第6讲 层次分析方法

一、问题的提出引例１：一类综合评价问题购买笔记本电脑品牌故障率外观价格售后配CPU置内存主板硬盘显卡显示屏尺寸颜色形态42013年8月6日

一、问题的提出引例2：一类选优排序问题在任何一个单位(如院校、科研单位等)都有根据某些条件对所属人员进行选优的问题，如职称评定、选调职级、教学成果奖、科研成果奖等。

为了使选优的结果更合理、更科学、更具有广泛的民主性，以某院校选优的实际问题为背景来分析研究这一问题．

5

2013年8月6日

一、问题的提出引例3：选拔优秀队员问题现假设有20名队员准备参加竞赛，根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队，每个队3名队员去参加比赛。选择队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩、智力水平、动手能力、写作能力、外语水平、协作能力和其它特长。

每个队员的基本条件量化后如下表所示。

问题：在20名队员中选择18名优秀队员参加竞赛.

6

2013年8月6日

引例3：选拔优秀队员问题 条件 学科成绩 智力水平 动手能力 写作能力 外语水平队员 （Ⅰ） (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) (Ⅴ) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 8.6 8.2 8.0 8.6 8.8 9.2 9.2 7.0 7.7 8.3 9.0 9.6 9.5 8.6 9.1 9.3 8.4 8.7 7.8 9.0 9.0 8.8 8.6 8.9 8.4 9.2 9.6 8.0 8.2 8.1 8.2 9.1 9.6 8.3 8.7 8.4 8.0 8.3 8.1 8.8 8.2 8.1 8.5 8.3 8.5 8.2 9.0 9.8 8.4 8.6 8.0 8.1 8.3 8.2 8.8 8.6 9.4 9.2 9.6 9.5 8.0 6.5 8.5 9.6 7.7 7.9 7.2 6.2 6.5 6.9 7.8 9.9 8.1 8.1 8.4 8.8 9.2 9.1 7.6 7.9 7.9 7.7 9.2 9.7 8.6 9.0 9.1 8.7 9.6 8.5 9.0 8.7 9.0 9.0 8.8 8.6 8.4 8.7 9.0 7.7 协作能力(Ⅵ) 9.5 9.1 9.6 9.7 9.2 9.0 9.2 9.7 9.3 9.4 9.5 9.7 9.3 9.0 9.4 9.5 9.1 9.2 9.6 9.0 其它特长(Ⅶ) 6 2 8 8 9 6 9 6 5 4 5 6 7 5 5 6 7 8 9 6 72013年8月6日

一、问题的提出•层次分析法（Analytic Hierarchy Process）：一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法．

•特点：将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法，使人们的思维过程层次化．•用途：通过逐层比较多种关联因素为分析评估、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，它特别适用于那些难于完全用定量方法进行分析的复杂问题．

8

2013年8月6日

二、层次分析的一般方法•分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，一般层次结构分为三层:目标层、准则层、方案层。

•构造两两比较矩阵：对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则(目标)的重要性进行两两比较。•由比较矩阵计算被比较因素对每一准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验。

•计算方案层对目标层的组合权重，并进行排序。

9

2013年8月6日

二、层次分析的一般方法1、建立层次结构图最高层为目标层(O),中间层为准则层(C),最低层为方案层(P).

目标层准则层准则1决策目标准则2子准则层方案层子准则11方案1方案2子准则12方案1方案2子准则21方案2102013年8月6日

二、层次分析的一般方法2、构造两两比较矩阵设要比较n个因素C1,C2,,Cn对上一层O的影响程度，即要确定它在O中所占的比重。 对任意两个因素 Ci和 Cj，用 aij表示 Ci和Cj对O的影响程度之比，按１～９的比例标度来度量aij(i,j1,2,,n)。 11

2013年8月6日

2、构造两两比较矩阵即可确定比较矩阵A(aij)nn，又称为判断矩阵，显然aij0, 1aji,aii1,(i,j1,2,,n)。 aij又称判断矩阵为正互反矩阵。 如果判断矩阵A具有传递性，即满足aijajkaik(i,j,k1,2,,n)，则称A为一致性矩阵，简称为一致阵。 12

2013年8月6日

2、构造两两比较矩阵标度aij 含 义 1 Ci与Cj的影响相同 3 Ci比Cj的影响稍强 5 Ci比Cj的影响强 7 Ci比Cj的影响明显地强 9 Ci比Cj的影响绝对地强 2,4,6,8 Ci与Cj的影响之比在上述两个相邻等级之间 11 ,, Cj与Ci的影响之比为上面aij的互反数 2913

2013年8月6日

二、层次分析的一般方法3、相对权重向量确定方法1) 和法：取判断矩阵n个列向量归一化后的算术平均值，近1naij(i1,2,,n) 似作为权重，即 winnj1akjk12)求根法（几何平均法）：将A的各列向量求几何平均后归一化，近似作为权重，即 wiaijj1n14

1nakj(i1,2,,n) k1j1nn2013年8月6日

1n3、相对权重向量确定方法3)特征根法：设把一大石头Z分成 n个小块：c1,c2,,cn，其重量 分别为w1,w2,,wn， 则cw1i,cj的相对重量为 w1awiAw2ijw，即可得到 w1j比较矩阵： wnw115

w1ww1ww2wn22w2wnwnwnw2wn2013年8月6日

3、相对权重向量确定方法A为一致性正互反矩阵， T记W(w1,w2,,wn) 为权重向量。且由 111AWW,,,wnw1w2 WnWw1w1w2Aw1wnw1w1w2w2w2wnw2w1wnw2wnwnwn知W为矩阵A的特征向量， 且n为特征根. 定理 n阶正互反矩阵A件是maxaijnn是一致阵的充要条n。 16

2013年8月6日

二、层次分析的一般方法4、判断矩阵的一致性检验通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性。

事实上，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内。

172013年8月6日

4、判断矩阵的一致性检验主要考查以下指标： 1) 一致性指标：CImaxn; n12) 随机一致性指标：RI通常由实际经验给定的. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.54 1.56 1.58 1.59 3) 一致性比率指标：CRCI，当CR0.10时，认为RI判断矩阵的一致性是可以接受的。 18

2013年8月6日

二、层次分析的一般方法5、组合权重和组合一致性检验 对任意的k2有一般公式： (2)(k)(k)(k1)(3)(2) WPPPW(k2) 其中W是第二层上各元素对目标层的总排序向量。 目标层决策目标准则层准则1准则2子准则层子准则11子准则12子准则21方案层方案1方案2方案1方案2方案2192013年8月6日

5、组合权重和组合一致性检验设k层的一致性指标为CI指标为RI(k)1(k)1,CI,,CI(k)2(k)nk1，随机一致性,RI,,RI(k)(k)2(k)nk1。 (k)nk1第k层对目标层的的组合一致性指标: CICI,CI,,CI(k)(k)1(k)2(k1)W (k)nk1组合随机一致性指标：RIRI,RI,,RI(k)(k)(k1)(k)1(k)2(k1)W CI(k)(k3) 组合一致性比率指标:CRCRRI(k)当CR0.10时，则整个层次比较判断通过一致性检验。 20

2013年8月6日

三、案例分析:合理分配住房问题1.问题的提出许多单位都有一套住房分配方案,一般是不同的。某军事院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法,其原则是: “按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房,任职时间相同时再考虑其它条件(如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等）适当加分，从高分到低分依次排队”．我们认为这种分配方案仍存在不合理性。

21

2013年8月6日

三、案例分析:合理分配住房问题根据民意测验,百分之八十以上人认为相关条件为职级、任职时间(任副处时间)、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况．要解决的问题：

请你按职级分档次，在同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N人的合理分配住房方案．

用你的方案根据表中的40人情况给出排队次序，并分析说明你的方案较原方案的合理性．

22

2013年8月6日

三、案例分析:合理分配住房问题人员 职级 任职时间 工作时间 职称 学历 爱人情况 出生年月 奖励加分 P1 8 1991.6 1971.9 中级 本科 院外 1954.9 0 P2 8 1992.12 1978.2 高级 硕士 院内职工 1957.3 4 P3 8 1992.12 1976.12 中级 硕士 院外 1955.3 1 P4 8 1992.12 1976.12 中级 大专 院外 1957.11 0 P5 8 1993.1 1974.2 中级 硕士 院外 1956.10 2 P6 8 1993.6 1973.5 中级 大专 院外 1955.10 0 P7 8 1993.12 1972.3 中级 大专 院内职工 1954.11 0 P8 8 1993.12 1977.10 高级 硕士 院内干部 1960.8 3 P9 8 1993.12 1972.12 中级 大专 院外 1954.5 0 P10 8 1993.12 1974.8 高级 本科 院内职工 1956.3 4 P11 8 1993.12 1974.4 中级 本科 院外 1956.12 0 P12 8 1993.12 1975.12 高级 硕士 院外 1958.3 2 P13 8 1993.12 1975.8 中级 大专 院外 1959.1 0 P14 8 1993.12 1975.9 中级 本科 院内职工 1956.7 0 P15 9 1994.1 1978.10 高级 本科 院内干部 1961.11 5 P16 9 1994.6 1976.11 高级 硕士 院内干部 1958.2 0 P17 9 1994.6 1975.9 高级 本科 院内职工 1959.6 1 P18 9 1994.6 1975.10 高级 本科 院内职工 1955.11 6 P19 9 1994.6 1972.12 初级 中专 院外 1956.1 0 P20 9 1994.6 1974.9 中级 大专 院内职工 1957.1 0 232013年8月6日

三、案例分析:合理分配住房问题人员 职级 任职时间 工作时间 职称 学历 爱人情况 出生年月 奖励加分 P21 9 1994.6 1975.2 高级 硕士 院外 1958.11 2 P22 8 1994.6 1975.9 中级 硕士 院内职工 1957.4 3 P23 9 1994.6 1976.5 中级 本科 院外 1957.7 0 P24 9 1994.6 1977.1 中级 本科 院内干部 1960.3 0 P25 8 1994.6 1978.10 高级 硕士 院内干部 1959.5 2 P26 9 1994.6 1977.5 中级 本科 院内职工 1958.1 0 P27 9 1994.6 1978.10 中级 硕士 院内干部 1963.4 1 P28 9 1994.6 1978.2 中级 本科 院外 1960.5 0 P29 9 1994.6 1978.10 高级 博士后 院内干部 1962.4 5 P30 9 1994.6 1979.9 中级 本科 院外 1962.9 1 P31 8 1994.12 1975.6 中级 大专 院内干部 1958.7 0 P32 8 1994.12 1977.10 高级 硕士 院内干部 1960.8 2 P33 8 1994.12 1978.7 高级 博士后 院外 1961.12 5 P34 9 1994.12 1975.8 高级 博士 院外 1957.7 2 P35 9 1994.12 1978.10 高级 博士 院内干部 1961.4 3 P36 9 1994.12 1978.10 高级 博士 院内干部 1962.12 6 P37 9 1994.12 1978.10 中级 本科 院内职工 1962.12 0 P38 9 1994.12 1979.10 中级 本科 院内干部 1963.12 0 P39 9 1995.1 1979.10 中级 本科 院内干部 1961.7 0 P40 9 1995.6 1980.1 高级 硕士 院内干部 1961.3 4 242013年8月6日三、案例分析:合理分配住房问题2.模型的分析该问题是一半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，可以利用层次分析法对此作出决策．鉴于原来的按任职时间先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲也有一定的合理性．

25

2013年8月6日

2. 模型的分析现在提出要充分体现重视人才、鼓励先进等政策，但也有必要照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑.

于是,可以认为相关的八项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的, 应有轻重缓急之分．

262013年8月6日

2. 模型的分析假设八项条件所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况. 这样能够符合大多数人的利益．

由上面的分析，首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：

272013年8月6日

2. 模型的分析•任职时间、工作时间、出生年月均按每月0.1分计算；

•职级差为1分,8级(处级)算2分,9级（副处级）算1分；

•职称每差一级1分,初级算1分,中级算2分,高级算3分；

•学历每差一档差1分,中专算1分,大专、本科、硕士、博士、博士后分别算2、3、4、5、6分;•爱人情况:院外算1分,院内职工算2分,院内干部算3分；

•对原奖励得分再加1分．

28

2013年8月6日

2. 模型的分析人员 Pn P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 P17 P18 P19P20 任职时间1Tn 8.3 6.5 6.5 6.5 6.4 5.9 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.2 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 工作时间 Tn2 32.0 24.3 25.7 25.7 29.1 30.0 31.4 24.7 30.5 28.5 28.9 26.9 27.3 27.2 23.5 25.8 27.2 27.1 30.5 28.4 职级 Tn(3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 职称 Tn4 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 3 3 1 2 爱人情况 Tn5 1 2 1 1 1 1 2 3 1 2 1 1 1 2 3 3 2 2 1 2 学历 6 Pn3 4 4 2 4 2 2 4 2 3 3 4 2 3 3 4 3 3 1 2 出生年月 奖励加分 Tn7 Tn8 52.4 49.4 51.8 48.6 49.9 51.1 52.2 45.3 52.8 50.6 49.7 48.2 47.2 50.2 43.6 48.3 46.8 51.0 50.8 49.6 1 5 2 1 3 1 1 4 1 5 1 3 1 1 6 1 2 7 1 1 292013年8月6日

2. 模型的分析人员 Pn P21 P22 P23 P24 P25 P26 P27 P28 P29 P30 P31 P32 P33 P34 P35 P36 P37 P38 P39P40 任职时间工作时间 12 TnTn 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.7 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.0 3.5 27.7 27.2 26.4 25.6 23.5 26.2 23.5 24.3 23.5 22.4 27.5 24.7 23.8 27.3 23.5 23.5 23.5 22.3 22.3 22.0 职级 Tn(3) 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 职称 4Tn 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 3 爱人情况 5Tn 1 2 1 3 3 2 3 1 3 1 3 3 1 1 3 3 2 3 3 3 学历 出生年月 奖励加分 678 PTnTn n4 4 3 3 4 3 4 3 6 3 2 4 6 4 5 5 3 3 3 4 47.4 49.3 49.0 45.8 46.9 48.4 42.1 45.6 43.3 42.8 47.8 45.3 43.5 49.0 44.5 42.2 42.2 41.0 44.2 44.6 3 4 1 1 3 1 2 1 6 2 1 3 6 3 4 7 1 1 1 5 302013年8月6日三、案例分析:合理分配住房问题3 . 模型的假设(1) 题中所述的相关的八项条件是合理的，有关人员均无异议；

(2) 八项条件在分房方案中所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况；

(3) 每个人的各项条件按统一原则均可量化，而且能够充分反映出每个人的实力；

(4) 在量化有关任职时间、工龄、年龄时，均计算到1998年5月．

31

2013年8月6日

三、案例分析:合理分配住房问题4 . 模型的建立与求解(1) 建立层次结构第一层为目标层O：综合选优排序； 第二层为准则层C：相关条件，共有八个因素，依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况，分别记为Ck(k1,2,,8)； 第三层为方案层P：N2个参评人员，依次记为P,2,,N． nn132

如下图:

2013年8月6日

4 . 模型的建立与求解层次结构图如下：选优排序条件ⅠC1条件ⅡC2条件ⅢC3条件ⅣC4条件ⅤC5条件ⅥC6条件ⅦC7条件ⅧC8对对对对对对对对对……象象象象象象象象象1234537383940P12 P2 P3 P4 P5 •••••• P37 P38 P39 P40

33

2013年8月6日

4 . 模型的建立与求解(2) 确定准则层C对目标层O的权重 根据假设（2），C层的八个因素是依次排列的，我们可以认为对决策目标的影响程度也是依次排列的，且相邻两个的影响程度之差可以认为基本相等． 1121314A1516171821121314151617321121314151645673456234512341212313121214131211514131234

8765 4321这是8阶正互反矩阵，A的最大特征值为max8.28828，相应的特征向量作归一化有 2013年8月6日

4 . 模型的建立与求解特征向量作归一化有 W1(0.331315,0.23066,0.157235,0.105903,0.0709356,0.0476811,0.0326976,0.0235625)T 随机一致性指标RI11.41，则一致性指标81CI1CR10.0292080.1，于是W1作为C层对O层的RI1权重向量． 35

2013年8月6日

CI1max80.041183，一致性比率指标4 . 模型的建立与求解(3) 确定方案层P对准则层C的权重 根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力．由此可以分别构造P层对准则Ck的比较矩阵 Bkbi,jkNN,其中bi,jkTikTj i,j1,2,,N;k1,2,,8k362013年8月6日

4 . 模型的建立与求解显然，所有的Bkk1,2,,8均为一致阵，由一致阵的性质可知，Bk的最大特征值一列向量都是 Wk(k)max(k)maxN,CR20，其任k的特征向量，将其归一化可得P对Ckk1k2kN的权重向量，记作 记 w,w,,w1Tk1,2,,8 8W2W,W,,W N8即为P层对C层的权重，且一致性比率指标为 1CR2CR20． k137

2013年8月6日

8k4 . 模型的建立与求解(4) 确定方案层P对目标层O的组合权重W 由于C对O的权重W1和P对C的权重W2，则P对O的权重为 WW2W1W,W,,W128 Ww,w,,w112NT其组合一致性比率指标为 CRCR2CR10.0292080.1， 因此，组合权重W可作为目标决策的依据． 38

2013年8月6日

4 . 模型的建立与求解(5) 综合排序 wnn1,2,,N是参评人员Pn对目标O层的权重，即wn就表示参评人级Pn的综合实力指标，按其大小依次排序，就可以得到决策方案. 由于组合权重Ww1,w2,,wN中的392013年8月6日

三、案例分析:合理分配住房问题5 . 40人的排队取N40．40个人的八项条件的量化指标如表1，则P层对C层的权重矩阵W2，其矩阵的每一列表示W2的一列向量WWW2W1w1,w2,,w40k，即P层对准则Ck的权重向量k1,2,,8． T(0.0315587,0.0300782,0.0277362,0.0267428,0.0285133,0.0267332,0.0269690,0.0287756,0.0258714,0.0286668,0.0258207,0.0272656,0.0250687,0.0263636, 0.0257468,0.0247239,0.0239682,0.0251514,0.0207114,0.0225957,0.0237618,0.0263821,0.0215905,0.0231776,0.0273104,0.0224454,0.0232328,0.0210685,0.0259746,0.0208275,0.0249390,0.0265460,0.0258889,0.0226997,0.0241848,0.0248248,0.0207412,0.0213651,0.0212535,0.0227248)T40

2013年8月6日

5 . 40人的排队方案以W的40个分量作为40名参评人员的综合实力指标，按大小依次排序，结果如表3． 表3：40人的排序结果 人员 P1 P2 P3名次 人员 名次 人员 名次 人员 名次 1 P1118 P21 27 P31 22 2 P128 6 P1321 P23 34 P33 16 P4 10 P1414 P55 P6 P7 P8 P9 P1011 9 3 17 4 P P P P P P20 151617181919 7 24 33 23 26 28 39 20 37 35 40 15 36 32 P22 13 P32 12 P24 29 P34 31 P25 P26 P27 P28 P29 P30 P35 25 38 P P P P P40 3637383930 41

2013年8月6日

三、案例分析:合理分配住房问题6 .模型的结果分析利用层次分析法给出了一种合理的分配方案，用此方案综合40人的相关条件得到了一个排序结果

从结果来看，完全达到了问题的决策目标，也使得每个人的特长和优势都得到了充分的体现．既照顾到了任职早、工龄长、年龄大的人，又突出了职称高、学历高、受奖多的人，而且也考虑了双干部和双职工的利益．

每一个单项条件的优势都不是绝对的优势．因此，这种方案是合理的，符合绝大多数人的利益．

42

2013年8月6日

6 .模型的结果分析譬如，P1在任职时间、工龄和年龄有绝对的优势，尽管其它条件稍弱，他仍然排在第一位．P8与P3、P4、P5、P6、P7相比，虽然任职时间晚，工龄短，年龄小，但是，在职称、学历、爱人情况、奖励情况都具有较强的优势，因此，他排在第三位是应该的． 432013年8月6日

6 .模型的结果分析类似情况还有P25、P32、P40等．相反的，P、4较其他人的任职稍早、工龄稍长、P6、P9、P19年龄稍大，但其他条件明显的弱，因此，次序明显靠后也是应该的．在多项条件相同时，只要有一项略强，就排在前面，如P35与P36，P38与P39等．这些都是符合决策原则的． 442013年8月6日