1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
1. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
2. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。 教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。 教学难点：不等式的性质的运用 教学过程： 第1课时：
问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取
法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。
研究比较大小的依据：
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a＞b。
而a－b表示a减去b所得的差，由于a＞b，则差是一个正数，即a－b＞0。 命题：“若a＞b，则a－b＞0”成立；逆命题“若a－b＞0，则a＞b”也正确。 类似地：若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0。逆命题也都正确。 结论：(1)“a＞b”⇔“a－b＞0”
(2)“a＝b”⇔“a－b＝0”
(3)“a＜b”⇔“a－b＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；
(4) 负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：
性质1：若a＞b，b＞c，则a＞c (不等式的传递性) 证明：∵a＞b ∴a－b＞0
∵b＞c ∴b－c＞0
∴(a－b)＋(b－c)＝a－c＞0 (正负数运算性质) 则a＞c
反思：证明要求步步有据。
性质2：若a＞b，则a＋c＞b＋c (不等式的加法性质)
B A x
证明：∵a＞b ∴a－b＞0
∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0 ∴a＋c＞b＋c
反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。 思考：逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”成立吗？——两边加“－c”即可证明。
[例1] 求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质) 证明1：∵a＞b ∴a＋c＞b＋c (性质2)
∵c＞d ∴b＋c＞b＋d 则a＋c＞b＋d
证明2：∵a＞b ∴a－b＞0
∵c＞d ∴c－d＞0
∴(a－b)＋(c－d)＞0 即(a＋c)－(b＋d)＞0 (作差比较法) 则a＋c＞b＋d
反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。)
练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质) ——作业 证明1：∵c＜d ∴c－d＜0
得d－c＞0 即－c＞－d
(正数得相反数为负数)
亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d (性质2) ∵a＞b ∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性质) 则a－c＞b－d
(加减法运算法则)
证明2：∵a＞b ∴a－b＞0
∵c＜d ∴d－c＞0
∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0 (作差比较法) 则a－c＞b－d
性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc
若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质)
证明：ac－bc＝(a－b)c (作差比较法)
∵a＞b ∴a－b＞0
(1) 当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc (正负数运算性质) (2) 当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc (正负数运算性质)
反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！——强调！ 思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。
(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0。
练习：(1)《教材》P.30-练习2.1(1)-1 (学生口答，教师点评)
(2)《教材》P.30-练习2.1(1)-2、3 (学生板书，教师点评)
(性质2) (性质1)
2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质) 证明：∵a＞b，c＞0 ∴ac＞bc
∵c＞d，b＞0 ∴bc＞bd 则ac＞bd
(性质3) (性质3) (性质1)
特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2” 推而广之：若a＞b＞0，则an＞bn (n∈N*) (不等式的乘方性质)
推而广之：若a＞b＞0，则na＞nb (n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质)
——可用反证法进行证明。
113、求证：若a＞b＞0，则0＜＜ (不等式的倒数性质) ——作业
ab11证明：∵a＞b＞0 ∴＞0，＞0，a－b＞0
ab1111a－b∴－＝＞0 (正负数运算性质) 则0＜＜
ababba
[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。
解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a
(1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1 (2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1 (3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1
反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！
(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！
[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。 解：(m－1) x＞－m
(1)当m＝1时，x∈R
m； m－1m(3)当m＞1时，x＞－
m－1反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性
(2)当m＜1时，x＜－
(2) 如何进行讨论？——不等式性质
课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)
(2) 数学方法：作差比较法 (3) 数学思想：分类讨论
第2课时：
[例1] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。 解：(1) m2－4＝0即m＝－2或m＝2
①当m＝－2时，x∈ ②当m＝2时，x∈R
(2) m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜(3) m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞
1 m－21 m－2反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m2－4值的不确定性
(2) 如何进行讨论？——不等式性质
[例2] 若m＞0，y＞x＞0，试比较解：
x＋mx与的大小。 y＋myx＋mx(x＋m)y－(y＋m)xm(y－x)－＝＝ y＋m(y＋m)y(y＋m)yy∵y＞x ∴y－x＞0 ∵y＞0，m＞0 ∴y＋m＞0 又∵y＞0，m＞0 ∴
引申：若a、b、c、d均为正数，且证明1：(作差比较法)
∵
m(y－x)x＋mx＞0 则＞
(y＋m)yy＋myacaa＋cc＜，求证：＜＜ bdbb＋dda＋cabc－ad－＝
(b＋d)bb＋dbaca＋cabc－ad＜，b＞0，d＞0 ∴bc＞ad 得＞0 则＞
(b＋d)bbdb＋dba＋cc＜ b＋ddaa＋c＜ a(b＋d)＜b(a＋c) bb＋d同理可证：
证明2：(变更论证法) ∵b＞0，b＋d＞0 ∴
a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc
ac＜，b＞0，d＞0 ∴ad＜bc 得a(b＋d)＜b(a＋c) bdaa＋ca＋cc则＜ 同理可证：＜ bb＋db＋dd∵
[例3] 若x＞0，试比较x＋x＋3与x＋1＋x＋2的大小。
分析：直接作差显然不可取。可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。 解：(x＋x＋3)2＝2x＋3＋2x2＋3x，(x＋1＋x＋2)2＝2x＋3＋2x2＋3x＋1 ∵x2＋3x＜x2＋3x＋1 ∴2x＋3＋2x2＋3x＜2x＋3＋2x2＋3x＋1 得(x＋x＋3)2＜(x＋1＋x＋2)2 则x＋x＋3＜x＋1＋x＋2 反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。
[例4] 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？ 分析：何为合算？——平均单价便宜。
解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。
设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元， ∴甲平均单价为
ax＋bxa＋b2ab＝，乙平均单价为2y＝
yy2x2a＋b＋aba＋b2ab(a－b)2∵－＝
2a＋b2(a＋b)∴(1) a＝b时，
a＋b2aba＋b2ab＝；(2) a≠b时，＞ 2a＋b2a＋b由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。
[例5] (第1课时的引例) 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？
分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取
法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。
解：(1)取A、B：(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a＋b)2(a－b) 无法确定大小
(2)取A、C：(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a2＋b2) (a－b) 无法确定大小 (3)取A、D：(a3＋b3)－(ab2＋a2b)＝(a＋b) (a－b)2
由于a≠b，则(a＋b) (a－b)2＞0，即a3＋b3＞ab2＋a2b —— 先取A、D则必胜！
能否推广？—— 观察a3＋b3＞ab2＋a2b的特征，进行猜测。
a4＋b4＞ab3＋a3b，a4＋b4＞a2b2＋a2b2 a5＋b5＞ab4＋a4b，a5＋b5＞a2b3＋a3b2 ……
更为一般性的结论：a、b∈R，m、n∈N*，则a m+n＋bm+n≥ambn＋anbm
证明：(a mn＋b mn)－(ambn＋anbm)＝(am－bm)(an－bn)≥0
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课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)
(2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证 (3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明
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