重庆市巫山中学2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科)

满分150分 时间120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项答在机读卡上） 1.直线2xy30在x轴上的截距为( ) A.232 B. C. D.2

52322

2.命题“∀x∈R，x－2x＋4≤0”的否定为( ) A．∀x∈R，x－2x＋4≥0 C．∃x∈R，x－2x＋4>0

2

B．∀xR，x－2x＋4≤0

2

D．∃xR，x－2x＋4>0

2

3.几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是( )

A．

26 B．2 C．210 D．7

4.已知

11的是( ) 0，则下列结论错误．．

abB.

A.a2b2

ba2 abC.abb2 D.lga2lg(ab)

5.设表示平面，a,b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：

（1）a//,abb，（2）a//b,ab,（3）a,abb//

（4）a,ba//b其中正确的是( )

A.(1)(2) B.(2)( 4) C.(3)(4) D.(2)(3)

6.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与A,B两点，交双曲线的渐近线

1

于P,Q两点，若PQ2AB，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.2223223 D. 237.已知x0,y0，若2y8xm2m)xy0恒成立，则实数m的取值范围是 A.2m4 B.4m2 C.2m4 D.4m4

8.用一个与圆柱母线成60角的平面截圆柱，截口为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A.

0

2211 B. C. D. 23231

D．y＝x＋1

2

9.光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为( ) 11111

A．y＝x－1 B．y＝x－ C．y＝x＋

22222

210.抛物线y2px（p＞0）的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则最大值为 ( ) A.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案写在答题卡上） 11.不等式|x＋3|+|x－2|≥7的解集为_______;

12.棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为 ; 13.在坐标平面内,与点A（1,2）距离为1,且与点B（3,1）距离为2的直线共 有 条;

|MN|的|AB|233 B. 1 C. D. 2 33x2y21上一动点P，与圆(x1)2y21上一动点Q，及圆A．已知椭圆43(x1)2y21上一动点R,则PQPR的最大值为 ; 15.过抛物线y＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP， 则点P的轨迹方程为________.

三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分13分）如图将长AA33，宽AA13的矩形沿长的三等分线处折叠成

2

'2

一个三棱柱，如图所示：

(1)求异面直线PQ与AC所成角的余弦值 (2)求三棱锥A1APQ的体积

17.（本小题满分13分）已知圆x+y-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.

(1)若直线和圆总有两个不同的公共点，求k的取值集合

(2)求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.

18.（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x－4ax＋3a<0，其中a>0.

x－x－6≤0， 命题q：实数x满足2

x＋2x－8>0.

2

2

2

2

2

(1)当a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

19.（本小题满分12分）设A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O 为坐标原点).

求证：(1)A、B两点的横坐标之积为4p； (2)直线AB经过一个定点.

20.（本小题满分13分）如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，点E在PD上，且满

2∶1，PAAB2，PA底面ABCD,ABC60 足PE∶ED2（1）在棱PC上是否存在一点F,使BF（2）求二面角PAEC的余弦值

3

0平面AEC,若存在，求出PF的长度

aby2x221.（本小题满分12分）以椭圆C:221(ab0)的中心O为圆心，以为半2ab径的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为(1) 求椭圆C及其“伴随”的方程;

(2) 过点P0,m作“伴随”的切线l交椭圆C于A, B两点, 记AOB(O为坐标原点)的面积为SAOB, 将SAOB表示为m的函数, 并求SAOB的最大值.

13,且过点(,3)．

224

2016级理科数学参考答案

一、选择题： ACACB DACBA 二、填空题：

11.{x|x4或x3} 12.92 13. 2 14. 6 15.y24(x2) 三、解答题：

16.解：（1）由已知，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，PB1,QC2 在B1B上取一点D，使得B1D1,连结A1D,C1D,

所以，A11D11D中，cosAC1DC1D2,AC113,在ΔAC3 4所以直线PQ与AC所成的夹角的余弦值为

3 4（2）VA1APQVQA1AP1311133 SΔA1APSΔA1AP(33)3222242

2

17.解：（1）已知圆的方程为（x-3）+（y-4）=4，其圆心（3，4）到直线kx-y-4k+3=0的距离为|3k44k31k2||k1|1k2.

直线和圆总有两个不同的公共点，所以

|k1|1k2＜2，即（k+1）＜4（1+k），

22

即3k-2k+3＞0.而3k-2k+3=3（k-

22

128）+＞0恒成立.所以k的取值集合为R 33（方法二：直线过定点（4,3），可以判断点（4,3）在圆的内部，从而确定直线和圆总有两个不同的公共点，所以k的取值集合为R）

（2）由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短， 而d=

|k1|1k2(k1)22k1k212122,当且仅当k=1时，“=”成

k21k1k1立，即k=1时，dmax=2.

故当k=1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为22(2)22

（注：由（1）可以确定圆心到直线的距离最大为圆心与点（4,3）的距离，从而确定最短弦;

5

22

在上面的解法中对k的分类讨论用对勾函数求解也可.） 18.解 (1)由x－4ax＋3a<0，得a0)．

当a＝1时，1x－x－6≤0，由2

x＋2x－8>0，

2

2

2

解得2若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是{x|2A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a0}，B＝

2

x－x－6<0，x2

x＋2x－8>0





＝{x|2根据题意可得 BA ，则03，即119.证明:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1=2px1、y2=2px2. ∵OA⊥OB, ∴x1x2+y1y2=0, y1y2=4px1x2=4p·(-y1y2). ∴y1y2=-4p,从而x1x2=4p也为定值. (2)∵y1-y2=2p(x1-x2), ∴

2

22

2

2

2

2

2

2

2

y1y22p=.

x1x2y1y22y2p2p2p ∴直线AB的方程为y-y1= (x-x1), 即y=x-·1+y1,

y1y2y1y2y1y22p y=

yy2p2px+12, 亦即y=(x-2p).

y1y2y1y2y1y2 ∴直线AB经过定点(2p,0).

20.解：连结BD与AC相交于点O,以O为原点，OC为x轴，OD为y轴 建立空间直角坐标系Oxyz

则O(0,0,0) ,A(1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,0),D(0,3,0),P(1,0,2).

2232132CP(2,0,2),DE(,,),AE(,,),AC(2,0,0),AP(0,0,2),

333333设棱PC上一点F ，CFCP(01)，所以BFBCCF(12,3,2)

6

所以F为PC的中点时，BF平面AEC，并且此时PF2 (2)设平面PAE的法向量为n(x2,y2,z2) nAP0n(3,1,0) {nAE0nm1cosn,m

4nm故二面角PAEC的余弦值为1 43, 则a=2b, 221.解析：(1) 椭圆C的离心率为

y2x2 设椭圆C的方程为2+2=1 „„„„„2分

4bb

∵椭圆C过点(,3)，∴

12311， 4b24b2 ∴b1，a2 „„„„„.„„„..4分

y2x21， ∴椭圆C的标准方程为422 椭圆C的“伴随”方程为xy1. „„„..6分

(2) 由题意知，|m|1.

易知切线l的斜率存在,设切线l的方程为ykxm,

ykxm,222由y2得(k4)x2kmxm40 „„„..8分 2x14设A, B两点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则

m242kmx1x22, x1x22.

k4k4

又由l与圆x+y=1相切, 所以22

|m|k2+17

=1, k2=m2-1.

所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 =4k2m24(m2-4)43|m| „„10分 (1+k)[2-]=222(k+4)k+4m+32

SAOB23m1, m1. AB22m323231(当且仅当m3时取等号) 33m2mmmSAOB所以当m3时，SAOB的最大值为1. „„„..12分

8