了线性回归方程，属中档题．
20.【答案】解：（1）由题可知2𝑎𝑏=2√2，a2+b2=3，
解得𝑎=√2，b=1． 所以椭圆C的方程为
𝑥22
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(所以𝐷𝐸
，𝜆+1，𝜆+1)，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶=(0，2，0)． 𝜆+1
𝜆𝜆2
𝜆𝜆2⃗⃗⃗⃗⃗ =0，⃗ ⋅⃗𝑛𝐷𝐸𝑥+𝑦+𝑧=0，𝜆+1𝜆+1设𝑛即{𝜆+1． ⃗ =(𝑥，𝑦，𝑧)是平面CDE的法向量，则{
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，2𝑦=0.⃗ ⋅𝐷𝐶𝑛
取x=1，则𝑧=−2，所以平面CDE的一个法向量为𝑛⃗ =(1，0，−2)． ⃗⃗⃗ ⊥𝑛⃗ ，即𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ =0，1−=0，解得λ=2． 因为平面CDE⊥平面CD1O，所以𝑚
2
1
所以λ的值为2．即当|𝐸𝑂=2时，平面CDE⊥平面CD1O． ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
𝜆𝜆
𝜆
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐷𝐸|
+𝑦2=1；
|𝐵𝑀|
【解析】
（1）设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线OD1与平面CDE所成角的正弦值． （2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设
．求出平面CD1O的法向量，平面
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），|𝐵𝑁|=𝜆．N（x3，y3）， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴𝑀(2𝑥1，2𝑦1)， ∵𝑂𝑀333
22
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥3−𝑥2，𝑦3−𝑦2)． 𝐵𝑀=(3𝑥1−𝑥2，3𝑦1−𝑦2)，𝐵𝑁∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(𝑥1−𝑥2，𝑦1−𝑦2)=𝜆(𝑥3−𝑥2，𝑦3−𝑦2)， 又∵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑀=𝜆⃗𝐵𝑁33
22
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即𝑥3=3𝜆𝑥1+
2𝜆−1𝜆
𝑥2，𝑦3=3𝜆𝑦1+
2𝜆−1𝜆
𝑦2．
+(
23𝜆
（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a的范围即可；
𝑦1+
𝜆−1𝜆
∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴即
49𝜆2
2
(2+𝑦1)+
2𝑥1
2𝜆−1
(𝑥1+𝑥)23𝜆𝜆2
2
𝑦2)2=1，
(𝜆−1)2𝜆2
2
(2+𝑦2)+
2𝑥2
4(𝜆−1)𝑥1𝑥23𝜆2
（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可． 本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道综合题．
22.【答案】解：（1）曲线C1：{𝑦=𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡（a＞0，t为参数）．
转换为直角坐标方程为：（x-a）2+y2=a2，
该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆． 圆的极坐标方程为ρ=2acosθ． （2）直线C3的方程为y=-√3x， 转换为极坐标方程为：𝜃=
5𝜋3
𝑥=𝑎(1+𝑠𝑖𝑛𝑡),
(
2
2𝑥1
+𝑦1𝑦2)=1．（*）
22+𝑦1=1，①2+𝑦2=1，②
𝑥1𝑥22
2𝑥2
∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴又直线OA，OB斜率之积为−2，∴𝑥将①②③代入（*）得【解析】
+9𝜆2
4
(𝜆−1)2𝜆21
𝑦1𝑦2
1𝑥2
21
=−，即2
+𝑦1𝑦2=0，③
=1，解得𝜆=18．
13
（1）由菱形的面积公式可得2ab=2程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
．N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合，由勾股定理可得a2+b2=3，解方程即可得到所求椭圆方
．
将𝜃=6，𝜃=
𝜋5𝜋3
代入ρ=2cosθ，
直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．
本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．
21.【答案】（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
所以𝑓′(𝑥)=2𝑥−2+
2𝑎𝑥
解得：𝜌1=√3𝑎，𝜌2=𝑎，
则：𝑆△𝑂𝑀𝑁=2⋅√3𝑎⋅𝑎⋅𝑠𝑖𝑛(6+3)=2√3， 解得：a=2． 【解析】
1
𝜋
𝜋
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．
（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．
−3𝑥+3，𝑥≤−2 1
23.【答案】解：（1）由题意可得f（x）=−5𝑥−1，−2＜𝑥＜4，
3𝑥−3，𝑥≥1
4{当x≤-2时，-3x+3＜8，得𝑥＞−3，无解；
当−2＜𝑥＜4时，-5x-1＜8，得𝑥＞−5，即−5＜𝑥＜4； 当𝑥≥4时，3x-3＜8，得𝑥＜3，即4≤𝑥＜3． 所以不等式的解集为{𝑥|−5＜𝑥＜3}． （2）f（x）+5|x+2|=|4x-1|+|4x+8|≥9，
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9
11
1
11
1
11
1
9
9
1
5
=0在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，
即x2-x+a=0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2． 所以{𝑎>0, 解得0＜𝑎＜4．
（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2-x+a=0的两个不等的实根，
1𝑥+𝑥2=1,
0＜𝑎＜所以{𝑥11其中． 𝑥2=𝑎,4
1
△=1−4𝑎>0,
故𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=−2𝑥1+−2𝑥2+2𝑎𝑙𝑛𝑥2
=（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2aln（x1x2） =2alna-2a-1，
令g（a）=2alna-2a-1，其中0＜𝑎＜4．故g'（a）=21na＜0， 所以g（a）在(0，4)上单调递减，则𝑔(𝑎)＞𝑔(4)=−𝑙𝑛2−2， 即𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)+𝑙𝑛2+2＞0． 【解析】
3
1
1
3
1
2𝑥12
2𝑎𝑙𝑛𝑥1+𝑥2
则由题可得a2-8a＞9， 解得a＜-1或a＞9． 【解析】
（1）求出f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可； （2）求出f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
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