初中数学-特殊三角形单元测试题

初中数学-特殊三角形单元测试题 第Ⅰ卷 (选择题 共30分)

一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分) 1．下列图案是轴对称图形的是( )

2．若等腰三角形的顶角为70°,则它的底角度数为( )

A．45° B．55° C．65° D．70°

3．如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD是斜边AB上的中线,则图中与CD相等的线段有( )

A．AD与BD B．BD与BC C．AD与BC D．AD,BD与BC

4．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上,以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A,则点A对应的数是( )

A．1 B.2 C.3 D．2

5．若等腰三角形中两条边的长度分别为3和1,则此等腰三角形的周长为( )

A．5 B．7 C．5或7 D．6

6．如图所示,已知AB＝AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )

A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°

7．如图所示,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD＝OP,则△AOD与△AOP全等的理由是( )

A．SSS B．ASA C．SSA D．HL

8．如图所示,在△ABC中,∠ACB＝90°,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°,则∠BDC等于( )

A．44° B．60° C．67° D．77°

9.如图所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,∠B＝45°,P是BC边上的动点,则AP的长不可能是( )

A．3.5 B．3.7 C．4 D．4.5

10．如图所示,已知O是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD∥AB交BC于点D,OE∥AC交BC于点E.若BC＝10 cm,则△ODE的周长为( )

A．10 cm B．8 cm C．12 cm D．20 cm 请将选择题答案填入下表：

题号 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分)

11．命题“内错角相等,两直线平行”的逆命题是____________________．

12．如图所示,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝40°,BD⊥AC于点D,则∠DBC＝________°.

13．如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,判定△ABD≌△ACD最简单的方法是________．

14．直角三角形的两条边长分别为3,4,则它另一边的长为________．

15．如图所示,有两个长度相等的滑梯(即BC＝EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等,已知左边滑梯与地面的夹角∠ABC＝27°,则右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝________°.

16．如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC＝2,则DE＋DF＝________.

三、解答题(本题共8小题,共66分)

17．(6分)如图所示,已知AB＝AC,D是AB上的一点,DE⊥BC于点E,ED的延长线交CA的延长线于点F.试说明：△ADF是等腰三角形．

18．(6分)如图,在△ABC中,AB＝AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE＝AF.求证：DE＝DF.

19．(6分)如图所示,在四边形ABCD中,∠A为直角,AB＝16,BC＝25,CD＝15,AD＝12,求四边形ABCD的面积．

20．(8分)如图所示,延长△ABC的各边,使得BF＝AC,AE＝CD＝AB,连结DE,EF,FD,得到△DEF为等边三角形．

求证：(1)△AEF≌△CDE； (2)△ABC为等边三角形．

21．(8分)如图所示,请将下列两个三角形分别分成两个等腰三角形．(要求标出每个等腰三角形的内角度数)

22．(10分)在直角三角形中,两条直角边的长度分别为a和b,斜边长度为c,则a2＋b2＝c2,即两条直角边的平方和等于斜边的平方,此结论称为勾股定理．在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和A′B′C′,并把它们拼成如图所示的形状 (点C和A′重合,且两直角三角形的斜边互相垂直)．请利用拼得的图形证明勾股定理．

23．(10分)如图所示,在△ABC中,∠C＝2∠B,D是BC边上的一点,且AD⊥AB,E是BD的中点,连结AE.

求证：(1)∠AEC＝∠C； (2)BD＝2AC.

24．(12分)如图所示,O是直线l上一点,在点O的正上方有一点A,满足OA＝3,点A,B位于直线l的同侧,且点B到直线l的距离为5,线段AB＝40,一动点C在直线l上移动．

(1)当点C位于点O左侧时,且OC＝4,直线l上是否存在一点P,使得△ACP为等腰三角形？若存在,请求出OP的长；若不存在,请说明理由．

(2)连结BC,在点C移动的过程中,是否存在一点C,使得AC＋BC的值最小？若存在,请求出这个最小值；若不存在,请说明理由．

答案

1．A 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C

7．D 8．C 9．D 10．A

11．两直线平行,内错角相等 12．20 13．HL 14．5或7 15．63 16．3

17．解：∵AB＝AC,∴∠B＝∠C(等边对等角)． ∵DE⊥BC于点E,∴∠DEB＝∠FEC＝90°, ∴∠B＋∠EDB＝∠C＋∠F＝90°, ∴∠EDB＝∠F(等角的余角相等)． 又∵∠EDB＝∠ADF(对顶角相等), ∴∠F＝∠ADF,∴AD＝AF, ∴△ADF是等腰三角形． 18．证明：如图,连结AD.

∵AB＝AC,D是BC的中点, ∴∠EAD＝∠FAD.

AE＝AF，

在△AED和△AFD中,∵∠EAD＝∠FAD，

AD＝AD，

∴△AED≌△AFD(SAS), ∴DE＝DF.

19．解：∵∠A为直角,∴在Rt△ABD中, 由勾股定理,得BD2＝AD2＋AB2. ∵AD＝12,AB＝16,∴BD＝20.

∵BD2＋CD2＝202＋152＝252,且BC2＝252, ∴BD＋CD＝BC, ∴∠CDB为直角,

1

∴△ABD的面积为×16×12＝96,

21

△BDC的面积为×20×15＝150,

2∴四边形ABCD的面积为96＋150＝246. 20．证明：(1)∵BF＝AC,AB＝AE, ∴BF＋AB＝AC＋AE,即FA＝EC. ∵△DEF是等边三角形,∴EF＝DE. 又∵AE＝CD,∴△AEF≌△CDE. (2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA＝∠EDC. ∵△DEF是等边三角形,∴∠DEF＝60°.

∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF, ∴∠BCA＝60°.同理可得∠BAC＝60°, ∴∠ABC＝60°,∴△ABC为等边三角形． 21．解：如图所示．

2

2

2

22．证明：如图所示,在Rt△ABC中,

∵∠1＋∠2＝90°,∠1＝∠3,∴∠2＋∠3＝90°. 又∵∠ACC′＝90°,

∴∠2＋∠3＋∠ACC′＝180°, ∴B,C(A′),B′在同一条直线上． 又∵∠B＝90°,∠B′＝90°, ∴∠B＋∠B′＝180°,∴AB∥C′B′.

11112

由面积相等得(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c,

2222

即a2＋b2＝c2.

23．证明：(1)∵AD⊥AB, ∴△ABD为直角三角形． ∵E是BD的中点,

∴AE＝BE＝DE,∴∠B＝∠BAE. ∵∠AEC＝∠B＋∠BAE,∴∠AEC＝2∠B. 又∵∠C＝2∠B,∴∠AEC＝∠C. (2)由(1)的结论可得AE＝AC. 11

∵AE＝BD,∴AC＝BD,即BD＝2AC.

22

24．解：(1)存在．由勾股定理可求得AC＝5.当点P使得△ACP为等腰三角形时,如图①所示,OP1＝4,OP2＝5－4＝1,OP3＝CP3＋OC＝AC＋OC＝5＋4＝9.

在Rt△AP4O中,AP42＝OP42＋OA2, 设OP4＝x,则(4－x)2＝x2＋32, 77解得x＝,∴OP4＝. 88

7

综上所述,OP的长为4或1或9或. 8

(2)存在．如图②所示,作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B与直线l相交于点C,则

A′B为AC＋BC的最小值．

过点A′作A′E∥l,过点B作BE⊥A′E于点E,过点A作AD⊥BE于点D. 在Rt△ABD中,AB＝40,BD＝5－3＝2, ∴AD＝AB2－BD2＝6.

在Rt△A′BE中,A′E＝AD＝6,BE＝5＋3＝8, ∴A′B＝BE2＋A′E2＝82＋62＝10, ∴AC＋BC的最小值为10.