高等数学中数列极限的几种求法

第２８卷第ｌ１期　湖北广播电视大掌学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ＨｕＢｅｉ　ＴＶ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．２８，Ｎｏ．１１　２００８年ｌ１月　Ｎｏｖｅｍｂｅｒ．２００８．１５９～１６０　高等数学中数列极限的几种求法　周　林　（连云港广播电视大学，江苏　连云港２２２００６）　［内容提要］　本文针对高等数学中数列极限的初等变形求极限、利用变量替换、两边夹定理、归结原则、定　积分法、单调原理、级数展开式、Ｓｔｏｌｚ公式等来讲述数列极限的几种求法。　［关键词］　数列极限；初等变形；变量替换　［中图分类号］０１７　［文献标识码］　Ａ　［文章编号］　１００８—７４２７（２００８）１１—０１５９—０２　极限是《高等数学》教学的重要环节，极限论是分析学　的基础，极限问题是分析学的困难问题之一。极限的基本思　想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，数列极　限又是极限的基础。同时涉及数列极限的问题有很多，包括　极限的求法、给定数列极限的证明、极限的存在等。以下从　几个方面来谈一谈数列极限的几种求法。　１．利用四则运算法则求极限　例２　若　日’求极限　解：令Ａ　：ａ。＋２ｎ　＋…瑚　，Ｂ　＝　，则忸　）严格递增　趋于ｏｏ，由Ｓｔｏｌｚ定理２　ｎ　一舍＝Ｂ　Ｂ—ｌｉ－ｍ÷　爱等　　Ｂ＋１一　ｎ　ｎ　＊（＋　１）　一，ｌ　ｌ…ｉ－ｍ＋”２ｎ　＋ｌ　＋。＝　ｌｉｍ　旦　２…　２　・设　）、ｂ）为收敛数列，则　＋６　Ｊ，　一　），　ｂ　）也都是收敛数列，而ｌｍｉ（￣　±６　）：ｌｉａｒ　＋＿ｉｌａｂｒ　，　！ｉｍ（ａ　・　）＝　ｎ　・！ｉｍｂ，，若再有ｂ　≠ｏ及　６　≠０，则　』　Ｉ【　Ｊ　也是收敛数列，并且１ｉｍｆ　１：　ｌｉｍａｎ。　一　Ｉｂ　／ｌｉｍｂ　２．利用追敛性定理求极限　４．利用单调有界定理求极限　任何有界的单调数列一定有极限。此类问题的解题程　序：①直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列　｝Ｖ－　调有界：②设　）的极限存在，记为ｌｉｍ日　＝口代入给定的ｄ　的表达式中，则该试变为ａ的代数方程，解之即得该数列　的极限。　设｛ｎ　】、　）为收敛数列，且Ｈｍｎ　：ｈｍｂ　＝ｎ，若存　在某自然数Ｎ０，当ｎ＞Ｎｏ时，　ａｎ　ｃ　，则ｌｉａｃｒ　＝ｄ。　例３　证明数列√　，　界，并求出极限。　，…√２＋　，…单调有　利用迫敛性求极限，一般通过放大或缩小分母来找出两　边数列的通项。　证：令　：√２＋　ｎ　ｎ　，易知数列　）是递增的。　例１求ｌｉｍｆ　１＋一１＋　ｌ　解：由　现用数学归纳法来证明数列　）是有界的。　２显然ａ．＝√２＜２，假设ａ＜，则有　ｎｌ＝　＋ｎ　＜ａ　４２　４２十２＝２　（・＋　（－＋　＋　＝（　＋　又Ｈ　１＋　且　：　＋　从而对一切ｎ，有ａ　＜２。即数列　）是有界的。由单　调有界定理，数列　）有极限，记为ａ，由于口　＝２＋ａ　日　，＝２＋ａ　运用数列极限的四则运算法则，当ｎ　ｃ一。时，有　＋　＝　（　＋　＝　。　即日：一１（舍去），ａ＝２。所以应有　ｉｍ　：２　３．利用ｓｔ。Ｉｚ公式求极限　故　＋　）　＝ｅ　５．利用极限定义求极限　当数列不单调时可以考虑用极限定义求极限。解题程序是先　根据数列极限的唯—性求出极限，然后再证明极限的存在性。　例４设口　＝２，　＋。：２＋　，ｎ－＞１，求　ｄ　设　）是趋于零的数列，　）严格递减趋于零，则当　ｌｉｍ竺　二　存在或为ｏｏ，一ｏｏ时，有ｌｉｍ　：ｌｉｍ　！Ｌ二　ｂｎ＋ｌ—ｂｎ　…ｂ　…／９＋ｌ—Ｄ　［收稿日期】２００８．０８—０２　ｌ６０　解：　令ｌ…湖北』’　播电视人学学报　第１１期　考虑　ｎ…　ｉｍ“　＝“，　ｌＪ！ｌＪ　ｌｉｍ　：ｌｉｍｆＩ　　ａ２＋Ｌ　　Ｊ１，　　即　为“　≥２，所以“≥２，故Ⅱ：１＋√２。　在。　对任意的￡＞０，　：（ｌ　：　３］　Ｊ＝　ｎ（ｌ　：　３］ｊ　（　＋　＋　）一１ｎ　３，利用　：２＋　二＝＞　：１±√ｉ　明ｌｉ　以　卜　－！ｉｎ￣ｘｌｎ（　洛必达法则，　￣ａｌｎａ＋　ｂＩｎｂ｛ｃＩｎ　ｃ　ｒ　————≈＆＋　ｂ｝　（　一一——；一　Ｉ　＼　　：　ａ　ｔａ￣－ａ［　．　（ｚ斟　了ａ，－　４　４　ｌ丁ａＩ－ａＩ　－，／２　１　～１＿　ｌ　ｂｃ，故　３　（　４　’　４　…极限定义呵　１ｉｍ（ｎ　一“）：０，故ｌｉｍａ　＝　：１十√　数列　）收敛的允条件址：对仃给　数￡，　ｉ１．　仃在某‘…一［Ｉ　　３　］Ｊ　＝　ｌ…ｉａｒ一　Ｉｅｘｐ｛　ｎ［ｌ　　３］Ｊ｝　ｌｅｘＤ　Ｉ，１然数Ｎ，使　，ｚ，　＞Ｎ时，都仃Ｊ　一以　ｌ＜　ｊ数列　‘　ｎａ３　ｂｅ＂Ｉ＝　／　ｌ９．用级数展开式　级数足一个无穷序列的和的形式，　部分和就足一个数　列。有时为了办使呵将数列极限看作赴某个级数的部分和，　这样能　便、翅简捷地求出数列的极限。　例７求极限ｌｉｍｎ　ｆ　１一，２　ｓｉｎ一１　１　例５求　酬　＋＼，ｒ＋ｌ　南２＋．，ｚ　＋　．－　２ｎ　ｊ一／　州　寿…　喜　令　：　，　１　ｎ　。。时，Ａｘ－￣０，　：生，／（　）：　，　一　ｎ／　ｊ！　：订泰勒公式知：ｓ１‘ｎ　：　￡＋Ｄ（　）（　＿÷０），　，令　，Ｚ　’得：ｎ　１ｎ　ｓｉｎ　ｎ』］　Ｉ　３　＋。ｃｔ　。。，　战：ｌｉｍ　１　１－ｎ　ｓｉｎ　ｎ／：　］＝　为所求。　０　几　南　¨　¨佝舣：　州　＋　毒十．＿。扎　喜　Ｈｌ　ｊ　＝数列极限ｎ勺理沦时，　秆／１　断总结，／１　断充善知　以　沦　１结构，　能存斛题心路中仃所发现，有所创新。本　义列　≮的几种求数列极限的　法足仃限ｎ勺，还仃史多更耍『的　题　法和心路，　要我们进一步去总结。　［参考文献］　Ｉ１ｌ裴礼文数　分析Ｌ１］的典删问题　办）２￣ＩＭＩ北　：高等教育｝“　版十ｆ，Ｉ９９３．　』　一ｃｔａ叫　【２】孙涛数学分析经典习题解析ＩＭ】北京：高等教育出版社，　数列』　一种特殊的　数，向函数义只有迎续、可微、可　２００４　３华尔师范人学数学系ｆ数学分析（上册，第　版）ｆＭ１．北京：　曲等教育“；版社，２｛）０１　４　Ｊ陈文灯．数学复习指南【Ｍｌ北京：１ｆ｝羿图…Ⅱ版社，２００５　例６若　，ｂ，　０，求极限ｌｉｍｆ　±　±　１　Ｓｅｖｅｒａｌ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｏｂｔａｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｓｅｑｕｅｎｃｅ　Ｌｉｍｉｔ　ＺＨＯＵ　Ｌｉｎ　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｉｔ　ｉｓ　ｗｅｌｌ　ｋｎｏｗｎ，ｔ　ｌｉｎ￣ｉｔ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ　ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｌｉｍｉｔ，ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｔｗｏ　ｋｉｎｄｓ．　Ｂｕｔ　Ｉ　ｏｎｌｙａｓｋ　ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｌｉｍｉｔ　ｉｎ　ｖｉｅｗ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｌｉｍｉｔ　ｐｒｉｍａｒｙ　ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ，ｔｏ　ｃｈａｎｇｅ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｋｎｏｗｎ　ｌｉｍｉｔ，ｔｗｏｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｐｒｉｍａｒｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｃｌａｍｐ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｌａｗ，ｔｈｅ　ｍＯｎｏｔｏｎｏｕｓｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｓｅｒｉｅｓ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ，ｒｉｐ　ｔｈｅ　ｓｉｎｃｅｒｅ　ｔｈｉｓ　ｆｏｒｍｕｌａ　ａｎｄ　ＳＯ　ｏｎ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｋｉｎｄｓ　ｔｏ　ａｓｋ　ｔｈｅ　ｌａｗ　ｔｏ　ｎａｒｒａｔｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｌｉｍｉｔ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｋｉｎｄｓ　ｔｏ　ａｓｋ　ｔｈｅ　ｌａｗ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ】ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｌｉｍｉｔ；ｐｒｉｍａｒｙ　ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ；ｖａｒｉａｂｌｅ　ｒｅｐｌａｃｅ