单元综合 第一章 解三角形 (人教A版必修5)

解三角形单元综合测试

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．不解三角形，下列判断正确的是( )

A．a＝4，b＝5，A＝30°，有一解 B．a＝5，b＝4，A＝60°，有两解 C．a＝3，b＝2，A＝120°，有两解 D．a＝3，b＝6，A＝60°，无解

解析：A中∵bsin30°b，∴A>B，B为锐角，∴三角形有一解，B不正确；C中 ∵a>b，∴三角形有一解，C不正确；D中∵a答案：D

2．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( ) A．12 C．28

21

B. 2D．63

b2＋c2－a21＝1

解析：由余弦定理可得cosA＝＝，A＝60°，∴S△ABCbcsinA＝63.

2bc22答案：D

3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则sinA的值( ) A.57 19

B.21 7

C.3

38

2D.3 19

a·sinC

解析：c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋62－2×4×6×cos120°＝76.∴c＝219.由sinA＝

c4×sin120°57＝＝.故选A.

19219

答案：A

4．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝83，则△ABC的面积等于( ) A．323

B．16

C．326或16 D．323或163

解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得64＝192＋c2－2×83c×cos30°， ∴c2－24c＋128＝0，解得c＝8或16. 当c＝8时，S△ABC

＝

1＝1

bcsinA＝163；当c＝16时，S△ABCbcsinA＝323. 22

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答案：D

13

5．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值是( )

141A．－

5

1B．－

6

1C．－

7

1D．－

8

解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9，∴c＝3. a2＋c2－b21

∴B为最大角，cosB＝＝－. 2ac7答案：C

6．在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，下列等式中，正确的是( ) A．a＝bcosC＋ccosB B．a＝bcosC－ccosB C．a＝bsinC＋csinB D．a＝bsinC－csinB a2＋b2－c2a2＋c2－b22a2

解析：b·cosC＋c·cosB＝b·＋c·＝＝a.

2ab2ac2a答案：A

3

7．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么，这个三角形的此两边长

5分别是( )

A．3和5

B．4和6

C．6和8

D．5和7

34

解析：不妨设a－b＝2，cosC＝，则sinC＝.

55114

由ab·sinC＝14，∴ab·＝14，∴ab＝35， 225

a－b＝2由⇒a＝7，b＝5，故选D. ab＝35

答案：D

8．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC3

的面积为，那么b等于( )

2

1＋3A.

22＋2C.

2解析：

B．1＋3 D．23

答案：B

sinAcosBcosC9．若＝＝，则△ABC为( )

abc

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A．等边三角形

B．等腰三角形

D．有一个内角为30°的等腰三角形

C．有一个内角为30°的直角三角形

解析：结合正弦定理，可知sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以B＝C＝45°，即△ABC为等腰三角形．

答案：B

10．在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)cosB，那么△ABC一定是( ) A．等腰直角三角形 C．直角三角形

B．等腰三角形 D．等边三角形

解析：由已知得sin(A＋B)＝2sinA·cosB，

即sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，∴sin(A－B)＝0， ∵－π11．在△ABC中，a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，若B＝2A，则b∶2a的取值范围是( )

A．(－2,2)

B．(0,2)

C．(－1,1)

1

D．(，1)

2

bsinBsin2Aπ1

解析：＝＝＝cosA，又A＋B＋C＝π，故02a2sinA2sinA32答案：D

3－1→→12．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D为BC上一点，且BD＝BC，

2则AD的长为( )

A．4(3－1) C．4(3－3)

B．4(3＋1) D．4(3＋3)

解析：在△ABD和△ACD中分别运用余弦定理写出cos∠ADB和cos∠ADC，然后根据两角互补列等式求解．

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛与B岛成60°角，从C岛望B岛与A岛成45°角，则B、C间距离为________．

答案：56 n mile

14．在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为________．

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ba

解析：依题意，知三角形的最大边为b.由于A＝30°，根据正弦定理，得＝，所

sinBsinAasinB5sin135°以b＝＝＝52.

sinAsin30°

答案：52 15．在锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，AD为BC边上的高，且BD＝2，DC＝3，则三角形ABC的面积是________．

2解析：设AD＝h，则tan∠BAD＝，

h3π

tan∠CAD＝，又∠BAD＋∠CAD＝，

h4

23

＋hh故＝1⇒h2－5h－6＝0.∴h＝6或h＝－1(舍去)

61－2h故S△ABC答案：15

16．已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝4，b＋c＝5，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，则△ABC的面积为________．

tanA＋tanB3tanA·tanB－1

解析：∵＝＝－3.

1－tanAtanB1－tanAtanB2π

故A＋B＝π，C＝，又c2＝a2＋b2－2abcosC.

33

π313

将C＝，c＝5－b，a＝4代入整理得b＝，故S△ABC＝absinC＝3.

32223答案：3

2

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)

17．(本小题10分)在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝21， S△ABC＝3，求b，c. 1

解：S△ABC＝bcsinA＝3，∴bc＝4.

2由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

1

∴21＝(b＋c)2－2bc－2bccos120°＝(b＋c)2－2×4－2×4×(－)＝(b＋c)2－4，

2∴b＋c＝5，而c>b，∴b＝1，c＝4.

18．(本小题12分)如图1，已知梯形ABCD中，CD＝2，AC＝19，∠BAD＝60°，求梯形的高．

解：在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°， 图1

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＝

1

×6×(2＋3)＝15. 2

∴AD2＋2AD－15＝0 ∴AD＝3或AD＝－5(舍去)， 3

∴h＝AD·sin60°＝3.

2

19．(本小题12分)某海轮以30 n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，求P、C间的距离．

解：

40

如图2，在△ABP中，AB＝30×＝20，∠APB＝30°，∠BAP＝120°，

60根据正弦定理，

ABBP20BP

＝ 得：＝，∴BP＝203.

1sin∠BPAsin∠BAP322

80

在△BPC中，BC＝30×＝40.

60

由已知∠PBC＝90°，∴PC＝PB2＋BC2＝2032＋402＝207(n mile) 图2 答：P、C间的距离为207 n mile.

20．(本小题12分)在△ABC中，sinA＋cosA＝求tanA和△ABC的面积．

解：∵sinA＋cosA＝2cos(A－45°)＝＝60°，

∴A＝105°，tanA＝tan(45°＋60°)＝sinA＝sin105°＝

6＋2

. 4

1＋3

＝－2－3. 1－3

21，∴cos(A－45°)＝，又0°2

，AC＝2，AB＝3. 2

21．(本小题12分)(2009·江西高考)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝

sinA＋sinB

，sin(B－A)＝cosC.

cosA＋cosB(1)求A，C；

(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c. 解：(1)∵tanC＝＋cosCsinB，

即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，

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sinA＋sinBsinCsinA＋sinB

，即＝，∴sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA

cosCcosA＋cosBcosA＋cosB

得sin(C－A)＝sin(B－C)．∴C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)． π2π

即2C＝A＋B，得C＝.∴B＋A＝.

33

1π5ππ5π

又∵sin(B－A)＝cosC＝，则B－A＝或B－A＝(舍去)，得A＝，B＝. 2664126＋21

(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋3，

28又

acac＝，即＝，得a＝22，c＝23. sinAsinC23

22

22．(本小题12分)(2009·福建高考)如图3，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图像，

且图像的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°. 图3

(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 解：

T2ππ

解法1：(1)依题意，有A＝23，＝3，又T＝，∴ω＝.∴y

4ω6

π

＝23sinx，

6

当x＝4时，y＝23sin

2π

＝3， 图4 3

∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝42＋32＝5.

(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，设∠PMN＝θ，则0°<θ<60°. MPNPMN由正弦定理得＝＝，

sin120°sinθsin60°－θ103103

∴NP＝sinθ.∴MN＝sin(60°－θ)．

33

10310310313103

故NP＋MN＝sinθ＋sin(60°－θ)＝(sinθ＋cosθ)＝sin(θ＋60°)．

333233∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长． 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长． 解法2：(1)同解法1

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(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，

由余弦定理得MN`2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2， 即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.

MN＋NP2故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤()，

23103从而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤. 43当且仅当MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．

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