昆明一中2010届高三年级第一次月考数学文

数学试题（文）

考试时间120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．定义映射f：A→B，若集合A中元素x在对应法则f作用下的象为log3x，则A中元素

9的象是

A．3 B．2

C．2

D．3

（ ）

2．函数f(x)x33x21是减函数的区间为

（ ）

A．(2,) B．(,2) C．(,0) D．(0,2)

（ ）

3．若直线ax2y0与直线xy1垂直，则a

A．2

B．1

C．1 D．2

4．设a1，集合Axx10，Bxx21axa0。若AB，则a的

3x （ ）

D．1a3 （ ）

取值范围是

A．1a3 B．a3 C．a3 5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A．yx,xR

3B．ysinx,xR D．y(),xR

B．ab D．ab2ab

（ ）

22 C．yx,xR

6．已知a>b，则下列不等式中正确的是

A．

1x22

2（ ）

11 abC．ab2ab

7．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列．则q

A．2

B．11 C．1或 2222D．1

2bc分别是ABC角A、B、C所对的边，sinAsinBsinAsinBsinC，且8．设a、、

1

满足ab4则ABC的面积为

A．1 B．2

（ ）

C．2 D．3 （ ）

9．二次方程ax22x10,(a0)有一个正根和一个负根的充要条件是

A．a0 B．a0 C．a1

D．a1

10．设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是

A．若a，b与所成的角相等，则a∥b

（ ）

B．若a∥，b∥，∥，则a∥b

C．若a，b，a∥b，则∥ D．若a，b，，则ab

1)11．已知yf(x)是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是yf1(x)，且yfx(的图象过A(4,0),B(2,3)两点，若|f1(x1)|3，则x的取值范围是

A．[4,2] B．[1,2]

C．[0,3] D．[1,3]

（ ）

12．从1，2，3，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概

率是 （ ）

101145 B． C． D． 992121二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案直接填在题中横线上．

A．

13．抛物线y2x的焦点坐标是 ． 5314．若(ax)的展开式中x的系数是-80，则实数a的值是． 21x

15．某调查机构观察了某地100个新生婴儿的

体重，并根据所得数据画出了样本的频 率分布直方图如左，则新生婴儿的体重 在[3.2,4.0)（kg）的有 人。 16．若球O的表面积为16，边长为2的正三

角形ABC的三个顶点在球O的表面上，则

2

球心O到平面ABC的距离为 。 三、解答题：本大题共6小题,共70分 17．（本小题满分10分）

设函数f（x）=p·q,其中向量p=（sinx,cosx+sinx）,q=（2cosx,cosxsinx）, xR． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间． 18．（本小题满分12分）

如图，等边ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD//AE，AE⊥AB，BCBD2AE2，O为AB的中点．

D （Ⅰ）证明：CODE；

（Ⅱ）求二面角CDEA的大小．

E

OA B

C 19．（本小题满分12分） 已知甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球．所有球大小都相同，

现从甲袋中任取2个球，乙袋中任取2个球． （Ⅰ）求取到的4个球全是白球的概率；

（Ⅱ）求取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率．

3

20．（本小题满分12分）

在等差数列{an}中，公差d¹0，a2=3，且a1,a3,a7成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列 {cn}满足cn= 21．（本小题满分12分）

1，其前n项和为Sn，求证：Sn<1 nany2已知双曲线x2=1（b>0）的两条准线间的距离为1．

b2 （Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一

点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值．

4

22．（本小题满分12分）

已知函数f(x)23xax2bxc 3 （Ⅰ）若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线

3xy0平行, 求f(x)的解析式；

（Ⅱ）当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时, 设点

M(b2,a1)所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的

两部分, 求直线L的方程．

5

参考答案

注意：本评分标准仅供参考，其他正确解答请参照评分标准酌情给分 一、选择题：

题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 A 10 D 11 B 12 C 二、填空题： 13、(0,)； 14、2 15、40； 16、

1826 3三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程． 17．解：（Ⅰ）∵p = （sinx,cosx+sinx），q=（2cosx,cosx－sinx）,

∴f(x)= p·q= =2sin(2x（Ⅱ）由2k－

4) ∴函数f（x）的最大值为2．……………5分

3≤2x+≤2k+ （kZ） 得k－≤x≤k+（kZ），

824283∴函数f（x）的单调递增区间为［k－,k+］ （k∈Z）．…………10分

8818．

方法一：（Ⅰ）证明：因ABC为等边三角形，且O为AB中点

COAB 又平面ABDE平面ABC

CO平面ABDE DE平面ABDECODE ………5分

（Ⅱ）解：过O作OKDE于K，连接CK，则由三垂线定理得CKED 所求二面角的平面角为OKC

在正三角形ABC中可求得CO3，在直角梯形ABDE中可求得KO35， 5tanOKC1515 所以所求二面角的大小为arctan ………12分 33方法二：以AB的中点O为原点建立直角坐标系（如图），则A0,1,0，B0,1,0，

C3,0,0，D0,1,2，E0,1,1，

 （Ⅰ）证明：CO(3,0,0)，DE0,2,1，

CODE0， CODE，

6

（Ⅱ）解：显然，面ABDE的一个法向量m1,0,0，设面DCE的一个法向量为nx,y,z，则由nEC得3xyz0， 由nDE得2yz0，

66解得n3,1,2，cosm,n 所以所求二面角的大小为arccos 442C329C419．解：（Ⅰ）设取到的4个球全是白球的概率P2．………6分 1，则P12C5C550（Ⅱ）设取到的4个球中红球个数不少于白球个数的概率P2，

1112212C3C2C4C4C2C4C217则P．………………12分 2C52C52C52C52C52C525020．解：（Ⅰ）数列{an}的公差为d，则a1=3-d，a3=3+d，a7=3+5d

Qa1,a3,a7成等比数列，\\(3+d)2=(3-d)(3+5d)，得d=0（舍去）或d=1 \\an=a2+(n-2)d=n+1。…………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=1111++L+，\\Sn= 1鬃223n(n+1)n(n+1)=(1-111111)+(-)+L(-)=1-<1…12分

223nn+1n+1221．解：（Ⅰ）依题意有：a1

2y21,22

1. …………………6分 解得b=3．所以双曲线方程为xc3a2b2c2（Ⅱ）解：设M（x0,y0）,由双曲线的对称性,可得N（－x0,－y0）．设P（xP,yP）, 则kPM·kPN2222y0yPy0yPy0yPy0222x1,．又 所以·2y3x0003. 23xPx0xPx0xPx0同理yP3xP3,

7

2所以kPM·kPN223xP33x033. ………………………… 12分 22xPx022．解： （Ⅰ）．由f(x)2x22axb∵ f(0)1 ∴ c1

, 函数f(x)在x1时有极值 , ∴ 2ab20

又∵ f(x)在(0,1)处的切线与直线3xy0平行, ∴ f(0)b3 故 a∴ f(x)1 22312xx3x1 ……．7分 32（Ⅱ） 解法一: 由f(x)2x22axb 及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,

f(0)0∴ f(1)0 即

f(2)0b02ab20令M(x,4ab80xb2y),则 

ya1x20ay1∴  ∴ 2yx20 故点M所在平面区域S为如图△ABC,

bx24yx60易得A(2,30),B(2,1), C(2,2), D(0,1), E(0,), SABC2

2同时DE为△ABC的中位线, SDEC1S 3四边形ABED∴ 所求一条直线L的方程为: x0

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面

积比为1:3的两部分, 设直线L方程为ykx,它与AC,BC分别交于F、G, 则 k0,

S四边形DEGF1

由 ykx2 得点F的横坐标为: xF

2k12yx208

由 ykx6 得点G的横坐标为: xG

4k14yx60∴S四边形DEGF即 16k2SOGESOFD1361211

224k122k12k50

151 或 k （舍去） 故这时直线方程为: yx 2821综上,所求直线方程为: x0或yx ．……………．…………．12分

2解得: k（Ⅱ） 解法二: 由f(x)2x22axb 及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,

f(0)0∴ f(1)0 即

f(2)0b02ab20 令M(x,4ab80xb2y), 则 

ya1x20ay1∴  ∴ 2yx20 故点M所在平面区域S为如图△ABC,

bx24yx60易得A(2,30),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,),SABC2

2同时DE为△ABC的中位线, SDEC∴所求一条直线L的方程为: x0 另一种情况由于直线BO方程为: y设直线BO与AC交于H ,

1S 3四边形ABED1x, 21yx由  22yx20得直线L与AC交点为: H(1,1) 29

∵ SABC2, SDEC1112, 2221111SABHSABOSAOH212

2222∴ 所求直线方程为: x0 或y1x 2 10