Rosenau—Burgers方程的一个新的差分格式

２０１０年７月　四川师范大学学报（自然科学版）　Ｊｕｌｙ，２ｏ１０　第３３卷第４期　Ｊｏｕｍ￣ｏｆ　Ｓｉｃｈｕａｎ　Ｎｏｒｍ￣Ｕｎｉｖｅ￣ｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖ０１．３３．Ｎｏ．４　Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的一个新的差分格式　胡劲松　，　王玉兰　，　郑茂波　（１．西华大学数学与计算机学院，四川成都６１００３９；２．四川大学数学学院，四川成都６１ｏ０６４）　摘要：对Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的初边值问题进行了数值研究，提出了一个三层隐式差分格式，讨论了　差分解的先验估计，并利用离散泛函分析方法分析了该格式的二阶收敛性与稳定性，并利用数值实验进行　了验证．　关键词：Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程；差分格式；稳定性；收敛性　中图分类号：０２４１．８２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１～８３９５（２０１０）０４—０４５５—０３　ｄｏｉ：１０．３９６９／］．ｉｓｓｎ．１００１－８３９５．２０１０．０４．００９　在对紧离散系统的研究中，波一波及波一墙相　互作用的情形不能用众所周知的ＫｄＶ方程来处　（　）；＝　，（　）＾．　，　理．为了克服这个不足之处，Ｐ．Ｒｏｓｅｎａｕ　－２］提出了　＝生　如下方程：　，（Ⅱ“，　）＝　，　－　Ｊ＝Ｕ　ｔ＋Ｍ　蛾　ｆ＋　＋ｕ　＝０，　：（Ｕｎ￣ｎ），　ｍａｘ　Ｉ　Ｉ・　∈［０，Ｌ］，ｔ∈［０，Ｔ］，　（１）　¨对问题（２）～（４）考虑如下有限差分格式：　但是，为了对非线性波的进一步研究，需要对方程　（Ｍ　）；＋（“　）“蕊ｉ一（“　）疵＋（Ｈ　）；＋　（１）增加粘性项一ｕ　，即　ｔ＋　一对一　瓤＋　＋　＝０．　（２）　÷［　（　）；＋（（瓦　）　）；］＝０，　（５）　该方程称为ｔｔｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程．文献［３—６］对　０，＝“０（　，），０≤　≤Ｊ一１，　（６）　方程（２）的柯西问题进行了讨论，文献［７］对方程　Ｕ０　＝ｕ　＝０，　（Ｕ０　）疵＝（Ⅱ　）撕＝０．　（７）　（２）的初边值问题提出了一个具有二阶精度的两层　引理１对任意两个离散函数：ｕ，　∈　，使用　的差分格式，相应的初始条件和边界条件如下：　分部求和公式　』，有　ｕ（０，　）＝　（Ｌ，￡）＝０，　（０，　）＝　（Ｌ，　）＝０，ｔ∈［０，Ｔ］，（３）　（（　，）　，　，）＝一（　ｆ，（　，）ｉ），　（　ｆ，（　，）　）＝一（（　，（“　）．　“（　，０）＝ｕ。（　），　∈［０，　］．　（４）　从而有　本文对问题（２）～（４）提出了一个三层隐式有限差　（　，（　）　）＝一（（　）　，（　）　）＝一ｆＩ“　ｊｆ　．　（８）　分格式，讨论了差分解的先验估计并分析了格式的　进一步可以证明，若（ｕ　）晡＝（“；）撕：０，则（“　，　二阶收敛性和稳定性，同时给出数值算例来说明格　式的有效性．　（　）麒赫）＝ｆＩ　ｎ埘『Ｉ　．　引理２（离散的Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式　）存在常数　１差分格式和差分解的估计　ｃ　和ｃ２使得『　Ｉ『　『≤Ｃ　『Ｉ　『『＋ｃ　ｆＩ　Ｍ　．　引理３　（离散的Ｃｒｏｎｗａｌｌ不等式　）设　将区间［０，Ｌ］Ｘ［０，Ｔ］进行剖分，　＝ｊｈ，０≤．『≤　ｗ（ｋ），Ｐ（　）为非负网格函数，且Ｐ（｜ｉ｝）是非递减的，　‘，，ｈ为空间步长，ｔ　＝盯，　为时问步长，记ｕ　若Ｃ＞０，并且对Ｖ　都有，Ｗ（　）≤．ｐ（　）＋Ｃ丁　ｎ（　，ｎ　）和ｚ　＝｛ｕ＝（Ⅱ，）ｌ“０＝　，＝０，　＝０，１，２，　…．，｝．在本文中规定Ｃ为一般的正常数，在不同的　∑　（ｆ），则　（｜ｊ｝）≤ｐ（　）ｅ　．　，地方有不同的值，并且定义如下记号：　定理１设ｕ。∈　［０，Ｌ］，则差分方程（５）的　解满足：【ｌ“　ｌｌ≤Ｃ，ｌ　ｌｕ：ｌｌ≤Ｃ（ｎ＝１，２，…，Ⅳ），从　（ｕ　）　：　，（　）　：　，　而有ｆＩ“　ｉｆ　≤Ｃ．　收稿日期：２００８一ｌ２—２５　基金项目：国家自然科学基金（４０７０１０１４）资助项目　作者简介：胡劲松（１９７３一），男，副教授，主要从事计算数学的研究　４５６　四川师范大学学报（自然科学版）　３３卷　证明　（５）式与２瓦　（即Ｕ　＋　）作内积有　２差分格式的收敛性与稳定性　设问题（２）～（４）的解为　（　，ｔ），并且　，ｎ＝　（　，ｎｒ），则差分格式（５）的截断误差为　＝（ＩＩ　ｕ　Ｉｌ　一Ｉｌ“　『　）＋（（ｌ　）　，２　）一　（（　ｎ）蕊，２　）＋（（　）；，２　）＋（Ｐ，２　）＝０，（９）　其中，Ｐ＝÷［　－ｎ（　－ｎ）；＋（（　－ｎ）　）；］，由边界条件　（　ｎ）；＋（　）　；一（　）撕＋（哆）；＋　Ｉ　ｉ－　－ｈｉ　－ｎ＼，；＋（（　）　）；］，　（１８）　（７），利用引理１有　（（　）ｘｘ２ａ￥￣２　）：　，（１０）　（Ｐ，２　）＝　∑（　）　（　）；＋　芝（（　）ｚ）；－　ｎ：÷　（　＋（　）。）　一　１，一１　÷∑（　－ｎ　－ｎ一　＋（　）　）　－ｎ一　＝０．　（１１）　所以，由（９）～（１１）式得　［（１　ｌｕ　ｌｌ　一ｌ　ｌＩｌ　）＋　（Ｉｌ“　Ｉｌ　一ｌ　ｌＩＩ　）］＝　（（　）撕，　＋　ｎ　）一（（　）；，　＋　ｎ　）．（１２）　再由Ｓｃｈｗａｒｚ不等式有　（（Ｈ，ｎ）　，Ｍ　＋ｕ　）≤　ｌｌ　“ｆｌ　＋÷（１ｌ　ｕ　ｌＩ　＋ＩＩ　ｕ　），（１３）　一（（“　）；，Ｈｆｎ¨＋　）≤　ＩＩ　ｕ　＋÷（１　ｌ”　ｌＩ　＋ｌ　ＩＩ　Ｉ）．（１４）　由（１２）一（１４）式得　ｌ　ｌｕ”　ｌ　ｌ一ｌ　ｌＩ　ｌ＋ｌ　ｌＩＩ　一ｌＩ　ｕ　ｌ　ｌ≤　（１ｌ　Ｈ　Ｉ　ｌ＋ｌ　Ｉｎ　Ｉｌ　＋ｌＩ“　ｌｌ　＋ｌ　ｌＨ　ｌＩ　）．（１５）　再由（８）式及Ｓｃｈｗａｒｚ不等式有　ｌ　ｌ：ｌｌ　≤÷（１ｌ“　ｌｌ　＋ｌ　ｌｌ　ｉ）．　（１６）　则（１５）式等价于　（１　ｌＭ　｝　ｌ＋　ｌ　ｌｌ　ｌ）一（１ｌ　ｌ　Ｉ２＋　｝Ｉ　一　ｌｌ。）＋　（１　ｌＩｌ　＋ｌＩ“　Ｉ　ｌ）一（１　Ｉｕ　ｌ　Ｉ＋ｌ　ｌｌ　ｌ）≤　ｃ　（１ｌ“　ｌ　Ｉ＋｝ｌ　Ｍ　ｌ　ｌ＋ｌｌ　ｌ　Ｉ＋　【　ｌｕ“　ｌ　ｌ＋ｌ　ｌＩｔ　Ｉｌ　＋ｌ　ｌＵ　一　ｌｌ　）．　令Ｂ　＝（Ｉ　ｌｌ　ｌ＋Ｉｌ　ｕ　Ｉｌ　）＋（１ｌ“　『　ｌ＋　Ｉｆ　Ｉ　ｌ），上式变为（１一Ｃｒ）［Ｂ”　一Ｂ　］≤　２ＣｒＢ　，只要取足够小的　，满足１一Ｃｒ＝６＞０，就有　Ｂ“　一Ｂ　≤ＣｒＢ　．　（１７）　对（１７）式从。到ｎ一１求和得Ｂ　≤Ｂ。＋ｃ　∑Ｂ　，　由引理３得ｌＩ　ｕ　ｌＩ≤Ｃ，ｌ　ｌＩｌ≤Ｃ，由（１６）式知，　ｌ　Ｉ≤Ｃ，再由引理２得｝　ＩＵ　ｌ｛。≤Ｃ．　由Ｔａｙｌｏｒ展开，可知当＾，　时，　＝０（ｒ　＋ｈ　）．　定理２设／ｄ，。∈　［０，Ｌ］，则差分格式（５）～　（７）的解／３，　以ｌｌ・ＩＩ　收敛到初边值问题（２）一　（４）的解，且收敛阶为Ｏ（　＋ｈ　）．　证明将（１８）式减去（５）式，并记ｅ　＝　一ｕ　得　０ｎ＝（　）；＋（　）　一（　）撕＋（　）；＋Ｑ，（１９）　其中，Ｑ＝　ｌ　Ｌ　－ｎ　－ｎ）；一　（　）；］＋寺［（（　）　）；一　（（瓦　）　）；］，将（１９）式两端与２；　作内积，整理得　ｌ　ｌｅ”　Ｉｌ　一ｌ　ｌ　ｌ＋ｌ　ｌｅ　ｌｌ　一ｌｆ　ｅ　Ｉｌ　＝　２丁［（ｒ　ｎ，２ｅ“）＋（（ｅ　）赫，２ｅ　）＋　（一（ｅ　ｎ）；，２ｅ　）＋（一Ｑ，２ｅ　）］．　（２０）　结合引理１、定理１和Ｓｃｈｗａｒｚ不等式有　＾　，　（一Ｑ，２ｅ　）＝一÷　∑［　（　）；一　（　）；］　一　．，　』＝１　，、　÷　∑［（（一　Ｊ＝１　　）　）；一（（　）　）；］　＝　）　ｉ　一÷　∑　（Ｊ　Ｉ　　）；　ｎ一÷　∑（一　』　１　　）　（　）　一　，　Ｊ　，｜　÷　∑（Ｊ＝１　　）；－　ｎ一÷　∑（，＝Ｉ　　）；　＝　，　Ｊ　ｊ　一寺　∑　（Ｊ　１　　）辑－ｎ＋÷＾∑（一　Ｊ　１　　－ｎ，　－勺ｎ＋。＋－　ｎ一　）　＋　｜　Ｊ　÷　∑　（一　Ｊ＝１　　）；＋÷　∑　Ｊ＝１　－ｎ　－ｎ　－　ｎ）；＝　１　ｊ　÷　∑（　）；（　。＋　－ｎ一　）　ｎ＋寺　∑　－ｎ　－ｎ　Ｌ　－ｔｉ）；≤　ｃ［ＩＩ；　ｌ　ｌ＋ｌ　ｌＩ　］≤Ｃ［１　ｌｌ　＋　Ｉｆ　ｅ　一　｝ｌ　＋Ｉｌ　ｅ　ｎ　ｌ　ｌ＋Ｉ　ｌｅ　ｎ一　ｌＩ　］，（２１）　（　，２　）＝（　，ｅ”　＋ｅ　）≤　Ｉ　ｌ＋÷　ｅ”　Ｉ　ｌ＋Ｉｌ　ｅ　ｌ　，（２２）　（（ｅ　ｎ）氟，２；　）＝（（ｅ　ｎ）　ｅ　＋ｅ　）≤　Ｉ　ｎ　Ｉ『　＋÷［１　ｌｅ”　ｌ　Ｊ　＋　Ｉｆ　］，（２３）　（一（ｅ　ｎ）ｉ，２；　）＝（一（　，ｎ）；，ｅ　＋ｅ　）≤　ｌ　ｅ　＋÷　ｅ”　Ｉ　ｌ＋Ｉｌ　ｅ　ｌＩ　］．（２４）　所以，由（２０）一（２４）有　第４期　胡劲松等：Ｒｏｓｅ　ｅ　ｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的一个新的差分格式　４５７　≈　ｌ　＋　１　一　ｎ　ｅ　（１　Ｉｅ　Ｉ１　＋ｌ　ｊｅ　Ｉｌ　）一（Ｊ　Ｊ　ｅ２　ｌ　　Ｊ＋Ｉ２　　Ｊｅ　一２　　Ｉ　Ｊ　）＋　ｈ　），Ｉ　Ｊｅ　ｌＪ≤０（　＋ｈ　），由（２６）式，得Ｉ　Ｊｅ：Ｊ｝≤　（Ｉ　Ｉｅ　】　Ｉ＋Ｉ　ｌｅ　ｌ　ｌ）一（１　ｌｅ　＿、｛一　　Ｉ＋ｌ、ｌｒ　　Ｉｅ　＼４ｒ　ｌ　ｌ）≤　Ｄ（　＋ｈ　），再由弓Ｉ理２有ｌｌ　ｅ“ｌ　Ｉ≤０（ｒ　＋　）．　Ｃ　［１　ｊｅ“　ｌ　Ｉ＋Ｉ　Ｉｅ　一　ＩＩ　＋ｌ●　ｌｅ　／Ｌ一２　一ｌ　ｌ／Ｌ２●一＋ｌ／　　ｌｅ：ｌ２　ｌ　＋　与定理２类似，可以证明：　ｌ　ｌｅ　一　ＩＩ　＋【　ｌｅ　ｌ　ｌ］＋２　ｌＩ　ｒ　Ｉｌ　２．¨　（２５）　定理３在定理２的条件下，差分格式（５）～　ｅ　Ｐ　ｅ　类似于（１６）式有　ｎ　ｎ　＋　一　（７）的解Ｕ　以ｌｌ・Ｉ　ｌ稳定．　２　２　２　＋　＋　＋　３数值试验　ｅ　ｅ　口｛ｅ　｛　¨　考虑如下的Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程：　２　、　ｕｆ＋　硝ｔ一　＋　＋　Ⅱ　：０，　、　、，　（　，ｔ）∈（０，１）×（０，１］，　令Ｄ　＝（１　ｌｅ　Ｉ　ｌ＋ｌ　１ｅ　一　Ｉ　Ｉ）＋（１ｌ　ｅ　ｌ／　２　ｌ　＋　６　ｕ（ｘ，０）＝Ｕ。（　）＝　（１一　）　，　∈［０，１］．（２８）　Ｉ　Ｉｅ　Ｉ　ｌ），（２５）式变为ＪＤ”　一Ｄ　≤２丁ｌ　ｌｒ　ｌｌ　＋　本文格式是三层格式，不是自启动的，需要用　（Ｄ　＋Ｄ　），即（１一Ｃｒ）（Ｄ”　一Ｄ　）≤２ｒ　ｌ１　ｒ　ｌ　ｌ＋　其他的格式（如两层ｃ—Ｎ格式　）算出Ｕ　．由于方　２ＣｒＤ　，只要取足够小的　，满足１一Ｃｒ＝６＞０，就有　（Ｄ　一Ｄ　）≤Ｃｒ　ｌ　ｌｒ　＋ＣｒＤ　．　（２７）　程（２８）的精确解并不知道，我们将细网格上（如ｈ　＝对（２７）式从０到ｎ一１求和得Ｄ　≤　＋Ｃ　１／８０）的数值解作为参考值来估计误差，取　＝　ｔＩ一１　ｔＩ一１　０．１，在每个时间层上取平方误差，得到表１．　∑　ｌｌ　＋ｃ　∑Ｄ　．先用两层格式…计算出具　从表１可以看出，本文的差分格式是有效的　有二阶精度的　，使之满足Ｄ。≤Ｃ（７Ｉ　＋ｈ　）　，又　表１　ｒ＝Ｏ．１时不同时间层上平方误差　ｔＩ一１　Ｔａｂｌｅ１　Ｖａｒｉａｎｃｅｉｎ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｉｍｅｌａｙｅｒｓｗｈｅｎｆ＝０．１　Ｉ。≤盯。罂。　Ｉ　≤　。。（　＋　）　，　于是　ｎ一１　Ｄ　≤０（　。＋　）　＋ｃ７－　　．局　由弓ｆ理３可得，Ｄ　≤ｏ（丁。＋　。）。，即『　Ｉｅ　『Ｉ≤０（　。＋　参考文献　［１］Ｒｏｓｅｎａｕ　Ｐ．Ａ　ｑｕａｓｉ—ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｌｉｎｅ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ　Ｓｃｒｉｐｔａ，１９８６，３４：８２７—８２９．　［２］Ｒｏｓｅｎａｕ　Ｐ．Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｏｆ　ｄｅｎｓｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｇｒ　Ｔｈｅｏｒｅｔ　Ｐｈｙｓ，１９８８，７９：１０２８—１０４２．　［３］Ｌｉｕ　Ｌ，Ｍｅｉ　Ｍ，Ｗｏｎｇ　Ｙ　Ｓ．Ａｓｙｍｐｔｏｉｔｃ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ａ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌ：ＴＭＡ，２００７，６７：２５２７—２５３９．　［４］Ｌｉｕ　Ｌ，Ｍｅｉ　Ｍ．Ａ　ｂｅｔｔｅｒ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｏｆ　Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ，２００２，１３１：１４７—１７０．　［５］Ｍｅｉ　Ｍ．Ｌｏｎｇ—ｔｉｍｅ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｆｏ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（Ｉ）［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ａｎａｌ，１９９６，６３：３１５—３３０．　［６］Ｍｅｉ　Ｍ．Ｌｏｎｇ—ｔｉｍｅ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｒｏｓｅｎａｎ—Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ（ＩＩ）［Ｊ］．Ａｐｐ１　ｎＡａｌ，１９９８，６８：３３３—３５６．　［７］Ｈｕ　Ｂ，Ｘｕ　Ｙ，Ｈｕ　Ｊ．Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｏｆｒ　ｔｈｅ　Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ，２００５，２０４：　３１１—３１６．　［８］柏琰，张鲁明．对称正则长波方程的一个守恒差分格式［Ｊ］．应用数学学报，２００７，３０（２）：２４８—２５５．　Ａ　Ｎｅｗ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　Ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＨＵ　Ｊｉｎ—ｓｏｎｇ　，　ＷＡＮＧ　Ｙｕ．１ａｎ　，　ＺＨＥＮＧ　Ｍａｏ—ｂｏ　（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００３９，Ｓｉｃｈｕａｎ；　２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｉｃｈｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００６４，Ｓｉｃｈｕａｎ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａｎ　ｉｎｉｔｉａｌ—ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｃｏｎｓｉｄ—　ｅｒｅｄ．Ａ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｒｅｅ　ｌｅｖｅｌｓ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｆｎｉｔｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｉｓ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｏ（７＿　＋ｈ　）ａｎｄ　ｓｔａｂｌｅ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｏｕｒ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｒｏｓｅｎａｕ—Ｂｕｒｇｅｒｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　２０００　ＭＳＣ：６５Ｍ０６；６５Ｍ９９　（编辑周俊）