九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．x2+x+y=0 B． x2﹣3x+1=0 C．（x+3）2=x2+2x
D．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
3．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
4．某机械厂七月份的营业额为100万元，已知第三季度的总营业额共331万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A．100（1+x）2=331 B．100+100×2x=331 C．100+100×3x=331 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=331
5．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ） A．y=x+1
B．y=x2﹣1 C．
D．y=﹣（x﹣1）2+1
6．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
7．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：
8．若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ） A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
9．已知正六边形的边长为10cm，则它的边心距为（ ） A．
cm B．5cm C．5
cm D．10cm
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是 ．
12．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离 ．
14．将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 ．
15．已知正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为 ．
16．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5m，水面宽AB为8m，则水的最大深度CD为 m．
上，AB丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k= ．
17．如图：点A在双曲线
18．如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，其中直角边AC=6、BC=8，则⊙O的半径是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共38分） 19．解方程：
（1）x2+4x+1=0（用配方法）； （2）x（x﹣2）+x﹣2=0． 20．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．
21．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
22．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？ （2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B． （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧
的长（结果保留π）．
四、解答题（本大题共5小题，共50分）
24．如图，有甲、乙两个转盘，每个转盘上各个扇形的圆心角都相等，让两个转盘分别自由转动一次，当转盘指针落在分界线上时，重新转动．
（1）请你画树状图或列表表示所有等可能的结果． （2）求两个指针落在区域的颜色能配成绿色的概率．（黄、蓝两色混合配成绿色）
25．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4） （1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
26．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD． （1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．
27．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． （1）求证：BE=CE； （2）求∠CBF的度数； （3）若AB=6，求
的长．
28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
参考答案与试题解析
D．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．x2+x+y=0 B． x2﹣3x+1=0 C．（x+3）2=x2+2x
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、方程含有两个未知数，故错误； B、符合一元二次方程的定义，正确； C、整理后方程二次项系数为0，故错误； D、不是整式方程，故错误． 故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80° 【考点】圆周角定理．
【分析】已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，根据圆周角定理可求得∠ACB的度数． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°， ∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
故选B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．
3．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可． 【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； 故选C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合，难度适中．
4．某机械厂七月份的营业额为100万元，已知第三季度的总营业额共331万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A．100（1+x）2=331 B．100+100×2x=331 C．100+100×3x=331 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]=331 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题．
【分析】根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：七月份月营业额+八月份月营业额+九月份月营业额=331，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意：八月份的月营业额为100×（1+x）， 九月份的月销售额在八月份月销售额的基础上增加x， 为100×（1+x）×（1+x），则列出的方程是：100+100（1+x）+100（1+x）2=331， 100[1+（1+x）+（1+x）2]=331． 故选D．
【点评】此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
5．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ） A．y=x+1
B．y=x2﹣1 C．
D．y=﹣（x﹣1）2+1
【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质． 【分析】反比例函数、二次函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y随着x增大而减小．
【解答】解：A、函数y=2x+1的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；
B、函数y=x2﹣1，当x＜0时，y随着x增大而减小，当x＞0时，y随着x增大而增大，故本选项错误； C、函数y=
，当x＜0或x＞0时，y随着x增大而减小，故本选项正确；
D、函数y=﹣（x﹣1）2+1，当x＜1时，y随着x增大而增大，当x＞1时，y随着x增大而减小，故本选项错误； 故选C．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性．关键是明确各函数的增减性的限制条件．
6．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质． 【专题】计算题．
【分析】根据P点坐标和勾股定理可计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断它们的关系．
【解答】解：∵圆心P的坐标为（5，12 ）， ∴OP==13， ∴OP=r，
∴原点O在⊙P上． 故选B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
7．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1： 【考点】相似三角形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】本题可根据相似三角形的性质求解：相似三角形的周长比等于相似比．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．
8．若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ） A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】分类讨论．
【分析】分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可． 【解答】解：分为两种情况： ①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点， ∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数是一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点， 故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
9．已知正六边形的边长为10cm，则它的边心距为（ ） A．
cm B．5cm C．5
cm D．10cm
【考点】正多边形和圆．
【分析】已知正六边形的边长为10cm，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形得出． 【解答】解：如图，
∵在正六边形中，OA=OB=AB，
∴在Rt△AOG中，OA=AB=10，∠AOG=30°， ∴OG=OA•cos30°=10×故选C．
=5
．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答此题的关键是根据正六边形的性质，证出△OAB为正三角形，再利用正三角形的性质解答．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac， 故①正确
由图象可知：对称轴x=﹣
=﹣1，
∴2a﹣b=0， 故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0， ∴a+b+c=0； 故③错误；
由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
故④正确． 故选B
【点评】此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是
．
【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系． 【专题】常规题型．
【分析】由从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7； ∴能构成三角形的概率是： =． 故答案为：．
【点评】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤4且k≠0 ．
【考点】根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根． 【专题】计算题．
【分析】首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围． 【解答】解：∵|b﹣1|+=0， ∴b﹣1=0，
=0，
解得，b=1，a=4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根， ∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0， 即16﹣4k≥0，且k≠0， 解得，k≤4且k≠0； 故答案为：k≤4且k≠0．
【点评】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．
13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离 7cn或17cm ． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】分类讨论．
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE=AB=12，CF=CD=5，接着根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE=5，在Rt△OCF中计算出OF=12，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF﹣OE．
【解答】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD，
∴AE=BE=AB=12，CF=DF=CD=5， 在Rt△OAE中，∵OA=13，AE=12， ∴OE==5， 在Rt△OCF中，∵OC=13，CF=5， ∴OF==12，
当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE=12+5=17； 当圆心O不在AB与CD之间时，EF=OF﹣OE=12﹣5=7； 即AB和CD之间的距离为7cn或17cm． 故答案为7cn或17cm．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2
14．将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 y=（x﹣5）+22
或y=x﹣10x+27 ．
【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】压轴题；几何变换．
【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式． 【解答】解：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是： y=（x﹣5）2+2，
将顶点式展开得，y=x2﹣10x+27．
故答案为：y=（x﹣5）2+2或y=x2﹣10x+27．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
15．已知正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为 （1，﹣2） ．
【考点】反比例函数图象的对称性．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是：（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．
16．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5m，水面宽AB为8m，则水的最大深度CD为 2 m．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据题意可得出AO=5cm，AC=4cm，由勾股定理得出CO的长，则CD=OD﹣OC=AO﹣OC．
【解答】解：如图所示：∵输水管的半径为5m，水面宽AB为8m，水的最大深度为CD， ∴DO⊥AB，
∴AO=5m，AC=4m， ∴CO==3（m）， ∴水的最大深度CD为：CD=OD﹣OC=AO﹣OC=2m． 故答案是：2． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．如图：点A在双曲线
上，AB丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k= ﹣4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB=2求出k的值即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴k＜0， ∵S△AOB=2， ∴|k|=4， ∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
，且保持不变．
18．如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，其中直角边AC=6、BC=8，则⊙O的半径是 5 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理． 【分析】由∠ACB=90° 可判断出AB为直径，利用勾股定理求出AB，继而可得出⊙O的半径． 【解答】解：由题意得，∠ACB=90°， ∵Rt△ABC是⊙O的内接三角形， ∴AB是⊙O的直径， 在Rt△ABC中，AB==10， 则⊙O的半径为5． 故答案为：5．
【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是掌握：90°的圆周角所对的弦是直径．
三、解答题（本大题共5小题，共38分） 19．解方程：
（1）x2+4x+1=0（用配方法）； （2）x（x﹣2）+x﹣2=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2+4x+1=0， x2+4x=﹣1，
x2+4x+4=﹣1+4， （x+2）2=3， x+2=±，
x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0， （x﹣2）（x+1）=0， x﹣2=0，x+1=0， x1=2，x2=﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解（1）小题的关键是能正确配方，解（2）小题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中． 20．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．
【考点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质得出AP=AP′，再根据旋转的角度为60°和等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形；即可根据等边三角形的性质得出结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°
∵△ABP绕A点逆时针旋转后与△ACP′重合， ∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠CAP+∠CAP′=∠PAP′=60°， ∴△APP′为等边三角形， ∴PP′=AP=3．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．同时考查了等边三角形的判定和性质．
21．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 （2，﹣2） ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 （1，0） ；
（3）△A2B2C2的面积是 10 平方单位．
【考点】作图-位似变换；作图-平移变换． 【专题】作图题． 【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【解答】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位． 故答案为：10．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．
22．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？ （2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值． 【解答】解（1）设涨价x元时总利润为y， 则y=（10+x）（400﹣20x） =﹣20x2+400x+4000 =﹣20（x﹣5）2+4500
当x=5时，y取得最大值，最大值为4500． （2）设每千克应涨价x元，则（10+x）（400﹣20x）=4420 解得x=3或x=7，
为了使顾客得到实惠，所以x=3．
【点评】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B． （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧
的长（结果保留π）．
【考点】切线的判定；弧长的计算． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；
（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°， 即 BA⊥AE．
∴AE是⊙O的切线．
（2）连接CO， ∵AB=6， ∴AO=3， ∵∠D=60°， ∴∠AOC=120°， ∴
=
=2π．
【点评】此题主要考查了切线的判定和弧长计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．弧长公式：l=
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为
R）．
四、解答题（本大题共5小题，共50分）
24．如图，有甲、乙两个转盘，每个转盘上各个扇形的圆心角都相等，让两个转盘分别自由转动一次，当转盘指针落在分界线上时，重新转动．
（1）请你画树状图或列表表示所有等可能的结果． （2）求两个指针落在区域的颜色能配成绿色的概率．（黄、蓝两色混合配成绿色）
【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图可求得两个指针落在区域的颜色能配成绿色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个指针落在区域的颜色能配成绿色的有2种情况， ∴两个指针落在区域的颜色能配成绿色的概率为：
=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4） （1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A（1，﹣k+4）代入解析式y=，即可求出k的值；把求出的A点坐标代入一次函数y=x+b的解析式，即可求出b的值；从而求出这两个函数的表达式；
（2）将两个函数的解析式组成方程组，其解即为另一点的坐标．当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围． 【解答】解：（1）∵已知反比例函数y=经过点A（1，﹣k+4）， ∴﹣k+4=，即﹣k+4=k，
∴k=2， ∴A（1，2），
∵一次函数y=x+b的图象经过点A（1，2）， ∴2=1+b， ∴b=1，
∴反比例函数的表达式为y=． 一次函数的表达式为y=x+1． （2）由
，
消去y，得x2+x﹣2=0． 即（x+2）（x﹣1）=0， ∴x=﹣2或x=1． ∴y=﹣1或y=2． ∴
或
．
∵点B在第三象限，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），
由图象可知，当一次函数的值小于反比例函数值时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1． 【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
26．如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD． （1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用AB∥CD，可得一对内错角相等，则可证． （2）由于△DEF∽△EBC，可根据两三角形的相似比，求出△EBC的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB的面积．由此可求出▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C，AB∥CD ∴∠ABF=∠CEB ∴△ABF∽△CEB
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB平行且等于CD ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF ∵DE=CD ∴
，
∵S△DEF=2
S△CEB=18，S△ABF=8，
∴S四边形BCDF=S△BCE﹣S△DEF=16
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．
27．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． （1）求证：BE=CE； （2）求∠CBF的度数； （3）若AB=6，求
的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理；弧长的计算． 【分析】（1）连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可； （2）求出∠ABC，求出∠ABF，即可求出答案； （3）求出∠AOD度数，求出半径，即可求出答案． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB是⊙O直径， ∴∠AEB=90°，
即AE⊥BC， ∵AB=AC， ∴BE=CE．
（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC， ∴∠ABC=63°， ∵BF是⊙O切线， ∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°．
（3）解：连接OD， ∵OA=OD，∠BAC=54°， ∴∠AOD=72°， ∵AB=6， ∴OA=3， ∴弧AD的长是
=
．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题；开放型． 【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得
（2分）
∴
（3分）
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（4分）
（2）存在（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称 ∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵y=﹣x2﹣2x+3 ∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：y=x+3（6分） Q点坐标即为解得
∴Q（﹣1，2）；（7分）
（3）存在．（8分）
理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0） ∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣ 若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大， ∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC（9分） =BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3） =
当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=∴S△BPC最大=
当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=∴点P坐标为（﹣，
（10分）
）．（11分）
【点评】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
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