古冶区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 设函数f（x）在x0处可导，则A．f′（x0） B．f′（﹣x0）

C．﹣f′（x0）

等于（ ）

D．﹣f（﹣x0）

2． 对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）

A．92% B．24% C．56% D．5.6%

3． 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ） A．程序流程图 B．工序流程图 C．知识结构图 D．组织结构图

4． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．

5． 已知{an}是等比数列，a22，a51，则公比q（ ） 4第 1 页，共 15 页

A．11 B．-2 C．2 D． 226． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y= B．y=﹣x+ C．y=﹣x|x| D．y=7． 已知向量=（1，A．1

B．

），=（

C．

，x）共线，则实数x的值为（ ） tan35°

D．tan35°

2z2（ ） zA.1i B.1i C. 2i D. 2i

8． 设复数z1i（i是虚数单位），则复数

【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 9． 如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆 A．

B．

C．

有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（ ）

D．

10．+∞）=0，f 若函数f（x）是奇函数，且在（0，上是增函数，又f（﹣3）则（x﹣2）（x）＜0的解集是（ ）A．（﹣3，0）∪（2，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（2，+∞）

11．i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ） A．﹣1

A、22

B．1

C．﹣i

D．i

12．在等差数列{an}中，首项a10,公差d0，若aka1a2a3a7，则k

B、23 C、24 D、25

二、填空题

13．已知复数14．（

50100

，则1+z+z= ．

72

﹣2）的展开式中，x的系数是 ．

15．观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

照此规律，第n个等式为 ．

第 2 页，共 15 页

22

16．0）3）已知点A（2，，点B（0，，点C在圆x+y=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为 ．

17．幂函数f(x)（m3m3)xcm3．

2m22m1在区间0,上是增函数，则m ．

18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为

三、解答题

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）． （1）求圆弧C2的方程；

（2）曲线C上是否存在点P，满足

？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．

20．已知函数

（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），

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（1）求实数a，b的值； （2）求函数f（x）的值域．

21．已知数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣19n+1，记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|． （1）求Sn的最小值及相应n的值； （2）求Tn．

22．已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，满足4Sn=（an+1）2． （Ⅰ）求数列{an}通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足bn=

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

*

（n∈N），求证：b1+b2+…+bn＜．

x2cos以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为（

y2sin第 4 页，共 15 页

为参数，[0,]），直线l的参数方程为íìïx=2+tcosa（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的极坐标； （II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

31x2y224．已知椭圆C：221（ab0），点(1,)在椭圆C上，且椭圆C的离心率为．

22ab（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于P，Q两点，A为椭圆C的右顶点，直线PA，QA分别

交直线：x4于M、N两点，求证：FMFN．

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古冶区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：故选C．

2． 【答案】C

=﹣

=﹣f′（x0），

．

【解析】解：这次测验的优秀率（不小于80分）为 0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率（不小于80分）为56% 故选C

【点评】在解决频率分布直方图时，一定注意频率分布直方图的纵坐标是

3． 【答案】D

【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图， 故选D．

某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．

【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

4． 【答案】

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则

，

，0），B（1，0，0），C（0，

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

，0）

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），

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设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则则所以

=0， 令

，

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

，设

，

，

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

5． 【答案】D 【解析】

试题分析：∵在等比数列{an}中，a22,a5考点：等比数列的性质. 6． 【答案】C 【解析】解：A.B.

时，y=

在定义域内没有单调性，∴该选项错误； ，x=1时，y=0；

a1113,q5,q. 4a282∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；

C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；

；

22

∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣0=0；

∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；

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D.

∵﹣0+1＞﹣0﹣1；

；

∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误． 故选：C．

【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．

7． 【答案】B 【解析】解：∵向量=（1，∴x=故选：B．

=

），=（

=

，x）共线，

=

，

【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．

8． 【答案】A 【

解

析

】

9． 【答案】D

【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2）， 联立

2222

，得（2k+1）x+8kx+8k﹣2=0，

∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆

422

∴△=64k﹣4（2k+1）（8k﹣2）≥0，

有公共点，

，

]．

整理，得k解得﹣

2

， ．

≤k≤

∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣故选：D．

【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．

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10．【答案】A

【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数， ∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数， 又∵f（﹣3）=0， ∴f（3）=0

∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0； ∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3） 故选：A．

11．【答案】A

2

【解析】解：由复数性质知：i=﹣1

23

故i+i+i=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1

故选A

【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．

12．【答案】A

【解析】aka1a2a3a77a1 ∴k22．

76d21da1(221)d， 2二、填空题

13．【答案】 i ． 【解析】解：复数

，

22501002550

所以z=i，又i=﹣1，所以1+z+z=1+i+i=1+i﹣1=i；

故答案为：i．

2

【点评】本题考查了虚数单位i的性质运用；注意i=﹣1．

14．【答案】﹣280

解：∵（由

7

﹣2）的展开式的通项为=．

，得r=3．

．

∴x2的系数是

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故答案为：﹣280．

15．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 ．

【解析】解：观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2 左边的式子的项数与右边的底数一致， 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，

照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2， 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2

【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．

16．【答案】 （

，

） ．

22

【解析】解：设C（a，b）．则a+b=1，① ∵点A（2，0），点B（0，3）， ∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．

如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短． 则CF=∴a=

，②

≥ ，b=，，

， ）． ）．

，当且仅当2a=3b时，取“=”，

联立①②求得：a=故点C的坐标为（故答案是：（

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【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．【答案】 【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数yxR是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函

数yxR在0,上单调递增，则0，若在0,上单调递减，则0；（3）在比较幂值

的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1 18．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．

=6．

=

，

三、解答题

19．【答案】

22

【解析】解：（1）圆弧 C1所在圆的方程为 x+y=169，令x=5，

解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分

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则直线AM的中垂线方程为 y﹣6=2（x﹣17）， 令y=0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0）， 又圆弧C2 所在圆的半径为29﹣14=15，

22

所以圆弧C2 的方程为（x﹣14）+y=225（5≤x≤29）…5分

（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=由由

PO，得x2+y2+2x﹣29=0 …8分

，解得x=﹣70 （舍去） 9分

，解得 x=0（舍去），

综上知，这样的点P不存在…10分

【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．

20．【答案】

【解析】解：（1）∵函数∴

，

是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）

∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分） 又函数f（x）的图象经过点（1，3）， ∴f（1）=3，∴∴a=2（6分）

（2）由（1）知当x＞0时，即

时取等号（10分）

，∴

，即

时取等号（13分）

（12分）

，当且仅当

（7分） ，

，∵b=0，

当x＜0时，当且仅当

综上可知函数f（x）的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．

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21．【答案】 ﹣

．

，

2

【解析】解：（1）Sn=2n﹣19n+1=2

∴n=5时，Sn取得最小值=﹣44．

2

（2）由Sn=2n﹣19n+1，

∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16． 由an≤0，解得n≤5．n≥6时，an＞0． n≥6时，Tn=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+an =﹣2S5+Sn =2n2﹣19n+89． ∴Tn=

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．

2

∴n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣（a1+a2+…+an）=﹣Sn=﹣2n+19n﹣1．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．

22．【答案】

2

【解析】（Ⅰ）解：由4Sn=（an+1），

令n=1，得

2

又4Sn+1=（an+1+1），

，即a1=1，

，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．

∴

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，bn=则b1+b2+…+bn===

23．【答案】

．

∵an＞0，∴an+1﹣an=2，则{an}是等差数列，

=

，

【解析】（Ⅰ）设D点坐标为(2cosq,2sinq)，由已知得C是以O(0,0)为圆心，2为半径的上半圆，第 13 页，共 15 页

因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线OD与直线x+y+2=0的斜率相同，为(-1,1)，极坐标为(2,3，故D点的直角坐标43p)． 422（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

|2k2|1k22

k24k10 k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，则kAB2022, 22故直线l的斜率的取值范围为(23,22].

x2y21；（２）证明见解析． 24．【答案】（１） 43【解析】

试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中a,b,c的等式关系可得a,b的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线PQ的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得y1y26m9yy，，得12223m43m4直线lPA，直线lQA，求得点 M、N坐标，利用FMFN0得FMFN．

91a24b21,c1a2,试题解析： （1）由题意得,解得

b3.a2a2b2c2,x2y21． ∴椭圆C的方程为43第 14 页，共 15 页

又x1my11，x2my21，

2y12y22y12y2∴M(4,)，N(4,)，则FM(3,)，FN(3,)，

my11my21my11my213622y12y24y1y23m4FMFN999990 226m9my11my211m(y1y2)my1y212m23m43m24∴FMFN

考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．

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