线性代数期末考试复习资料

下方是正文

1. 余子式Mij和代数余子式Aij，Aij(1)ijMij，Mij(1)ijAij。 2. 对称矩阵：AA。

TA11*3. 伴随矩阵AA1n列。

An1，组成元素Aij，书写格式：行元素的代数余子式写在Ann114. 逆矩阵ABBAE，称A可逆。若A可逆，则AAAAE.

A15. 分块对角阵AOOA111，AA1A2，AA2OO。 1A26. 初等行（列）变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k；③ 某行（列）

的k倍加到另一行（列）。

7. 等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵P,Q，使得PAQB。 8. 初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① E(i,j)；② E(i(k))；③

E(j,i(k))。

9. 矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。r(A)kDk0,Dk10。 10. 线性表示：存在k1,k2,,kn使得k11k22knn，等价于非齐次方程组

Ax有解k1,k2,,kn。

,kn，使得k11k2211. 线性相关：存在不全为0的数k1,k2,齐次方程组Ax0有非零解。 12. 线性无关：k11k22组Ax0仅有零解。 13. 极大无关组：1,2,knn0，等价于

knn0成立k1k2kn0，等价于齐次方程

,n中r个向量1,2,① 线性无关；②1,2,,r满足：,n,r中任意向量可由其表示或1,2,则称1,2,,n中任意r1个向量线性相关，

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为1,2,,n的极大无关组。

,n可由向量组1,2,,m表示：1,2,,n中任意一个向量可由

14. 向量组1,2, 1,2,,m表示，等价于BXA有解，B(1,2,,m)，A(1,2,,n)。15. 向量组1,2,,n与向量组1,2,,m等价：两个向量组能相互线性表示。

,s是方程组的解，且满足① 线

16. 齐次方程组Ax0基础解系：第一种描述：设1,2,性无关；② 任意一个解可由其表示。第二种描述：nr(A)个线性无关的解。 17. 特征值和特征向量：Axx,x0。

18. 相似矩阵：存在可逆矩阵P，使得PAPB，则称A,B相似。

19. 相似对角化：根据方阵A，找到可逆矩阵P和对角阵，使得PAP。 20. 内积：[,]Ta1b1a2b221. 正交：[,]0。

22. 正交矩阵：AAE或者AA。特点：A的列（行）为两两正交的单位向量。 23. 二次型：fxTAx，其中A为对称阵。

24. 合同矩阵：存在可逆矩阵C，使得CACB，则称A,B合同。

2225. 标准型：fyTy1y12y22。 nynTTT111anbn。

26. 正负惯性指数：标准型中正负系数的个数。 27. 正定二次型：x0,fxAx0。

28. 正定矩阵A：对称阵A使得fxAx为正定二次型。

TT基本定理

1. 行列式按行按列展开定理：Dai1Ai1ai2Ai2逆过程应用：已知Daij应的b1,b2,nnainAina1jA1ja2jA2j anjAnj．

，求b1Ai1b2Ai2bnAin．将D中第i行元素换成对

bnAinD1。

1*1AA*AA1。 2. An为可逆矩阵A0；An为可逆矩阵AA推论：方阵A,B满足ABE，则：①BAE；②A可逆，且AB。

1,bn，得到D1，则：b1Ai1b2Ai22 / 11

3. 对矩阵A进行一次初等行（列）变换，等价于在矩阵A的左（右）边乘以一个与之对．．

应的初等矩阵。

4. 初等变换不改变矩阵的秩。

5. 非齐次方程组Amnxb有解b可由A的列线性表示r(A)r(A,b)；唯一解

r(A)r(A,b)n；无穷多解r(A)r(A,b)n；

非齐次方程组Amnxb无解b不能由A的列线性表示r(A)r(A,b) 特别地：当方程组的系数矩阵A为方阵时：唯一解A0。

6. 齐次方程组Amnx0仅有零解A的列向量组线性无关r(A)n；齐次方程组

Amnx0有非零解A的列向量组线性相关r(A)n。

7. 矩阵方程AXB有解B的列可由A的列线性表示r(A)r(A,B)；B的列与

A的列等价r(A)r(B)r(A,B)。

8. 矩阵A通过初等行变换变成矩阵B，则A,B行向量组等价，列向量组有相同的相关性． 9. 齐次线性方程组

Amnx0系数矩阵的秩r(A)rn，则存在基础解系

1,2,,nrk1,k2,，并且Ax0的通解为

xk11k22knrnr，其中

,knr为任意常数．

10. 不同特征值对应的特征向量线性无关；实对称阵不同特征值对应的特征向量正交。 11. 相似矩阵有相同的秩和相同的特征值。

12. 方阵可对角化A有n个线性无关的特征向量k重特征值i，

r(AiE)nk；实对称阵一定可以对角化；A有n个不同的特征值则A一定可以

对角化。

13. 实对称阵一定可以对角化，并且一定存在正交阵Q，使得Q14. 任意二次型f1AQQTAQ.

i,j1axxijinj(aijaji)，总有正交变换xQy，化f为标准形

22，其中1,2,f1y122y2nynT,n是f的矩阵A(aij)的特征值.

2215. 设二次型fxAx的秩为r，且二次型的标准型分别为f1y12y22fk1z12k2z2ryr2和

krzr2，则系数1,2,3 / 11

,r和k1,k2,,kr中正负个数相等.

16. 对称阵A正定二次型fxTAx为正定二次型二次型fxTAx的规范型为

2y12y22ynA的特征值全为正A的各顺序阶主子式全大于0。

基本性质

1. 行列式运算性质：转置不变；对换取反；数乘可提；行列拆分；叠加不变。

2. 矩阵乘法：① ABOAO或BO；② ABBA；③ ABACBC。 3. 矩阵转置：①(AT)TA

③ (kA)TkAT

② (AB)TATBT ④(AB)TBTAT

n4. 方阵的行列式：①方阵A,B，ABAB ②kAkA，A为n阶方阵。 5. 伴随矩阵：①AAAAAE； 6. 逆矩阵：①(A1)1A；

n1②AA；

③ (kA)*kn1A*

②(kA)111A； k⑤A1③(AB)1B1A1；

1④(AT)1(A1)T， A。

17. 初等矩阵：E1(i,j)E(i,j)，E(i(k))E(i())，E1(i,j(k))E(i,j(k))。 8. 初等变换与初等矩阵：A可逆A等于有限个初等矩阵的乘积；A可逆，则AB为对

1kB进行初等行变换，BA为对B进行初等列变换。

9. 行阶梯矩阵的秩等于其非零行的行数。 10. 秩：①r(Amn)min{m,n}；

②r(AB)minr(A),r(B)； ④ r(AB)r(A)r(B)；

T③r(A)r(A,B)r(A)r(B)；

⑤AmnBnkO，则r(A)r(B)n； ⑥r(A)r(A)；

nr(A)n*⑦r(A)1r(A)n1.

0r(A)n211. A，,为n维非零列向量，则r(A)1。 12. 向量组A:1,a2,量线性表示．

13. 设向量组1,2,3线性无关，向量组

T,m线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向

1,2,3可由1,2,3线性表示，即

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c11(1,2,3)(1,2,3)c21c31c12c22c32c13c23，则1,2,3无关C0． c3314. 相关组添加向量仍相关，无关组减少向量仍无关；无关组添加分量仍无关，相关组减少

分量仍相关。 15. 设向量组1,2,量组1,2,,m线性无关，而1,2,,m,线性相关，则向量必能由向

,m线性表示，且表示式是惟一的．

16. 向量组与它的极大无关组等价；

17. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩． 18. 设1,2,,nr是齐次方程组Ax0的基础解系，*是非齐次方程组Axb的一个

特解，则Axb的通解xk11k22任意常数．

19. 设A的特征值为1,2,，其中k1,k2,,knr为knrnr*，

,n，则：①12na11a22ann；②

12nA．

20. A,B同型且秩相等A,B等价；方阵A,B可对角化，且有相同特征值A,B相似；

对称阵A,B的特征值正负个数对应相等A,B合同。 21. 设Axx，则有下表： 矩阵 特征值 特征向量

A A2 f(A) f() A1 A* AT P1AP  2 x 1 x A/  /  P1x x x x 基本方法

1. 求行列式：方法一、利用行列式的性质化三角行列式；方法二、利用性质尽可能多的化

行列式的某行（列）元素为零，然后依此行（列）用Laplace展开。

2. 求解矩阵方程：方法：通过矩阵运算将方程化为AXB,XAB,AXBC三种方式，

具体运算放最后一步，注意左，右乘。

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B（行阶梯矩阵）3. 求矩阵的秩：A具体时，将A，r(A)r(B)B中非零行的行

数；A为抽象矩阵时，利用秩的不等式证明rr(A)r. 4. 讨论向量组的相关性：① 1,2,与个数的关系；②.

r,s具体时，构造矩阵A(1,2,,s)，比较秩

1,2,,s抽象时，先设k11k22kss0，通过恒等

变形或乘法，或重组，得到k1k2ks0，或者用秩的理论判断，

r(1,2,,s)s.

r,s)B行阶梯

5. 求极大无关组：将向量组的各向量做为矩阵的列，A(1,2,矩阵，向量组的秩等于矩阵B的秩，每个阶梯上取一列（一般取阶梯竖线右边的第一列），

构成极大无关组。

6. 求基础解系和通解：先求r(A)，得nr(A)，通过矩阵的运算，求出AxO的nr(A)各线性无关的解及Axb的一个特解，再利用解的结构得到通解。

7. 含参数方程组Axb求解：①．(A|b)行阶梯型，讨论r(A)r(A|b)?b可

否由A的列线性表示；②．特别，当A为方阵时，求出A0的条件，即唯一解的条件，再把A0中的参数代入原方程组，继续由r(A)r(A|b)?，判断是表达式不唯一，还是不能由其表示。

8. 方阵特征值，特征向量求法：① 解AE0，得根1,2,r,n，② 解方程组

(AiE)x0，得基础解系1,2,k11kss，其中k1,k2,,s，从而得到对应i的特征向量为

,ks不全为0.

9. 方阵对角化：①AE0求特征值；②(AiE)x0得所有特征值的特征向量

1,2,,n；③ 令P(1,2,1,n)，1PAP。 ，则n10. 二次型正交变换下化标准形：① 写出对称阵A，② 求AE0，得特征值

1,2,,n，③ 将每一个特征值代入(AiE)x0，得基础解系1,2,,s，正

交单位化（一个向量时，只要单位化），最终得到所有特征值对应的（特征）向量

1,2,,n，④Q(1,2,,n)，令xQy，得二次型的标准形

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22。【其中②，③，④步也为对称阵通过正交矩阵Q对角化f1y122y2nyn的步骤。】

基本例题

221.

3406D341434126412 38100622822422823303304120

330334040044041000112. 已知A110，B101且X(EB1A)TBTE，求X．

111110解：X(EB1A)TBTEX[B(EB1A)]TEX(BA)TE

100TT (BA)110，(BA)1，所以(BA)T可逆

111100T1故X((BA))110。

2113. 设1(1,2,1,0)T,2(4,5,0,5)T,3(1,1,3,5)T,4(0,3,1,1)T．

(1)求向量组1,2,3,4的秩及其一个最大无关组；

(2)把该向量组的不属于最大无关组其他向量用这个最大无关组线性表示．

12解：令A(1,2,3,4)1041510355031110000311000000 10(1). r(1,2,3,4)r(A)3，极大无关组为1,2,4 (2). 331204.

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4. 设向量1(a,1,1),2(1,a,1),3(1,1,a)和(1,a,a2)T，确定a的值，使得

TTT⑴能由1,2,3唯一线性表示； ⑵不能由1,2,3线性表示；⑶能由

1,2,3线性表示，但表示式不唯一。

解：【含参数，线性表示问题非齐次方程组解的存在性讨论，未知数个数等于方程个数】 设A(1,2,3)，则|A|1a11a1(a2)(a1)2，

11a故 ⑴当a2、1时，|A|0，Ax有唯一解，即能由1,2,3唯一线性表示；

11rrr2111213212121212 ⑵当a2时，由(A|)110124003可知：r(A)23r(A|)，Ax无解，即不能由1,2,3线性表示；

⑶当a1时，123。显然，能由1,2,3线性表示，且表示式不唯一。

5. 已知线性方程组

x1x22x33x40,2xx6x4x1,1234 3x2xax7x1,2341x1x26x3x4b,讨论a,b为何值时：（1）方程组无解；（2）有解，并求其通解． 解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换，得：

112301216410(Ab)32a7101161b013011221000a800000b202111221，

0a800000b204(1)当b2时，R(Ab)R(A),方程组无解; (2) 当b2时，R(Ab)R(A),方程组有解;

ⅰ) 当a8时，R(Ab)R(A)24,方程组有无穷多解,此时

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10(Ab)000411411221x14x3x40,22，，得基础解系：,

100000x22x32x40000001x14x3x41,，得特解：(1100)T x22x32x41411221得通解Xc1c2（c1,c2为任意常数）．

100010ⅱ) 当a8时，R(Ab)R(A)34,方程组也有无穷多解,此时

10(Ab)000011x1x41,1021，即x22x41,

0100x0,300001121得通解Xc（c为任意常数）．

0010111426.设矩阵A与B相似，且A233a1200B020

00b(1)求a,b的值；(2) 求可逆阵P，使PAPB． 解：(1) A6(a1)22b14aa5 22b6(a1)b6111111112200011,20 (2) 2时，AE233300001511101/31/31222012/32/36时，AE3或2 331001309 / 11

111则P(1,2,3)102．

0137. 设二次型f(x1,x2,x3)xTAx在正交变换xQy下的标准形为y12y22，且Q的第3列为(阵．

解：（Ⅰ）由题意，A的特征值为121,30，

22T（Ⅰ）求矩阵A；（Ⅱ）证明AE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩,0,)．

22QTAQQ1AQAQQ，可知(量，

22T,0,)为A的对应30的特征向22x1x1设A的对应121的特征向量为x2，且已知x2与xx3322从而0正交，

2220102x1x30，取11,20，单位化为11,20， 01022202令Q10022220，则 22212010220222210101210020．

22101202T202TAQQ100222,31，又(AE)AE，故AE（Ⅱ）【证明】：AE的特征值为12为正定矩阵．

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T8. 设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵BEAA，试证：当0时，

矩阵B为正定矩阵．

证明：因为BT(EATA)TETAT(AT)TEATAB，所以B对称，

又设x为任意n维非零向量，则xTBxxT(EATA)x(xTx)(Ax)T(Ax)，

TT因为(Ax)T(Ax)0，xx0，0，所以xBx0，从而B为正定矩阵．

9已知向量组（Ⅰ）：1,2,3；（Ⅱ）：1,2,3,4；（Ⅲ）：1,2,3,4,5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)R(Ⅱ)3，R(Ⅲ)4，证明：向量组1,2,3,54的秩为4．

证明：r(I)31,2,3线性无关，r(II)31,2,3,4线性相关， 从而4可由1,2,3线性表示，即4k123

(1,2,3,54)c4kc1c4c2c4c3(1,2,3,5)，从而

r(1,2,3,54)r(1,2,3,5)4．

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