核心词解读二符号意识

《数学课程标准》核心词的实践解读之二

上海市静安区教育学院 曹培英

本文基于小学数学教学实际，探讨新版课标中的第二个核心词“符号意识”。

一、符号与数学符号 1. 符号的世界

所谓符号，通常是指具有某种代表意义的记号、标识。它源于规定或约定俗成。比如，路口的红绿灯并不具备“灯”的照明功能，而是交通规则的标识；北京故宫、京剧等，已在相当程度上成为中国文化的符号。

符号具有两方面的内涵。一方面它承载着意义、精神；另一方面它有着能被感知的特定表现形式，可以是图形图像、文字组合，也可以是声音信号、建筑造型，甚至是一种思想文化、一个时事人物。举例来说，红色的“十”，原本是红十字会的专用标志，现在已具有医疗卫生、救死扶伤的公认意义，并象征着人道主义精神。

如今，全社会都在使用符号。

先看生活世界，从交通标志到店铺招牌，再到各种商标，符号随处可见。生活在符号的世界里，儿童从小就在不断地感知符号背后的现实意义，逐步形成初步的符号意识。例如，城市里的孩子，看到红底黄色的“m”，就会自动联想到麦当劳。

再看数学世界，罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑”。可以说，没有符号，就没有近代数学、现代数学。

因此，符号感、符号意识理所当然受到数学教育的重视。

但是，至少在幼儿园，就已开始培养儿童的符号意识，如让孩子选择一个小动物或其他什么，作为个人的记号、标志，贴在自己的储物箱上。无疑，小学数学教学不应停留在此水平，敢问，脚下的路迈向何方？

2. 数学符号的特殊性

毫无疑问，儿童在生活中获得了关于符号的认知经验，以及相应的符号意识，对于认知数学符号，会有帮助。但是，相关的生活经验，是否就能自动地迁移到数学学习中来，进而形成数学的符号意识呢？有经验的小学数学老师都会回答：没那么简单。

为什么？因为数学符号具有自身的特殊性。

关于数学符号的特性，人们首先想到的，是它的抽象性、简洁性、普遍性。然而，社会学意义上的、生活中的符号，同样具有这些特性。符号的表现形式是具象的，但它指代的意义都是抽象的，人们之所以刻意设计某一符号，就是为了实现具象与抽象的和谐统一。符号都是简洁的，因为简洁的符号容易记忆、便于识别。符号也都具有普遍性，比如音乐符号，它与数学符号一样，可以不分地域、民族，全世界通行无阻。

同样，数学符号的某些功能，如表述和理解功能、交流和传达功能，以及简化、促进思维的功能，也都是一般符号的功能，这在符号学里都有论述。

那么，数学符号究竟特殊在哪里？

首先，数学符号是精确的、严谨的。这一特性使得与人类其他语言形影相随的含糊性在数学里荡然无存。而其他符号，特别是文化、艺术符号，不仅具有一定的含糊性，而且灵活多变。很多符号，追求新颖、独到而刻意变化，是生命力的体现。然而，符号的多变性，对于数学来说，却是可怕的。数学符号几十年、几百年不变都很正常。

其次，数学符号可以参与运算。从算术运算到代数运算（包括向量运算、矩阵运算），从微积分运算到逻辑运算（包括集合运算），如今，“几乎数学的每一个分支都靠一种符号语言而生存” ，几乎所有运算，都表现为符号的推演。

正是由于数学符号的精确、严谨性与可运算性，使数学符号的思维功能被放大到了极致。数学思维常常成了可视的符号操作过程，不仅简洁，而且可以集中注意符号本身而不去顾及符号背后的东西。

类似地，数学符号的抽象性，也因数学研究对象的特殊性而显得与众不同。

3. 略述实践偏颇

看不到或者不了解数学符号的这些特殊性，难免误导教学实践。这里，略述一二。

其一，几次观摩联系生活实际的数学课，针对培养学生符号感的目标，教师花费大量的时间，将日常生活中的各种符号引进课堂，并诠释符号的含义。这些课因其轻松、活泼具有观赏性，又贴上了培养符号感的标签，而一度受到追捧。

在笔者看来，由生活中的符号导入数学教学的主题，激活学生的相关认知经验等，都是可取的。明显的作用是拉近数学与学生的距离，并创建一个接纳新知识的“港口”，亦即请来了一个同化新知识的“先行组织者”。然而，过分热衷流行元素，以非数学的符号为主要教学内容的做法，让人疑惑：这到底是一场符号学的普及讲座呢，还是一节数学课？

其二，为发展学生的符号感，特意开发学习材料，组织专项教学活动： 用自己的方式表示你发现的规律。

……

学生交流的表示方式有：

红 绿 红 绿 红 绿 …… ● ○ ● ○ ● ○ ……

□ △ □ △ □ △ …… 1 2 1 2 1 2 ……

不少关于培养符号感的经验总结，都有大同小异的问题情境与教学活动。 学生的这些个性化表达，与其说是反映了数学的符号感，不如说是在训练他们发现规律、表征规律。因为学生的各种表示，都只是一种记号，其间反映的符号感与社会生活中的符号感类似。这样的符号感小学音乐课也在训练，如让学生用自己的方式记录拍手节奏(有些变化规律比上面的“灯笼”更复杂)，学生想到的大多也是这些记号，数学课何必再去凑热闹呢。

二、符号感与符号意识

教育部《数学课程标准（实验稿）》（以下简称“课标实验稿”）认为：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”

新版课标修改为“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”

首先，将“符号感”更改为“符号意识”，意味着什么？

从字面看，似乎“符号感”强调对符号的感觉、直觉和对符号的敏感性，而“符号意识”则突出了学生主动理解和运用符号的心理倾向。

其次，如果将名词看作符号，那么更为重要的是考量符号被赋予的内涵。 显然，课标实验稿刻画了符号感的四种表现，前两种表现被新版课标概括成了一句话。值得注意，新版课标在这句话里增加了“符号表示数”。可以认为它既指用字母表示数，又包括用阿拉伯数字符号表示数。

按此理解，小学数学培养学生的符号意识，从一年级教学第一个数字1就已开始。可见，修改后的表现性刻画，内涵更加全面，也更加贴近小学数学教学的实际。

课标实验稿关于符号感的第三种表现“会进行符号间的转换”，常有老师问：小学数学有符号间的转换吗？

笔者曾尝试举例回答：

长方形的周长等于长加宽之和的两倍，习惯上用字母表示为C＝2(a＋b)，以米为单位，当a＝8，b＝5时，则2×(8＋5)＝26。

这里，从“周长等于长加宽之和的两倍”到“C＝2a＋2b＝2(a＋b)”，再到“2×(8＋5)＝26”，都是“符号间的转换”。

但多数老师不以为然，他们觉得从文字叙述到字母表示，是数学语言形式的转换，上述恒等变形是分配律的运用，代入求值的过程才是符号间的转换。

同样，符号感的第四种表现“能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题”，也有争议：这到底是解决问题的能力，还是符号感，或是两者的“合力”？

也有老师认为，“管它是什么，都有作用，都应加以训练，不就完了吗。” 不无道理，非要在“是什么”上争个明白，有时对于教学实践的帮助可能并不很大。

新版课标的解释似乎包含三层意思：首先，符号意识的“对象”是“数、数量关系和变化规律”；其次，符号意识的行为表现，一是能够理解并用符号表示对象，二是知道使用符号可以进行运算和推理，得到结论；再次，扼要表述了符号意识的作用。

当然，对于教学实践工作者，更为关注的是如何落实，即“怎样做”。

三、小学数学怎样培养学生的符号意识

培养小学生的符号意识，从何着手？

教学实践研究的路径无非两条，一是回溯式研究，即回顾、追溯曾经的教学经历，从相关经验中筛选、提炼有效策略；二是探索式研究，即针对存在的问题或根据新的设想进行试验性、开拓性的实践，以获得新认识、新经验。以下教学对策是从回溯到探索，两条路径结合、互补的产物。

1.首先是让学生亲近符号，接受、理解符号

数学符号有多种分类。比较常见的是按照符号的用处分为：对象符号（如数字符号、圆周率符号）、运算符号、关系符号、结合符号（如小括号、中括号）、性质符号（如正号、负号）、略写符号（如因为“∵”、所以“∴”）等。下面以

数字符号、运算符号、关系符号为例，说明如何让小学生亲近、喜欢符号，接受、理解符号。 （1）数字符号

老师们都有自己的教学阿拉伯数字符号的经验，其中最为经典的中国式策略就是让学生诵读儿歌，如：1像铅笔，细又长；2 像鸭子，水中游；3 像耳朵，两道弯；4 像小旗，迎风飘；……

实践表明，富有童趣的儿歌能激起学生的认知兴趣，有助于他们记忆字形并掌握书写体。但仅仅停留于此是不够的，还必须重视引导学生初步体会数的抽象。如：

数学教育家曹飞羽先生曾经讲过这样一个真实的故事：拨乱反正后，人民教育出版社着手编写全国通用教材，实验初期的油印本，5＞3的插图是5只小鸡与3只母鸡，尽管画了三条一一对应的虚线，不少学生还是认为“3大于5”。他

1只小鸡大， 们的理由是1只母鸡都可能比5何况3只母鸡。教材的意图是明确的，

引导学生抽象的设计也有道理。但考虑到一年级小学生还难以彻底摆脱量（特别是质量）对抽象出数的干扰，所以最后把3只母鸡改成了3只小鸭。

三十多年过去了，这个案例之所以始终保持在记忆里，是因为它能给我们很多提醒。用在这里是想提示：数字符号，作为事物共同属性的标志，它的抽象不是一朝一夕就能完成的，需要一个发展过程，需要持续的教学努力。当然，也和数感的建立密切相关。

（2）运算符号

小学数学主要教学加、减、乘、除四种运算的符号。这些符号可以通过动态演示，揭示符号指代的运算含义。

加号的演示：先出现一横，再移来一竖，以显示“合并”、“添上”、“增加”的意思。

减号的演示：从“＋”里拿走一竖，表示“去掉”、“减少”的意思。 乘号的演示：将“＋”转动 45°成“×”，表示特殊的加即同数连加。 加号的生成 减号的生成 乘号的生成

可见，运算符号的直观形态与其内在含义，呈现高度的和谐、统一。学生看到了这些符号的动态生成，也就记住了相应运算的含义。

我们的实践表明，教学加、减、乘时演示了三个运算符号的生成与含义，到教学除法时，学生一般都会自己解释除号“÷”的含义：“先写中间一横表示平均分，上面、下面各一点，表示每份同样多”。

这些诠释，用历史的真实来考察，有些可能并非符号原创者最初的想法，与符号演变史实也有些许出入，但从教学工艺学的视角考量，却是基本符合符号本意的教学艺术加工。其教学效果非常明显，尤其是孩子喜闻乐见，印象深刻，容易内化。

（3）关系符号

小学数学首先出现的关系符号是等号，接着是大于号、小于号，然后是约等号和不等号。

1557年，等号的首创者英国数学家列科尔德在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复is equal to（等于）这个短语，我认真比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了。”

小学生容易感知“等长”，怎样让他们在学习平行概念之前初步感知“平行”

呢？在“＝”两头各嵌入两个小正方形，以显示距离相等，用学生的语言来说“一样宽”：

在此基础上，以线段的中点为旋转中心，将其分别朝相反方向旋转30度，使等长线段的一端并拢，一端张开，就生成了大于号、小于号。

老师们都知道概括这两个符号的共同点是开口对大数，尖头对小数。若能通过动画演示让他们看到“开口”、“尖头”原来是从等号演变过来的，符号活了，亲近感油然而生，教学效果自然更为理想。

有教师发现，伸出右手，张开食指、中指，就是一个相当标准的大于号；反之，伸出左手，张开食指、中指，就是一个相当标准的小于号。

进而，约等号、不等号，也可以在等号基础上引进：

让等长的线段弯一弯，等号就变成了约等号；等号添上斜杠，就表示no，不等于。

看来，认为数学符号抽象、难懂的习惯性认识含有偏见。很多数学符号如同“象形文字”，是那样的简洁、生动、形象、传神。面对这些充满简约美的符号，任何教学艺术、任何语言描绘，都相形见绌。而且，符号本身就具有促进理解，帮助记忆的教学功能。如此有效的功能不加以开发、利用，实在是非常可惜的。

事实上，数学符号按其形成方式来分类的话，又可以分为象形、缩写、约定（如用a、b、c表示已知数，用x、y、z表示未知数）等类。非常庆幸，小学数学所引进的符号以“象形”为主。除了运算符号、关系符号，几何中的很多符号，如“∥”、“⊥”、“△”等，都具有明显的象形特征。这些符号给我们从一开始就让孩子领略数学符号的美妙与可爱，提供了有利条件。

也正是因为数学的象形符号与生俱来的简约记忆功能、辅助理解功能，所以，小学数学符号教学的基本任务是让学生欣赏符号、感悟符号。那些不切实际，花费可观的时间让学生自创符号的做法，值得反思。给学生自创符号的机会，并鼓励他们张扬个性，是很好的。但若脱离学生的实际，且厚此薄彼，忽视已有符号的认知与领会，就难免流于形式，适得其反。

2.其次是让学生初步感悟符号表达的优势与作用

多年来，用字母表示数的教学成为培养学生符号感的主要途径，因此，这方面的教学经验可谓汗牛充栋，还有什么需要讨论的呢？

一般认为，用字母表示数的优越性主要是简单明了，即“简洁”。除此之外，从特殊到一般，揭示一般规律的优点似乎并不突出。比如加法结合律用字母表示“a＋b＝b＋a”，用语言描述“两数相加，交换位置，和不变”，都能揭示一般规律。

这是由于小学数学学习内容简单、学生认知水平有限等因素造成的教学局限性。

仅从中国古代数学的发展历程来看，曾经有过辉煌，明朝中叶之后，一直停滞不前，固然有多方面的原因，其中公认的一个重要原因就是忽视了符号的使用。以初中数学的内容为例，就不难看出这一点。例如一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

bb24ac的求根公式x，没有包括字母表示数在内的符号系统，它的推

2a导将变得异常困难，推导过程的表述更是难上加难，即便写出来，也没人能看懂。

那么，怎样利用小学数学现有的内容，使学生对用字母表示数的优越性有更深入一些的认识呢？

乘法分配律是一个可以充分利用的载体。下面是人教版教材的一个片段： 用字母 a、b、c分别表示三个数，学生不难写出乘法分配律：

(a＋b)×c＝a×c＋b×c。

将它和算式比较，一个特殊，一个一般；与文字叙述比较，一个冗长，一个简洁。通常比较到此为止，实在有些遗憾。

细致分析女孩说的那段话，前面是“两个数”、“一个数”，后面变成了“它们”、“这个数”。原来这么长的一段话，谁和谁先加、再乘，又是谁和谁先乘、再加，仍然没有说清楚，不理解的人读了也白读。可见，用字母表示数的 “优势”不仅在于“简洁”，在于由特殊到一般，更在于“准确”、“无歧义”。

还可以给出乘法分配律的几何模型，如：

c 将图形语言比文字语言、符号语言这里，先后出现了数学语言的三种形态。比较，无可争议，图形语言更直观，但长度、面积都不可能是负的，而用字母，a b 还能表示以后将要学习的其他数。

理论与实践都能告诉我们，数学语言的转化训练，也有助于符号意识的建立。 进一步，即使在小学，也能通过具体实例，让学生在解决问题的过程中，初步体会“使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”例如，设计如下“数学小魔术”：

请你想一个整数，把它乘2加7，再把结果乘3减21。告诉我计算结果，我立即能判断出你想的整数是多少？

不妨先让学生尝试，每次教师都能准确说出学生心里想的数，有意制造悬念，令他们惊讶不已。然后“解密”：

设所想的数为x，则(2x＋7)×3－21＝6x＋21－21＝6x。

因此，只要计算正确，结果一定是偶数，且能被3整除，将计算结果除以6，就是对方所想的数。 高年级小学生乐此不疲，他们受到启发，在教师的鼓动下自己尝试修改规则，使计算结果为4x、8x、10x，于是兴趣倍增，从中还能体会引入符号的必要性，并初步感悟“符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”

实践表明，新版课标关于符号意识的所有表述，都能在小学得到初步的落实。尽管如此，笔者还是不想把相关经验再加以细分、展开，一方面是为了突出符号意识培养的主要内容与主要对策，另一方面是笔者认为，与数感相比，符号意识并非小学数学教学的重点，过于铺开、处处着力难成上策。

这一工作角度的主次之分，并不妨碍研究的深入。重点固然值得研究，非重点也需要研究。相信随着教学探索的深入，还会生成更多的新经验、新策略。 主要参考资料：

1.史宁中：数学思想概论（第1辑）——数量与数量关系的抽象.东北师范大学出版社，2008.

2.姚相全：中小学数学符号感研究评述.《才智》2009年第7期.

3.车燕，任开隆：数学符号及其历史和作用.《北京联合大学学报》2001年6月.