§7.6 圆的方程（第二课时） ㈠课时目标
1． 掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。 2． 待定系数法之应用。 ㈡问题导学
问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 -2ax-2by+ =0
问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？ ① ； ② 1 ③ 0； ④ -2x+4y+4=0
⑤ -2x+4y+5=0; ⑥ -2x+4y+6=0 ㈢教学过程（） [情景设置]
把圆的标准方程 展开得 -2ax-2by+ =0
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： +Dx+Ey+F=0 ①
提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗? [探索研究]
将①配方得 : ( ) ②
将方程 ②与圆的标准方程对照.
⑴当 ＞0时, 方程 ②表示圆心在 (- ),半径为 的圆. ⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).
⑶当 ＜0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.
结论: 当 ＞0时, 方程 ①表示一个圆, 方程 ①叫做圆的一般方程.
圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点: ⑴ 和 的系数相同,不等于0; ⑵没有xy这样的二次项.
以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件 [知识应用与解题研究]
[例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标. ⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0) [例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。 分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。 [例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。 反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。 ㈣提炼总结
1． 圆的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。
2． 二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是：A=C≠0且B=0。
3． 圆的方程两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。 4． 两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）。 ㈤布置作业
1． 直线l过点P（3，0）且与圆 -8x-2y+12=0截得的弦最短，则直线l的方程为： 2． 求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。 ⑴ -2x-5=0； ⑵ +2x-4y-4=0
3．经过两圆 +6x-4=0和 +6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。
线段的垂直平分线
教学内容：
线段的垂直平分线 教学目的：
1、使学生理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。
2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。
3、结合教学内容培养学生的动作思维、形象思维和抽象思维能力。 教学重点：
线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。 教学难点：
线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。 教学关键：
1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。
2、到线段两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。 教 具：投影仪及投影胶片。 教学过程： 一、提问
1、角平分线的性质定理及逆定理是什么？ 2、怎样做一条线段的垂直平分线？ 二、新课
1、请同学们在课堂练习本上做线段AB的垂直平分线EF（请一名同学在黑板上做）。 2、在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=？，PB=？引导学生观察这两个值有什么关系？
通过学生的观察、分析得出结果 PA=PB，再取一点P＇试一试仍然有P＇A=P＇B，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论叙述成命题（用幻灯展示）。
定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。
这个命题，是我们通过作图、观察、猜想得到的，还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。
已知：如图，直线EF⊥AB，垂足为C，且AC=CB，点P在EF上 求证：PA=PB
如何证明PA=PB学生分析得出只要证RTΔPCA≌RTΔPCB
证明：∵PC⊥AB（已知）
∴∠PCA=∠PCB（垂直的定义） 在ΔPCA和ΔPCB中
∴ΔPCA≌ΔPCB（SAS）
即：PA=PB（全等三角形的对应边相等）。
反过来，如果PA=PB，P1A=P1B，点P，P1在什么线上？
过P，P1做直线EF交AB于C，可证明ΔPA P1≌PB P1（SSS） ∴EF是等腰三角型ΔPAB的顶角平分线
∴EF是AB的垂直平分线（等腰三角形三线合一性质）
∴P，P1在AB的垂直平分线上，于是得出上述定理的逆定理（启发学生叙述）（用幻灯展示）。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 根据上述定理和逆定理可以知道：直线MN可以看作和两点A、B的距离相等的所有点的集合。
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 三、举例（用幻灯展示）
例：已知，如图ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证：PA=PB=PC。 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 同理PB=PC ∴PA=PB=PC
由例题PA=PC知点P在AC的垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P，这点到三个顶点的距离相等。 四、小结
正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论，加强证明前的分析，找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在线段的垂直平分线上。 五、练习与作业 练习：第87页 1、2 作业：第95页 2、3、4 《教案设计说明》
线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，都是几何中的重要定理，也是一条重要轨迹。在几何证明、计算、作图中都有重要应用。我讲授这节课是线段垂直平分线的第一节课，主要完成定理的引出、证明和初步的运用。
在设计教案时，我结合教材内容，对如何导入新课，引出定理以及证明进行了探索。在导入新课这一环节上我先让学生做一条线段AB的垂直平分线EF，在EF上取一点P，让学生量出PA、PB的长度，引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系：得到什么结论？学生回答：PA=PB。然后再让学生取一点试一试，这两个长度也相等，由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理。在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来，使学生通过作图、观察、量一量再得出结论。从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程。在教学时，引导学生分析性质定理的题设与结论，画图写出已知、求证，通过分析由学生得出证明性质定理的方法，这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程，只有学生动脑思考了，才能真正理解线段垂直平分线的性质定理，以及证明方法。在
此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等，这样的点应在什么样的直线上？由条件得出这样的点在线段的垂直平分线上，从而引出性质定理的逆定理，由上述两个定理使学生再进一步知道线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离的所有点的集合。这样可以帮助学生认识理论来源于实践又服务于实践的道理，也能提高他们学习的积极性，加深对所学知识的理解。在讲解例题时引导学生用所学的线段垂直平分线的性质定理以及逆定理来证，避免用三角形全等来证。最后总结点P是三角形三边垂直平分线的交点，这个点到三个顶点的距离相等。为了使学生当堂掌握两个定理的灵活运用，让学生做87页的两个练习，以达到巩固知识的目的。
[教学内容]
连乘、乘加、乘减和把整数乘法运算定律推广到小数。 [教学目标]
1．掌握小数的连乘、乘加、乘减的运算顺序，并能按运算顺序正确计算结果。 2．理解整数乘法的交换律、结合律、分配律对于小数同样适用。 3．提高学生的类推能力，培养学生知识间存在着内在联系的思想。 [教学过程]
课前谈话：前面我们学习了小数乘法，通过学习我们发现小数乘法与整数乘法间存在着紧密的联系。今天这节课我们继续学习新知识，看哪位同学学得快，掌握得好。 （一）复习旧知
1．出示投影，先回答问题，再计算。 （1）12×5×60 （2）30×7+85 （3）250×4-200
教师提问：每个式题各含什么运算？是什么式题？每题的运算顺序是什么？ 学生回答后，在练习本上计算结果。 订正：（1）3600 （2）295 （3）800
教师说明：小数的这些运算顺序跟整数是一样的。
教学意图：本环节通过三个式题复习整数连乘、乘加和乘减的运算顺序，并向学生说明小数的运算顺序跟整数一样，为下面学生将整数运算顺序迁移到小数作准备。 （二）小数连乘、乘加、乘减 1．初步尝试。 出示例6：
光明小学的同学们在校园里种了300棵蓖麻，平均每棵收蓖麻籽0.18千克，每千克可榨油0.45千克，一共可榨油多少千克？
全班学生默读题目后，指名让学生说出怎样列算式，教师板书。然后让学生独立尝试把这道题做完，教师指名板书计算过程： 0.45×0.18×300 =0.081×300 =24.3（千克）
答：一共可榨油24.3千克。 订正答案后，教师提问：
（1）算式中有几步计算？每个数目都是小数吗？是什么式题？
（2）这个含有小数的连乘式你是按什么运算顺序进行计算的？（按从左到右的运算顺序进行计算。） 2．进行类推。
计算下列各题。 （1）72×0.81+10.4 （2）7.06×2.4-5.7
学生先在练习本上独立解答，在订正答案时说说每题的运算顺序。 订正：（1）68.72（含有乘法与加法两种运算，先计算乘法，再计算加法。）（2）11.244（含有乘法与减法两种运算，先算乘法，再计算减法。）
3．教师小结：今天我们学习了小数的连乘、乘加、乘减。这些运算的运算顺序与整数相同。板书：连乘、乘加、乘减
教学意图：本环节利用迁移，让学生将整数的运算顺序类推到小数，尝试完成小数的连乘、乘加、乘减的运算，培养学生的类推能力。 （三）整数乘法运算定律推广到小数 1．复习。 教师提问：我们在学习整数乘法时曾学习过几个运算定律，谁还记得是什么？用字母怎样表示？
教师贴出：a×b=b×a （a×b）×c=a×（b×c） （a＋b）×c=a×c+b×c 提问学生：乘法交换律中两个数的范围是什么？结合律中三个数的范围是什么？分配律中三个数的范围是什么？（这些数的范围都是整数。） 2．观察讨论。
教师用投影出示两组算式，学生口答结果，然后教师用○将左右两组算式相连。 0.7×1.2○1.2×0.7 （0.8×0.5）×0.4○0.8×（0.5×0.4） （2.4＋3.6）×0.5○2.4×0.5+3.6×0.5
让学生观察这三组算式，并讨论以下问题：
（1）这三组算式左右两边的结果相等吗？中间可以用什么符号连接？ （2）等号两边的算式有什么特点？与我们学过的什么知识一样？ （3）你能得出什么结论？
学生通过讨论将得出如下结论：
①三组算式左右两边的结果相等，中间可以用等号连接。
②第一组是把两个相乘的数交换位置，结果不变，与学过的乘法交换律一样。第二组先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，与先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，结果相等，与乘法结合律一样。第三组是两个数的和与一个数相乘，与这两个数分别与这个数相乘后求和，结果不变，与乘法分配律一样。
③整数乘法运算定律在小数中同样适用。 教师提问：我们分别比较这三组算式左右两侧的式子，哪一个式子在计算中更为简便？（第一组写成竖式，右边的比较简便，第二组不明显，第三组左式比右式简便。）
3．教师小结：通过观察讨论，我们发现整数的乘法运算定律可以推广到小数乘法，并且利用这些运算定律可以使一些小数乘法计算更简便。 板书：整数乘法运算定律推广到小数乘法。 教学意图：本环节教师指导学生观察每组两个算式的特点以及它们的相等关系，并且通过讨论使学生认识到整数乘法运算定律对于小数也适用，同样可以使一些计算更加简便，从而培养学生的观察、比较能力。 （四）巩固练习
1．填空，并说一说应用了哪个运算定律。（填在书上）
4.2×1.69=□×□ 2.5×（0.77×0.4）=（□×□）×□ 6.1×3.6＋3.9×3.6=（□+□）×□ 2．计算下面各题。 （1）19.4×6.1×2.3 （2）3.25×4.76-7.8 （3）18.1×0.92＋3.93 （4）5.67×0.21-0.62 （5）7.2×0.18×28.5 （6）0.043×0.24＋0.875
教师巡视，注意学生的运算顺序是否存在问题。 3．判断对错。 （1）50.4×1.95-1.9 （2）3.76×0.25＋25.8 =50.4×0.05 =0.9776＋25.8 = 25.2 =26.7776
全体学生用手势判断，并说出错误原因。 4．应用题。
玉山农场新建一座温室，室内耕地面积是285平方米，全部栽种西红柿，一茬平均每平方米产6千克。每千克按1.30元计算，一共可收入多少元？ 学生完成练习后，教师及时订正： 2．（1）272.182 （2）7.67 （3）20.582 （4）0.5707 （5）36.936 （6）0.88532 3．（1）运算顺序错误。改正：（2）计算错误。改正： 50.4×1.95-1.9 3.76×0.25＋25.8 =98.28-1.9 =0.94＋25.8 =96.38 =26.74 4．1.30×6×285=2223（元） 教学意图：本环节通过多种练习使学生分别对整数乘法运算定律推广到小数乘法，与小数连乘、乘加、乘减这两部分知识进行巩固。其中第二题的六道计算题，各题目计算结果小数部分位数较多，除了注意学生的运算顺序是否正确外，还要注意学生的计算正确率。
2、科学记数法
学习目标：借助身边熟悉的事物进一步体会大数，并会用科学记数法表示大数。 学习重点：能用科学记数法表示大数 学习难点：对科学记数法法则的理解 学习过程：
一、 生活中有比100万更大的数吗？
生活中有比100万更大的数吗？请试举出几个例子。(学生可能会举出课本上的三个例子，引导创设以下问题情境) 请同学们看下面的问题：
1、 我国现在约有14亿人口，每个人每天平均需要的基本粮食（米、面）为0.5千克，算一算每天全国人民需要 吨基本粮食？一个月需要 吨？一年需要 吨？
2、 中国国家图书馆藏书大约有2亿册，居世界第5位，如果我们班60名同学每人借阅2本书，那么中国图书馆的藏书大约可供 个我们这样的班借阅？
3、 我国的陆地国土面积为960平方千米，如果把它换算成平方米，则在96后面应添 个零？如果把它换算成平方厘米，则在96后面应添 个零？
从上面的问题中，你发现这些数据有什么特点？
(学生讨论：甲：这些数据都比较大，比100万都大；乙：这些数据读和写都比较困难…..) (师：请同学们想一想，有没有更简单的方法来表示它们，使我们便于书写和读这些比较大的数？这就是我们今天要学习的“科学记数法”，板书课题：科学记数法.通过师生互动，引导学生不断思考，引出课题，激发学生学习兴趣，活跃课堂气氛) 二、 探索科学记数法
1、 回顾有理数的乘方运算，算一算： 10 ＝ 10 ＝ 10 ＝ 10 ＝
讨论：10 表示什么？指数与运算结果中的0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？
一般地，10的n次幂，在1的后面有 个0。
(通过这个问题的设置，让学生对幂的意义进行回忆，弄清指数与其结果中零的个数的关系，经此帮助学生对科学记数的理解)
2、 课堂练习：把下列各数写成10的幂的形式： 100000＝ 10000000＝ 1000000000＝
(通过这个题的学习，让学生进一步体会用幂的形式表示数的简便性从而导出用科学记数法表示大数)
我们可以借助10的幂的形式来表示大数。 比如：1300000000＝1.3×10 ，69600000000＝6.96×10 ，300000000＝ 98000000＝ ，10100000000＝ ，61000000＝ 。
下面请同学们用这种方法表示我们开始问题中的大数。（可以用计算器进行计算）
3、 科学记数法：一个大于10的数可以表示成 的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法（scientific notation）。
(通过前面问题的探讨，要求学生思考、交流,在教师的引导下，得出科学记数法的概念。) 三、 应用举例，巩固概念
1、 强强从图书馆查了一些资料，请你把其中的数据用科学记数法表示出来。 （1） 人的大脑约有10,000,000,000个细胞； （2） 全世界人口约为61亿；
（3） 光的速度为300,000,000米/秒；
（4） 中国森林面积约为128，630,000公顷；
(5) 2002年赴韩国观看世界杯足球赛的中国球迷超过了1.5万人。
2.二十一世纪，纳米技术将被广泛应用。纳米是长度计量单位。1米＝10 纳米，则55米可以用科学记数法表示为多少纳米呢？
3.《国际新闻》节目中报道了这样一则消息：
联合国劳工组织预计受2001年“9.11”恐怖事件的影响，全球旅游业可能有9×10 人失业，美国保险公司安邦集团认为此次恐怖事件对全球经济造成的损失将高达1×10 美元，其中仅美国市场的损失预计超过1×10 美元。
这则消息中的数据是用科学记数法表示出来的，请你把它们所代表的原来的数表示出来。
4.把调查北京在所有申奥城市中享有最高程度的民众支持率，支持北京申奥的北京市民有1299万人，小明与小颖打算把这个数据用科学记数法表示出来，但他们的想法却不一样。 小明认为结果是：0.1299×10 人
小颖认为结果是：12.99×10 人 你有什么想法呢？
（引导学生积极思考，主动回答，目的是通过该组题目的训练，进一步让学生体会用科学记数法表示大数的必然性） 四.学习小结：
通过本节课的学习，你有哪些收获与感受？你学到了什么知识？
设计意图：通过设计丰富的数学问题情境，激发学生的好奇心和主动学习的愿望。生活中有很多比100万还大的数，这些数在书写和读都比较困难，学生往往都有争强好胜的心理，通过设置问题情境，引导学生去主动探索，寻找出一种表示大数的方法。
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