学奥数
这里总有一本适合你
华东师范大学出版社
四则混合运算课本10今天收了2次钱，一次8块一次2块，全班一共29人，啊啊，29×8+29×2，我计算不好，到底总共该给老师多少钱啊！四则混合运算开学第一天，卡莉娅帮着王老师收了新学期的班费．一次8块一次2块，也就是每人给了你10块呀，总共290块，赶快数数吧！之前，我们已经学习了运算中的“带符号搬家”、“添、脱括号”等方法．本讲我们在此基础上，接着学习加减乘除混合运算中用到的各种巧算方法．
首先，我们来看一个加减法中原先没有学过的方法：基准数法．在计算许多大小相近的数相加时，可以先把所有数都看成一个相同的数（这个数就称作基准数），用乘法算出近似结果，再比较每个数与基准数的差距，最后再将近似结果调整为正确结果．
例题1计算：53+52+47+48+50+49+51+52+47+55． 分析 算式中的加数都和几比较接近？如何利用这种加数的“近似性”进行巧算呢？
49三年级下册第10讲练习1.计算：19+23+20+18+22+21= ．
之前，我们学习过乘法分配律：(17+3)×25=17×25+3×25．其实这个式子也可以反过来算，例如：17×25+3×25=(17+3)×25=20×25=500．
练一练（1）34×77+34×23； （2）42×37−42×17．例题2计算：（1）28×32−28×17+28×84；（2）43×28+71×43+43． 分析 （1）这个算式有几个乘法算式？它们之间有没有公共的乘数？（2）前两个乘法里都有公共的乘数43，但最后一个不是乘法，那能不能把它也变成一个乘法呢？
练习2.计算：32×57−24×32+32×67= ．
公共的乘数叫做公因数，例题2的做法称为提取公因数．它可以看成是乘法分配律的逆应用．提取公因数是常用的巧算方法．
作文
语文老师布置学生写一篇300字左右的作文，要求学生当堂完成．
临近下课，卡莉娅才写了200字，同学们都已交了，怎么办呢？卡莉娅急得抓狂，小山羊在一边说：“干脆用魔法写一篇呗！”“嗯，好主意．”说着卡莉娅便念起咒语，只
50四则混合运算课本见纸上光芒一闪，字没有变多，反而少了，卡莉娅着急了，又念动咒语，又是一道光芒，纸上的字又少了几个．卡莉娅一数，只剩下150个字了，更加着急了：“为什么魔法总是在关键时刻失灵？现在怎么办啊？”“要不这样吧，就在最后结尾的地方写个×2，150乘以2正好等于300嘛．”小山羊又在一边提议．“也只能这样办了．”卡莉娅边说边在最后写上了一个×2．
．几天后，作文本发了下来，老师给他的得分是“60÷2”
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例题3计算：（1）26×14+26×8+22×4；（2）132×31+18×24−7×132． 分析 先看看有没有公因数？哪些乘法可以提取公因数？提完后的算式变成了什么样子？
练习3.计算：32×57+24×32+68×81= ．
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三年级下册第10讲在提取公因数时，要注意必须有相同的因数才能提取，有些乘法看上去没有公因数，可以通过一定的变化构造出公因数来，例如：2×10+4×6=4×5+4×6．
例题4计算：（1）11×13+22×8+33×7；（2）123×36+246×17+3690． 分析 现在算式中没有明显的公因数，如何构造出公因数呢？ 练习4.计算：12×48+24×14+36×8= ．
不只乘法有分配律，除法也有分配律，所以在类似的情况下，除法也能进行巧算．先来回忆一下什么情况下除法可以用分配律．
算一算（1）(36+24)÷4； （2）72÷(12+24)．对于除法，只有当括号在被除数位置时才能用分配律．同样地，当多个除法相加减时，只有除数相同时才能进行提取“公因数”的操作．
例题5计算：（1）399÷7+91÷7；（2）25÷4+25÷6+35÷4+35÷6． 分析 本题是一个除法，除法能不能也像乘法那样进行提取呢？
52四则混合运算课本练习5.计算：432÷13+88÷13= ．
思考题计算：（1）88×35−87×23−86×12；（2）121×6+120×5+119×3−118×14．本讲知识点汇总一、基准数法求和：
把相近的数看成基准数，算出近似结果后再进行调整．二、提取公因数：
多个有相同因数的乘法相加减时，可以用提取公因数进行巧算．三、构造公因数：
当没有公因数时，可以设法构造出公因数．：四、除法中的“提取公因数”
只有在除数相同时才能用．
作业
1.计算：28+32+29+30+29+33+34+28= ．2.计算：47×19+48×47+47×33= ．3.计算：23×32+23×44+76×77= ．4.计算：13×8+26×31+39×10= ．5.计算：45÷11+54÷11= ．
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三年级下册第11讲11阵列问题上一讲讨论了有关直线和环形上的排列问题，其实在日常生活中我们遇到的更多是排成一个阵列，最常见的就是正方形阵和长方形阵，例如：
其中正方形阵又可以简称为方阵，这就是本讲主要讨论的问题，前图中的小山羊、卡莉娅和蛋糕就一起组成了一个三层的方阵，大家可以仔细观察图中小山羊、卡莉娅和蛋糕的位置和数量，从中找出一些关于方阵的规律来．
先来看看小山羊的数量，一边上有6个小山羊，一共有20只小山羊，并不是，因为角落上的小山羊都被算了2次，要减去多算的1次，所以有6×4=24（只）
54阵列问题课本．6×4−4=20（只）
数一数，图中小山羊比卡莉娅多几个？卡莉娅又比蛋糕多了几个？不难发现，每个方向上的小山羊要比卡莉娅多2个，每个方向上的卡莉娅要比蛋糕多2个，而小山羊、卡莉娅和蛋糕分别占据了这个方阵的三层，并且小山羊比卡莉娅多8个，卡莉娅比蛋糕多8个．
一般来说：
方阵里相邻的两层之间每条边上的人数差2，而每层的人数总和差8．但有一种情况不符合这条规律：当这个方阵最里层只有1个人的时候此层不符合．
例题1若干名同学站成一个15×15的方阵，请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外的第七层有多少人？（人）呢？ 分析 方阵的最外一层每边有15人，是不是最外面一层共有15×4=60
练习最外一层共有多少人？从外向里的第31.一批同学站成一个10×10的方阵，请问：层有多少人？
例题2一个实心方阵，最外面一层共有44人，请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？ 分析 （1）这个方阵最外一层每边有多少人？
（2）减少一行一列，那么最外一层每边多少人？
55三年级下册第11讲练习2.一个实心方阵，最外面一层共有36人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？
前两个例题是有关实心方阵的，相比之下空心方阵的问题要稍难一些，但“相邻层每边差2，总人数差8”仍然适用．
例题3某小学三年级共有学生120人，排成一个三层的空心方阵．这个方阵最外层每边有多少人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要增加几个人？ 分析 要回答后面两问，第一问是关键，所以搞清楚这三层每边的人数，就可以了解方阵的结构，然后解决这个问题．
练习3.共有240人排成一个5层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一层，变成6层空心方阵，还需要增加多少人？
例题4用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖，……这样依次铺下去．请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？ 分析 先不看颜色，400块瓷砖一共铺了多少层？最外面一层是红色，那么最里面一层是什么颜色呢？
56阵列问题课本练习4.用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共256块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色，……这样下去，整面墙上共有黑色瓷砖多少块？
前几个例题都是关于方阵的，但阵列的形式其实是很多的，除了方阵，还有三角阵、六边形阵等等．这些阵列也具有非常有趣的性质，只要稍加观察，也可以像方阵那样，总结出很多简单的数量关系与计算方法．
右图就是一个每边7人的三角形阵列．如果我们从上往下数，就会发觉人数正好构成一个自然数列．最上面那层是1个人，第二层是2个人，第三层是3人，……，最后一层正好是7个人，总数就等于1+2+3+4+5+6+7=28．
由此可见，只要知道三角形阵列的大小，就可以从
12 3 4 5 6 7 上往下把总人数加出来．上图是一个每边7人的阵列，所以总人数正好是1一直加到7，如果是每边8个人，总人数就应该是从1一直加到8．如果每边人数是n，那总人数就是： 1+2++n．
这就是实心三角形阵列总数的求法．下面来看一个有关三角形阵列的问题．
例题5如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？A ЄԙѝB ЄԙЄԙC 分析 总共有三片草地，每一片草地上应该种多少朵花？有没有花同时算在两片草地里的？
57三年级下册第11讲练习该5.某校所有三年级学生排成一个每边20人的三角阵之后，还剩下10人，请问：校三年级共有多少人？
思考题在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，那么：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？本讲知识点汇总一、正方形阵列：
相邻两层每边人数差2，每层人数差8（注意：当这个方阵最里层只有1个人的时候此层不符合）．二、三角形阵列：
一个n层的三角形阵列，总人数为：1+2+3++n．
58阵列问题课本作业
一个13×13的方阵中，最外一层共有多少人？从里向外的第3层有多少人？1.请问：
2.一个实心方阵，最外面一层共有56人，那么这个方阵一共有多少人？
3.共有200人排成一个5层空心方阵，这个方阵最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？
4.用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了324块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色，……，这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？
请问：这个班共有多少人？5.某班所有学生恰好可以排成一个每边为8人的三角阵，
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例题详解
第10讲 四则混合运算
504． 例题1. 答案：
解答：每个数都在50附近，所以：原式=50×10+3+2−3−2+0−1+1+2−3+5=504．例题2. 答案：（1）2772；（2）4300．
三个乘法中都有28，提取公因数28：原式=28×(32−17+84)=28×99，计算99的乘（1）解答：
法时可以把99看做100−1，所以原式=28×(100−1)=28×100−28×1=2772．
原式=43×(28+71+1)=4300．最后的43可以看成43×1，所以：（2）解答：
例题3. 答案：（1）660；（2）3600．
前两个乘法有公因数26，先提取出来，原式=26×(14+8)+22×4=26×22+22×4，又（1）解答：
出现了公因数22，所以原式=22×(26+4)=22×30=660．
第一个和第三个乘法有公因数132，原式=132×(31−7)+18×24=132×24+18×24，又（2）解答：
出现了公因数24，所以原式=24×(132+18)=24×150=3600．
例题4. 答案：（1）550；（2）12300．
每个乘法中都有11的倍数，先构造出公因数11，原式=11×13+11×16+11×21，再提（1）解答：
取公因数11，原式=11×(13+16+21)=550．
每个乘法都有123的倍数，原式=123×36+123×34+123×30=123×(36+34+30)=12300．（2）解答：
例题5. 答案：（1）70；（2）25．
解答：原式=(399+91)÷7=490÷7=70．
解答：注意只有除数相同才能提取，所以，原式=(25+35)÷4+(25+35)÷6=15+10=25．
第11讲 阵列问题
56；8；48．例题1. 答案：
解答：最外层每边15人，但角落上的4个人每人都同时位于两条边上，所以最外层共有：；每往里一层，每边人数会减少2个，最里层的每边应该有：15−2×7=1（人），共有15×4−4=56（人）
；从里向外第7层每边有：1+2×(7−1)=13（人），所以这一层共有：13×4−4=48（人）．7+1=8（层）
例题2. 答案：（1）144；（2）23．
“最外一层共有44人”，说明最外层每边有：44÷4+1=12，所以，这个方阵是一个（1）解答：
．12×12的方阵，共有12×12=144（人）
．减少一行一列，也就是变成一个11×11的方阵，需要减少144−11×11=23（人）（2）解答：
13；56；24． 例题3. 答案：
解答：一个三层方阵，外层比中层多8人，中层比内层多8人，所以中层有：120÷3=40（人），，所以，最外层每边48÷4+1=13（人）；外面加一层需要有48+8=56（人）；最外层共有40+8=48（人）．内部加一层需要40−8−8=24（人）
红色；40块．例题4. 答案：
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四则混合运算10练习原式1. 答案：123．简答：式=20×6−1+3+0−2+2+1=123．原
原式=32×(57−24+67)=3200．2. 答案：3200．简答：
原式=32×(57+24)+68×81=32×81+68×81=81×(32+68)=8100．3. 答案：8100．简答：
原式=12×48+12×28+12×24=12×(48+28+24)=1200．4. 答案：1200．简答：
原式=(432+88)÷13=40．5. 答案：40．简答：
思考题答案：（1）47；（2）31．
简答：（1）原式=(86+2)×35−(86+1)×23−86×12=86×(35−23−12)+2×35−1×23=47．（2）原式=(118+3)×6+(118+2)×5+(118+1)×3−118×14=118×(6+5+3−14)+3×6+2×5+1×3=31．
作业原式=30×8−2+2−1−1+3+4−2=243．1. 答案：243．简答：
原式=47×(19+48+33)=4700．2. 答案：4700．简答：
原式=23×(32+44)+76×77=23×76+77×76=76×(23+77)=7600．3. 答案：7600．简答：
原式=13×8+13×62+13×30=13×(8+62+30)=1300．4. 答案：1300．简答：原式=(45+54)÷11=9．5. 答案：9．简答：
阵列问题11练习．从外向里的第3层有：最外层每边10人，共有10×4−4=36（人）1. 答案：36人；20人．简答：．36−8×2=20（人）
，增加一行一列需要11×11−10×10=21（人）．最外层36人，每边36÷4+1=10（人）2. 答案：21人．简答：，所以最内一层共有：3. 答案：9人；24人．简答：5层中间一层共有240÷5=48（人），每边32÷4+1=9（人），内部增加一层需要32−8=24（人）．48−8×2=32（人）
4. 答案：144块．简答：256=16×16，所以最外层每边16块，从外往里共有8层，所以黑的共有：．60+44+28+12=144（块）
，所以共有5. 答案：220人．简答：每边20人的三角阵共有1+2+3++20=210（人）．210+10=220（人）
思考题答案：（1）66；（2）360；（3）36．简答：（1）六边形阵列中，相邻两层相差6人，所以最外层．．共有：(126+6)÷2=66（人）（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360（人）（3）还需要：18+12+6=36（人）．
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