二元一次方程组的解法教学设计北师大版（新教案）

第七章⼆元⼀次⽅程组

２．⼆元⼀次⽅程组的解法（⼆）⼀、学⽣起点分析

在学习本节之前，学⽣已经掌握了有理数、整式的运算、⼀元⼀次⽅程等知识，了解了⼆元⼀次⽅程、⼆元⼀次⽅程组等基本概念，具备了进⼀步学习⼆元⼀次⽅程组的解法的基本能⼒.⼆、教学任务分析

《⼆元⼀次⽅程组的解法》是义务教育课程标准北师⼤版实验教科书⼋年级（上）第七章《⼆元⼀次⽅程组》的第⼆节（两课时）.第课时，让学⽣学习了⼆元⼀次⽅程组的解法——代⼊消元法.本节课为第课时，学习⼆元⼀次⽅程组的另⼀解法——加减消元法.

加减消元法也是解⼆元⼀次⽅程组的基本⽅法之⼀，它要求两个⽅程中必须有某⼀个未知数的系数的绝对值相等（或利⽤等式的基本性质在⽅程两边同时乘以⼀个适当的不为的数，使两个⽅程中某⼀个未知数的系数的绝对值相等），然后利⽤等式的基本性质在⽅程两边同时相加或相减消元.三、教学⽬标分析.教学⽬标

．会⽤加减消元法解⼆元⼀次⽅程组.

.让学⽣在⾃主探索和合作交流中，进⼀步理解⼆元⼀次⽅程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想..通过对具体的⼆元⼀次⽅程组的观察、分析，选择恰当的⽅法解⼆元⼀次⽅程组，培养学⽣的观察、分析能⼒.．通过学⽣⽐较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这⼀认识⽅法..教学重点

⽤加减消元法解⼆元⼀次⽅程组..教学难点

在解题过程中进⼀步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.四、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第⼀环节：情境引⼊；第⼆环节：讲授新知；第三环节：巩固新知；第四环节：课堂⼩结；第五环节：布置作业.第⼀环节：情境引⼊

内容：巩固练习，在练习中发现新的解决⽅法

怎样解下⾯的⼆元⼀次⽅程组呢？（学⽣在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意

发现学⽣在解答过程中出现的新的想法，可以让⽤不同⽅法解题的学⽣将他们的⽅法板演在⿊板上，完后进⾏评析，并为加减消元法的出现铺路.）

-=-=+②y x ①y x 11522153 学⽣可能的解答⽅案： 解：把②变形，得：2115-=

y x , ③ 把③代⼊①，得：21521153=+-?y y , 解得：3=y .把3=y 代⼊②，得：2=x .所以⽅程组的解为?==32y x .

学⽣可能的解答⽅案：解：由②得1125+=x y , ③

把y 5当做整体将③代⼊①，得：()211123=++x x ,解得：2=x .

把2=x 代⼊③，得：3=y .所以⽅程组的解为?

==32y x . （此种解法体现了整体的思想）学⽣可能的解答⽅案：解：根据等式的基本性质⽅程①⽅程②得：105=x ,解得：2=x ,

把2=x 代⼊①，解得：3=y ,所以⽅程组的解为?

==32y x . 通过上⾯的练习发现，同学们对代⼊消元法都掌握得很好了，基本上都能够按要求解出⼆元⼀次⽅程组的解（如⽅案），可是也有同学发现（⽅案）的解法⽐（⽅案）的解法简单，他是将作为⼀个整体代⼊消元，依然体现了代⼊法的核⼼是代⼊“消元”，通过“消元”，使“⼆元”转化为“⼀元”，从⽽使问题得以解决，那么（⽅案）的解法⼜如何？它达到“消元”的⽬的了吗?

（留些时间给学⽣观察，注意引导学⽣观察⽅程中某⼀未知数的系数，如的系数或的系数） 引导学⽣发现⽅程①和②中的和－互为相反数，根据相反数的和为零（⽅案）将⽅程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数，得到了⼀个关于的⼀元⼀次⽅程，从⽽实现了化“⼆元”为“⼀元”的⽬的.

这就是我们这节课要学习的⼆元⼀次⽅程组的解法中的第⼆种⽅法——加减消元法. 意图：在练习的过程中学会思考、分析，通过思考⾃然地得出我们要研究和解决的问题. 效果：通过学⽣练习、对⽐、讨论，既巩固了已学的⽤代⼊法解⼆元⼀次⽅程组的知识，⼜在此过程中发现了新的解⼆元⼀次⽅程组的⽅法——加减消元法.

说明：如果班机学⽣不能发现⽅法，教师可以适当引导，如在⽅法⼆中，我们直接解出，代⼊另⼀式⼦从⽽消去⼀个未知数，是否可以不解出直接消去这个未知数呢，两个式⼦中 的系数有什么关系？能否通过等式加减直接消去这个未知数呢？第⼆环节：讲授新知内容：

（教师板书课题）

下⾯我们就⽤刚才的⽅法解下⾯的⼆元⼀次⽅程组.（教师规范表达解答过程，为学⽣作出⽰范） 例 解下列⼆元⼀次⽅程组

-=+=-②y x ①y x ⑴132752

分析：观察到⽅程①、②中未知数的系数相等，可以利⽤两个⽅程相减消去未知数. 解：②①，得：88-=y ,解得：1-=y ,

把1-=y 代⼊①，得：752=+x ,解得：1=x ,所以⽅程组的解为?

-==11y x . (解答完本题后，⼝算检验，让学⽣养成进⾏检验的习惯，同时教师需强调以下两点

()注意解此题的易错点是②①时是（）()，⽅程左边去括号时注意符号.另外解题时，①②或②①都可以消去未知数，不过在①②得到的⽅程中，的系数是负数，所以在上⾯的解法中选择②①；

()把＝代⼊①或②，最后结果是⼀样的，但我们通常的作法是将所求出的⼀个未知数的值代⼊系数较简单的⽅程中求出另⼀个未知数的值. 师⽣⼀起分析上⾯的解答过程，归纳出下⾯的⼀些规律：

在⽅程组的两个⽅程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个⽅程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个⽅程的两边分别相减，消去这个未知数得到⼀个⼀元⼀次⽅程，从⽽求出它的解，这种解⼆元⼀次⽅程组的⽅法叫做加减消元法，简称加减法）内容：巩固练习［师⽣共析］?

=+=+②y x ①y x ⑵17431232 （先留⼀定的时间让学⽣观察此⽅程组，让学⽣说明⾃⼰观察到⽅程有什么特点，能不能⾃⼰解决此⽅程组，⽤什么⽅法解决？如学⽣提出⽤代⼊消元法，可以让学⽣先按此法完成，然后再问能不能⽤刚学过的加减消元法解决？让学⽣讨论尝试，学⽣可能得到的结论如下）.对于??

=+=+17431232y x y x ⽤加减消元法解，、的系数既不相同也不是相反数，没有办法⽤加减消元法..是不是可以这样想，将⽅程组=+=+17

431232y x y x 中的⽅程⽤等式的基本性质将这个⽅程组

中的或的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再⽤加减消元法，达到消元的⽬的.

.只要在⽅程①和⽅程②的两边分别除以和，的系数不就变成“1”了吗？这样就可以⽤加减消元法了.

.不同意的做法.如果这样做，是可以解决这⼀问题，但的系数和常数项都变成了分数，这样解是不是变⿇烦了吗？那还不如⽤代⼊消元法了.不如找的系数和的最⼩公倍数，在⽅程①两边同乘以，得3696=+y x ③,在⽅程②两边同乘以，得3486=+y x ④,然后③④，就可以将消去，得2=y ,把2=y 代⼊①得，3=x .所以⽅程组的解为==.2,3y x

（在引导的过程中，肯定学⽣的好的想法.）其实在我们学习数学的过程中，⼆元⼀次⽅程组中未知数的系数不⼀定刚好是或，或同⼀个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是这样的⽅程组，我们要想⽐较简捷地把它解出来，就需要转化为同⼀个未知数系数相同或相反的情形，从⽽⽤加减消元法，达到消元的⽬的.请⼤家把解答过程写出来.解：①×，得：6936x y +=， ③ ②×,得：3486=+y x ， ④③－④，得：2=y .将2=y 代⼊①，得：3=x .所以原⽅程组的解是?==23y x . 内容：议⼀议

根据上⾯⼏个⽅程组的解法，请同学们思考下⾯两个问题：()加减消元法解⼆元⼀次⽅程组的基本思路是什么？()⽤加减消元法解⼆元⼀次⽅程组的主要步骤有哪些？(由学⽣分组讨论、总结并请学⽣代表发⾔)［师⽣共析］

()⽤加减消元法解⼆元⼀次⽅程组的基本思路仍然是“消元”.()⽤加减法解⼆元⼀次⽅程组的⼀般步骤是：

①变形找出两个⽅程中同⼀个未知数系数的绝对值的最⼩公倍数，然后分别在两个⽅程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．

②加减消元，得到⼀个⼀元⼀次⽅程.③解⼀元⼀次⽅程．

④把求出的未知数的解代⼊原⽅程组中的任⼀⽅程，求出另⼀个未知数的值，从⽽得⽅程组的解．

注意：对于较复杂的⼆元⼀次⽅程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个⽅程整理成含未知数的项在⽅程的左边，常数项在⽅程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.

意图：使学⽣明确使⽤加减法的条件，体会在某些条件下使⽤加减法的优越性．效果：通过本环节的学习，加深和巩固了学⽣对加减消元法的认识.第三环节：巩固新知内容：

⑴回忆上⼀节的练习和习题，看哪些题⽤代⼊消元法解起来⽐较简单？哪些题我们⽤加减消元法简单？我们分组讨论，并派⼀个代表阐述⾃⼰的意见，试说明两种解⽅程组的⽅法的共同特点和各⾃的优势.

.关于⼆元⼀次⽅程组的两种解法：代⼊消元法和加减消元法，通过⽐较，我们发现其实质都是消元，即通过消去⼀个未知数，化“⼆元”为“⼀元”.

.只有当⽅程组的某⼀⽅程中某⼀未知数的系数的绝对值是时，⽤代⼊消元法较简单，其他的⽤加减消元法较简单.⑵完成课本随堂练习⑶补充练习：

①选择：⼆元⼀次⽅程组?

=-=-625423y x y x 的解是（ ）. .-==11y x . ??-=-=211y x . ??-==211y x . ??=-=211y x ②()053222

=-++-+y x y x ，求的值. 意图：通过练习，使学⽣熟练地⽤加减法解⼆元⼀次⽅程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能⼒．效果：通过本环节的练习，学⽣能够较熟练地运⽤加减法解⼆元⼀次⽅程组.第四环节：课堂⼩结内容：

.关于⼆元⼀次⽅程组的两种解法：代⼊消元法和加减消元法.⽐较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去⼀个未知数，化“⼆元”为“⼀元”.

. ⽤加减消元法解⽅程组的条件：某⼀未知数的系数的绝对值相等．. ⽤加减法解⼆元⼀次⽅程组的步骤：①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．②加减消元．③解⼀元⼀次⽅程．

④求另⼀个未知数的值，得⽅程组的解．意图：巩固和加深对化归思想的理解和运⽤.

效果：学⽣能够在课堂上畅所欲⾔，并通过⾃⼰的归纳总结，进⼀步巩固了所学知识.第五环节：布置作业.课本习题

.阅读读⼀读·你知道计算机是如何解⽅程组吗.五、教学设计反思

本节课是让学⽣学习⼆元⼀次⽅程组的加减消元解法.在学习⼆元⼀次⽅程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想.因⽽在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学⽣的学习兴趣，并通过精⼼设计的问题，引导学⽣在已有知识的基础上，⾃⼰⽐较、分析得出⼆元⼀次⽅程组的解法，在巩固议练活动中，加深学⽣对“化未知为已知”的化归思想的理解.特别是如何由代⼊消元法到加减消元法，过渡⾃然。