江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理

高二数学(理科)试卷

一、选择题（每小题5分，共60分。） 1. 抛物线y＝－12x的准线方程是( ) A．x＝－3

B．x＝3

C．y＝3

D．y＝－3

2

222. 当ab0时，方程axayb所表示的曲线是（ ）

A．焦点在x轴的椭圆

B．焦点在x轴的双曲线 D．焦点在y轴的双曲线

C．焦点在y轴的椭圆

x2y23.若以双曲线21（b0）的左、右焦点和点（1，2）为顶点的三角形为直角三角形，则b等于

2b（ ） A．

1 2

2B．1

C．2

D．2

4.抛物线yx上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是（ ） A．（1，1）

B．(,)

1124C．(,)

3924D．（2，4）

5.圆的极坐标方程为4cos，圆心为C，点P的极坐标为4,A.43 B．4

，则|CP|( ) 3 C．2

D．23

6.M是椭圆上一动点，F1和F2是左右焦点，由F2向F1MF2的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹为( ) A.直线 B．圆

C．双曲线

D．抛物线

x2y217.设椭圆221（ab0）的离心率为，右焦点F（c，0），方ax2bxc0的两个根分别为

ab2x1，x2，则点P（x1，x2）在( )

A.圆xy2内 B．圆xy2上 C．圆xy2外

2222222D．以上三种都有可能

2y28.过抛物线y2px（p0）的焦点F的直线与双曲线x1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，

3B两点，若|AF||BF|，且|AF|2，则抛物线的方程为（ ）

1

A．y2x B．y23x

222C．y4x

2D．yx

29.已知圆O:xy1，P是圆O上任意一点，过点P向x轴作垂线，垂足为P，点Q在线段PP上，且

PQ2QP，则点Q的轨迹方程是（ ）

y2y2222A．9xy1 B．x1 C．x9y1 D．x1

49222x2y2(b0)的左右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于B，A两10.F1，F2分别是双曲线

4b2点．若ABF2为等边三角形，则BF1F2的面积为（ ） A. 8

B. 82 C. 83

2 D. 16

11.在直角坐标系xOy中,抛物线y4x的焦点为F,准线为l，点P是准线l上任一点，直线PF交抛物线于A，B两点，若FP4FA，则AOB的面积S( )

B.2 C. 8

A.4 D.

32 2x2y212.设双曲线221（a0，b0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，Bab两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OPOAOB（，，R）则该双曲线的离心率为（ ） A．

二、填空题（每小题5分，共20分。）

13.点(1,1)关于直线xy10的对称点是______.

3，16233

B．35 5C．32 2D．

9 8x2y22214.已知双曲线221（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C:xy6x50 相切，且双曲线的

ab右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_____.

y215.设F1,F2分别是椭圆E:x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A,B两点，若

b2AF13BF1,AF2x轴，则b的值为_____.

2

16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2，且它们在第一象限的交点为P，若PF110，双曲线的离心率的取值范围为1,2．则△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．该椭圆的离心率的取值范围是 ．

三、解答题（共70分） 17. （本小题10分）

已知ABC的三个顶点A(4,0），B(8,10），C(0,6）. （1）求AC边上的高所在的直线方程；

（2）求过B点且与点A,C距离相等的直线方程。

18. （本小题12分）

在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1： 2与曲线C2：B．

（1）求AB的值；

（2）求过点C1,0且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．

19. （本小题12分）

已知动圆C与定圆x2y21内切，与直线x3相切. （1）求动圆圆心C的轨迹方程；

sin42交于不同的两点A，3

（2）若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值．

20. （本小题12分）

x2y2设直线l：y=2x﹣1与双曲线221（a0，b0）相交于A、B两个不

ab同的点，且OAOB0（O为原点）．

（1）判断

112是否为定值，并说明理由； 2ab（2）当双曲线离心率e(2,3)时，求双曲线实轴长的取值范围．

21. （本小题12分）

2F为抛物线C:y4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B两点，C的准线与x轴的交点为E，

动点P满足EPEBEA．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．

4

22. （本小题12分）

x2y22如图，已知椭圆221（ab0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2ab2为顶点的三角形的周长为4(21)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1k2为定值；

（3）是否存在常数，使得|AB||CD||AB||CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试

高二数学(理科)试卷参考答案

1-12 B D B A D B A A C C D A

13. (2,2)

14.

15．6 31216． 16.,

3517.解：（1）2x3y+14=0 .......5分 （2）3x+2y-44=0或7x-6y+4=0 ..........10分

5

18.解：

（1）∵2，∴x2y24，

又∵sin42，可得(sincos)2,∴yx2， 圆心(0,0)到直线yx2的距离为d222 ∴AB2r2d2242222． ........6分

（2）∵曲线C2的斜率为1，∴过点1,0且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为yx1，∴直线l的极坐标为sincos1，即cos242． ..........12分

19.解：（Ⅰ）设动圆C的圆心C(x,y)，

∵动圆C与定圆x2y21内切，与直线x3相切，

∴3xx2y21，

化简得y244x． ........5分

（Ⅱ）设Q(x,y)，则y244x，

∴|PQ|2(xm)2y2(xm)244xx(m2)24m． ......8分

当m1时，x1时上式取得最小值(m1)2，即|PQ|取得最小值|m1|；

当m1时，xm2时上式取得最小值4m，即|PQ|取得最小值2m． .....11分

∴|PQ||m1|,m1,min2m,m1.

 ........12分

20.【解答】解：（Ⅰ）

为定值5．

理由如下：y=2x﹣1与双曲线联立，

可得（b2﹣4a2）x2+4a2x﹣a2﹣a2b2

=0，（b≠2a）， 即有△=16a4

+4（b2

﹣4a2

）（a2

+a2b2

）＞0，

6

化为1+b2﹣4a2

＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，由（O为原点），可得

x1x2+y1y2=0，即有x1x2+（2x1﹣1）（2x2﹣1）=5x1x2﹣2（x1+x2）+1=0，

即5•﹣2•+1=0，

化为5a2b2+a2﹣b2

=0，即有=5，为定值． ......6分 （Ⅱ）由双曲线离心率时，

即为

＜＜

，即有2a2

＜c2

＜3a2

，

由c2=a2+b2，可得a2＜b2＜2a2，即＜＜，

由=5，可得＜﹣5＜，化简可得a＜，

则双曲线实轴长的取值范围为（0，）． .......12分

21.解：（I）抛物线y2

=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）． 设直线l的方程为x﹣my﹣1=0． 联立方程组

，消元得：y2

﹣4my﹣4=0．

设A（x=4m，x2

1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y21+x2=m（y1+y2）+2=4m+2．∴AB的中点坐标为M（2m2

+1，2m）． ∵

=

+

=2

，∴M为EP的中点．

∴，∴，即y2=4x﹣12．

∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12． ........6分 （II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

7

∴|AB|===4（m2+1）．

E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，

∴S△ABE=•|AB|•d=4，

∵

=

+

，∴四边形EAPB是平行四边形，

∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．

∴当m=0时，S取得最小值8．

此时直线l的方程为x﹣1=0．.........12分

22.解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，

得

，又2a+2c=

，

所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，

所以椭圆的标准方程为

；

所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），

因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为． .......2分

（Ⅱ）设点P（x0，y0）， 则k1=

，k2=

，

∴k1•k2==，

又点P（x0，y0）在双曲线上， ∴

，即y20=x20﹣4，

∴k1•k2==1． .........6分

（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立， 则由（II）知k1•k2=1，

∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），

8

由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2

﹣8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则由韦达定理得，

，

∴AB==，

同理可得CD===，∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|， ∴λ=

=

﹣

=

=

，

∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立． ......12

分9