中考数学真题一次函数图像与性质

1．（2010浙江绍(Shao)兴）在平面直角坐(Zuo)标系中,一次函(Han)数的图象与坐标轴围成的三角形,

叫做此一次(Ci)函数的坐标三角形.例如，图中的一(Yi)次函数的图象与 x,y轴分(Fen)别交于点A,B,则(Ze)△OAB为此函数的坐标三角形.

（1）求函数y＝

x＋3的坐标三角形的三条边长；

3（2）若函数y＝4x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.



【答案】

3解：(1) ∵ 直线y＝4x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），

3∴函数y＝4x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.

33(2) 直线y＝4x＋b与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,b），

33当b>0时,4，得b =4，此时,坐标三角形面积为4；

33当b<0时，4，得b =－4，此时,坐标三角形面积为.

433综上,当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时,面积为4．

42．（2010江西）已知直线经过点（1，2）和点（3，0），求这条直线的解读式.

3【答案】解：设这直线的解读式是4，将这两点的坐标（１，２）和（３，０）代

33入，得4，解得4

3所以，这条直线的解读式为4．

3．（2010北京）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.

⑴ 求A，B两点的坐标；

⑵ 过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA， 求ΔABP的面积.

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33【答(Da)案】解(Jie)(1)令(Ling)y=0，得(De)x=4∴A点坐(Zuo)标为(Wei)(4，0).

令(Ling)x=0，得(De)y=3 ∴B点坐标为(0，3).

(2)设P点坐标为(x，0)，依题意，得x=±3. ∴P点坐标为P1(3，0)或P2(－3，0).

33∴S△ABP1=4=4

33 S△ABP2=4=4.

33或. 444．（2010湖北随州）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（M/秒）与时间t

（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）. （1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；

（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；

（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；

（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.

∴△ABP的面积为 图a 图b

3【答案】（1）4

（2）2.5×10+5×120+2×5＝635（M）

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3（3）4

(4) 相(Xiang)等的关系

5．（2010陕(Shan)西西安）某(Mou)蒜薹（tái）生(Sheng)产基地喜获丰收，收获蒜薹(Tai)200吨，经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方(Fang)式，并且按这三种方式销售，计划每吨平均的售价及成本如下表： 销售方式 批发 零售 储藏后销售 售价（元/吨） 3 000 4 500 5 500 成本（元/吨） 700 1 000 1 200 若经过一(Yi)段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为(Wei)y（元），蒜薹零售x

3（吨），且零售量是批发量的4

 （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80吨，求该生产基地按计划全部售完

蒜薹获得的最大利润。

3【答案】解：（1）由题意，得批发蒜薹3x吨，储藏后销售4吨，

3则4 34

3 （2）由题意，得4

34

3∴当4 ∴该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润为656 000元。

6．（2010陕西西安）问题探究

（1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

（2）如图②，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将

矩形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决

（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中CD//OB，OB=6，BC=4，CD=4。开发区综合服务经管委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处，为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽

3度不计），并且使这条路所在的直线4将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为

33直线4是否存在？若存在，求出直线4的表达式；若不存在，请说明理由。

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【答案(An)】解：（1）如(Ru)图(Tu)①，作(Zuo)直线(Xian)DB，直(Zhi)线(Xian)DB即为所

求。（所求直线不唯一，只(Zhi)要过矩形对称中心的直线均可）

（2）如图②，连接AC、DB交于点P，则点P为矩形ABCD的对称中心，作直线MP，

直线MP即为所求

3 （3）如图③，存在符合条件的直线4，

过点D作DA⊥OB于点A，

则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心

3∴过点P的直线只要平分4的面积即可。

3易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将4面积平分， 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积。

3即直线PH为所求直线4

33设直线PH的表达式为4且点4 34

3∵直线OD的表达式为4 334解之，得4

3∴点H的坐标为4

3∴PH与线段AD的交点F的坐标为4 34 3∴4

3解之(Zhi)，得4 34

33∴直(Zhi)线4的(De)表达式为4

4 / 11

7．（2010江西省南(Nan)昌）已(Yi)知直线经过点（1,2）和(He)点（3,0），求(Qiu)这条直线的解读式(Shi).

3【答案】解：设这条直线的解读式为4，把两点的坐标（1，2），（3，0）代入，得

34 3 解得4

3 所以，这条直线的解读式为4.

8．（2010湖北襄樊）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价

13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表： A型收割机 B型收割机 5.3 3.6 进价（万元/台） 6 4 售价（万元/台） 设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元． （1）试写出y与x的函数关系式； （2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？ （3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况

下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？

【答案】解：（1）y=(6－5.3)x+(4－3.6)(30－x)=0.3x+12．

3（2）依题意，有4

33即4 ∴10≤x≤124． ∵x为整数，∴x=10，11，12．

即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择： 方案1：购A型收割机10台，购B型收割机20台； 方案2：购A型收割机11台，购B型收割机19台； 方案3：购A型收割机12台，购B型收割机18台． （3）∵0.3＞0，∴一次函数y随x的增大而增大． 即(Ji)当x=12时(Shi)，y有(You)最大值，y最(Zui)大=0.3×12+12=15.6（万(Wan)元）． 此(Ci)时，W=6×13%×12+4×13%×18=18.72（万(Wan)元）． 9．（2010 江(Jiang)苏镇江）运算求解

在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于

A，B两点.

（1）求直线l的函数关系式； （2）求△AOB的面积.

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3【答案】（1）设直线l的函数关系式为4， ① （1分）

3把（3，1），（1，3）代入①得4 （2分）

3解方程组得4 （3分）

3∴直线l的函数关系式为4② （4分）

3 （2）在②中，令4 （5分） 34 （6分）

3310．（2010 贵州贵阳）如图7，直线与4轴、4轴分别交于A、B两点.

3（1）将直线AB绕原点O沿逆时针方向旋转90°得到直线4.



33请在《答题卡》所给的图中画出直线4，此时直线AB与4的

位置关系为（填“平行”或“垂直”）（6分）

333（2）设(She)（1）中的(De)直线4的(De)函数表达式为4，直(Zhi)线4的函数(Shu)表达

3式为4，则(Ze)k1·k2=.（4分(Fen)）



【答(Da)案】（1）如图所示，………………………………3分

垂直………………………………………6分

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（2）－1………………………………………10分

3334的图像分别交于11．（2010宁夏回族自治区）如图，已知：一次函数：4的图像与反比例函数：4A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为

M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；

（1）若设点M的坐标为(x，y)，请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；

（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．

3【答案】(1)4 ------------------2分

3=4 33当4时，4 -------------------------4分

3（2）∵4

33由4可得：4 34 3∴4 ----------------------------------5分

通过观察图像可得：

33当4时，4

33当4时，4

33当4时，4 -----------------------------------------8分

12．（2010 湖北咸宁）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B3333港的距离分别为4、4（km），4、4与x的函数关系如图所示．

3（1）填(Tian)空：A、C两港口间(Jian)的距离为(Wei)km，4； （2）求图中(Zhong)点P的坐标，并解释该点(Dian)坐标所表示的实际意义；

（3）若(Ruo)两船的距离不超过(Guo)10 km时能(Neng)够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．

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3【答案】解：（1）120，4；……2分

3（2）由点（3，90）求得，4．

33当4＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，4．……3分

333当4时，4，解得，4．

3此时4．所以点P的坐标为（1，30）．……5分

该点坐标的意义为：两船出发1 h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30 km．…6分

求点P的坐标的另一种方法：

33由图可得，甲的速度为4（km/h），乙的速度为4（km/h）．

33则甲追上乙所用的时间为4（h）．此时乙船行驶的路程为4（km）． 所以点P的坐标为（1，30）．

33（3）①当4≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，4．

333依题意，4≤10． 解得，4≥4．不合题意．……7分

33②当0.5＜4≤1时，依题意，4≤10．

3333解得，4≥4．所以4≤4≤1．……8分

33③当4＞1时，依题意，4≤10．

3333解得，4≤4．所以1＜4≤4．……9分

333综上所述，当4≤4≤4时，甲、乙两船可以相互望见．……10分

13．（2010青海(Hai)西宁）如(Ru)图(Tu)12，直(Zhi)线(Xian)y=kx-1与(Yu)x轴

3(Zhou)、y轴(Zhou)分别交与B、C两点，tan∠OCB=4.

（1） 求B点的坐标和k的值；

（2） 若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写

出△AOB的面积S与x的函数关系式；

（3） 探索：

① 当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是

；

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② 在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.

图12

【答案】解：（1）∵y= kx-1与y轴相交于点C，∴OC=1

33∵tan∠OCB=4∴OB=4

3∴B点坐标为：4

3把B点坐标为：4代入y= kx-1得 k=2 3（2）∵S = 4∵y=kx-1

3∴S =4

3∴S =4

333（3）①当S =4时，4=4

∴x=1，y=2x-1=1

3∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为4 ②存在.

满足条件的所有P点坐标为：

33P1(1,0), P2(2,0), P3(4,0), P4(4,0). ……………………………12分(Fen)

314．（2010新(Xin)疆乌鲁木齐）如(Ru)图(Tu)6，在平面直(Zhi)角坐标系中，直线4分别

(Bie)交

x轴(Zhou)、y轴(Zhou)于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后 得到△A′OB′

（1）求直线A′B′的解读式；

9 / 11

（2）若直线A′B′与直线l相交于点，求△ABC的面积。

333【答案】解：（1）由直线4分别交4轴，4轴于点A、B， 可知：A（3，0），B（0，4） 334 点O顺时针旋转90°，而得到4 334 故4…………2分

33 设直线4的解读式为4为常数） 334 解之得：4 334的解读式为4…………5分

 （2）由题意得： 334 解之得：4 34…………9分

3 又4 34…………11分

33315．（2010广东肇庆）已知一次函数4，当4时，4 （1）求一次函数的解读式；

（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标.

33333【答(Da)案】解(Jie)：（1）将(Jiang)4，4代(Dai)入4得(De)：4∴4

3∴一次函数的(De)解读式为4

3333（2）将(Jiang)4的图象向(Xiang)上平移6个单位得4，当4时，4



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3∴平移后的图象与x轴交点的坐标为4.

16．（2010广东清远）正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图象都经过点A（1,2），且一次函数的图象交x轴于点B（4,0）.求正比例函数和一次函数的表达式. 【答案】解：由正比例函数y=kx的图象过点（1,2）得

2=k.

所以正比例函数的表达式为y=2x.

由一次函数y=ax+b的图象经过点（1,2）和（4,0）得 34

33解得：a=4，b=4.

3所以一次函数的表达式为y=4x+34.

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