现代数字信号处理复习题2014

现代数字信号处理技术复习题

一、填空题

1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始

时间无关，只与时间间隔有关。

判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：

（1）x(t)的均值为与时间无关的常数：mx(t)C （C为常数） ；

（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：Rx(ti,tj)Rx(ti,ti)Rx()；

（3）信号的瞬时功率有限，即：DxRx(0)。

高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪

声信号。

信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个

样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。

广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。

2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E定义为：

其功率P定义为：

离散随机信号f(n)在区间

上的能量E定义为：

其功率P定义为：

注意:(1)如果信号的能量03、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与

将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。 4、对平稳随机信号，其自相关函数为Rx()，自协方差函数为Cx()， （1）当0时，有：Rx()=Dx ，Cx()＝x。

2（2）当时，有：Rx()=mx ，Cx()＝0。

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5、高斯－马尔可夫随机信号的自相关函数的一般表达式可表示为:Rx()＝e|| 。

10e4||，其均值 mxRx()0 ，均方值6、高斯–马尔可夫信号x(t)的自相关函数为Rx()＝DxRx(0)10 ,方差2Dx10。其一阶概率密度函数的表达式为：p(x)1x2 。

exp2102022 注意：（1）Dx(t)x(t)mx(t)

（2）一阶高斯随机信号的概率密度函数为：p(x)式中，2Rx(0)Dx

(xmx)2， 1exp2227、求MA(1)的功率谱的一般表达式为:Sx()H(ej)2211ej。

8、由Wold分解定理推论可知，任何AR或ARMA序列均可用 无限阶的惟一MA模型MA(∞) 来表示。

9、经典功率谱估计的方法主要有 周期图法(直接法) 和 相关图法(间接法) 两大类。对经典谱估计方法

的改进措施主要有: 。

10、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指： 在最小均方误差（MMSE）准则下，误差e(n)与每一个输

入样本x(n-k)都是正交的 。

11、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越

大，收敛速度越 快 ；最小特征值越小，收敛速度越 慢 。

22ˆ()保证真实谱S()中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力 ，12、谱估计的分辨率是指 估计值S在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是 窗函数的主瓣宽度。

注意：主瓣越宽，分辨率越低。

13、统计检测理论是利用 信号 与 噪声 的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论，主要解决在受噪声干

扰的观测中信号有无的判决问题。

14、信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号和 波形 的确定问题。

15、在二元假设检验中，如果发送端发送为H1，而检测为H0，则成为 ，发送端发送H0，而检测为H1，则称为 。

16、若滤波器的冲激响应时无限长，称为 滤波器，反之，称为 滤波器。若滤波器的输出到达 最大信噪比 成为 匹配 滤波器；若使输出滤波器的 均方估计误差 为最小，称为 维纳 滤波器。 17、在参量估计中，所包含的转换空间有 参量空间 和 观测空间。 18、在谱估计中，由 经典谱估计 和 现代谱估计 组成了完整的谱估计。

19、如果系统为一个稳定系统，则在Z变换中，零极点的分布应在 单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中，零极点的分布应在 左边平面。

20.统计检测理论是利用 信号 与 噪声 的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论。 21.主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题

22.信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号参量 和 波形 的确定问题。

23.在二元假设检验中，如果发送端发送为H1，而检测为H0，则成为 漏警 ，发送端发送H0，而检测为H1，则称为 虚警 。

24.若滤波器的冲激响应时无限长，称为 IIR 滤波器，反之，称为 FIR 滤波器

25.若滤波器的输出到达 最大信噪比 成为 匹配 滤波器；若使输出滤波器的 均方估计误差 为最小，称为 维纳 滤波器。

26.在参量估计中，所包含的转换空间有 参量空间 和 观测空间

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27.在谱估计中，有 经典谱估计 和 现代谱估计 组成了完整的谱估计。

28.如果系统为一个稳定系统，则在Z变换中，零极点的分布应在 单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中，零极点的分布应在 左边平面。

29. 一般采用（ 协方差函数 或者 自相关函数 ）和（ 偏相关函数 ）这两个统计量对AR/MA/ARMA三种模型进行识别：如果（ 偏相关函数 ）是截尾的，则说明该时间序列适于用AR模型建模。

30. Cramer-Rao不等式是用于描述估计量有效性下限的重要公式，对一个估计量进行估计的最小方差是

ˆdb1ˆd（）。该不等式可借用Fisher信息量加以描述，请给出Fisher信息量的数学表达式 2Elnfx222ElnfxE2lnfx）（J。 31. 在信号检测常用的四种准则中，（ Bayes最小风险准则 ）主要是考虑发生错误给判决造成的代价最小，因此该准则必须需要知道（ 先验概率 ）和（ 代价函数 ）这两个应用条件。 32. 在小波分析中，高小波尺度反映的是信号（ 低 ）（高还是低？）频段频率。

二、问答题

1、什么叫能量信号？什么叫功率信号？ 答：（1） （2）

2、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？ 答：（1）具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。

（2）对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻

的输入无关，则该系统称为因果系统。

注意：因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。也就是说，因果系统的响应

不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。

3、如何判断一个线性时不变系统是稳定的？ 答：一个线性时不变系统是稳定的充要条件：

nh(n)

 （1）充分性：如果

nh(n)成立，对有界的输入，输出也是有界的；

n （2）必要性：如果系统稳定，

h(n)成立。

4、强平稳随机信号和广义平稳随机信号是如何定义的？ 答：（1）

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（2）

5、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。 答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：

连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：Sx()Rx()ejdF(Rx())

Rx()(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：

离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：Sx(e)j12Sx()ejd

mR(m)exjm

Rx(m)6、试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。 答：

12Sx(ej)ejmd

7、什么是估计

的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？

ˆ)a，则称aˆ，如果E(aˆ为a的答：假设估计量为a（a可以是均值、方差、自相关函数等），它的估计值为aˆ为有偏估计； 无偏估计，否则称aˆ)a，如果估计值aˆ不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋定义估计的偏差为：bE(a第4页，共55页

~

ˆ)a]0，则称估计值aˆ为渐近无偏估计。 近于真实的估计量，即：lim[E(aN8、请写出ARMA(p,q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。

答：（1）ARMA(p,q)的数学模型表达式：

式中，1,2,...,p,1,2,...,q为常数，001 （2）该模型的电路框图如下所示：

9、请写出AR(p)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。 答：（1）AR(p)的数学模型表达式:

（2）该模型的电路框图如下所示：

注意：AR(p)模型又称全极点模型。

10、请写出MA(q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。 答：（1）MA(q)的数学模型表达式:

（2）该模型的电路框图如下所示：

注意：MA(q)模型又称全零点模型。

11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？

ˆ()保证真实谱S()中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，答：谱估计的分辨率是指估计值S在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度,主瓣越宽，分辨率越低。 12、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。 答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平

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滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。 （2）此方法的具体步骤是：

①给出观察序列x(0),x(1),...,x(N1)，估计出自相关函数：

ˆ(m)1RNN1mx(n)x(nm)，N1mN1

n0②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：

ˆ()SmMˆ(m)(m)eRMjm

式中，一般取mN1，(m)为一个窗函数，通常可取矩形窗。

可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。

13、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（1）AR谱估计的基本原理是： p阶的AR模型表示为：x(n)x(ni)u(n)

ii1p 其自相关函数满足以下YW方程：

取m0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程：

ˆ(m)，再利用以上矩阵方程，直 在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx接求出参数1,2,...,p及，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。 （2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：

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2

Rx(1)Rx(0)R(1)Rx(0)xRx(p)Rx(p1)Rx(p)12Rx(p1)10Rx(0)0p

14、Burg算法有什么特点？

ˆ(n),而是从数据x(n)直接求解； 答：(1)不需要估计自相关函数Rm(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；

(3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当； (4)Burg算法估计的参数满足i1，i1，2，...，p，即求出的AR模型总是稳定的；

(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。

15、试简要说明设计维纳滤波器的一种方法。

答：如果设计的滤波器是线性非时变的，并按照最小均方误差准则来设计，得到的滤波器即是维纳滤波器。

16、在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条件下使用极大极小准则？什么条件下使用Neyman-Pearson准则？

答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson准则。

17、在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？ 答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变量），即值（非随机参量）的渐进无偏估计。

18、卡尔曼滤波器是什么？

答：卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。这个系统可用包含正交状态变量的微分方程模型来描述，这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。

19、在现代信号处理中，对信号的处理通常是给出一个算法，对一个算法性能的评价，应从那些方面进行评价。 答：算法的复杂度，算法的稳定性和现有算法的比较，算法的运算速度、可靠性、算法的收敛速度。

20、在自适应做小均方算法（LMS）中，学校不错或者自适应步长以LMS算法的性能存在非常密切的关系，在实

际应用中，如何选择该参数，以提高其LMS算法的性能？

答：大的学校步长能够提高滤波器的收敛速度，但稳定性能就会降低，反之，为了提高稳态性能而采用小的学习速率时，收敛就会慢，因此，学习步长的选择应该兼顾稳态性能与收敛速度，简单而有效的方法就是在不同的迭代时间使用不同的学习步长，采用时变得学习速率。在暂态即过渡阶段使用大的学习步长，而在稳态使用

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或等于被估计量的真

,称为

，则称为的无偏估计。渐进无偏估计：若

小的学习步长。

21、什么是噪声？产生的原因是什么？

答：有色噪声是功率谱密度Pn(w) 常数的噪声。产生的原因主要有：实际的噪声源与接收机的检测器之间可能存在一个或者几个具有某种形状通带的部件，如天线和射频滤波器等，使白噪声通过以后，产生频谱的再分布，形成有色噪声。在有用信号以外，接收信号中可能还还有一个具有高斯特征的干扰信号，如在雷达和声纳系统中往往就是一个干扰目标。

22、为什么在高阶信号处理中，常常采用高阶累积量，而不采用高阶矩？ 答：因为高阶累积量有如下性质：

1） 半不变性，若随机变量{Ei}和yi}统计独立，则累积量具有半不变性，即：cum（E1+y1,…..Ek+yk）=

cum(E1,……,Ek) + cum(y1,……,yk),但高阶矩一般没有半不变性。

2） 如果K歌随机变量{E1,…..Ek}的一个子集同其他部分独立，则cum(E1,……,Ek)=0，

mom(E1,……,Ek)0.

23.在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条件下使用极大极小准则？什么条件下使用24.Neyman-Pearson准则？

答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson准则。

25.在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？

答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变量），即

计量的真值（非随机参量）渐进无偏估计：若

，则称为,称为

的无偏估计。 的渐进无偏估计。

或等于被估

26.在现代信号处理中，对信号的处理通常是给出一个算法，对一个算法性能的评价，应从那些方面进行评价。

答：算法的复杂度，算法的稳定性和现有算法的比较，算法的运算速度、可靠性、算法的收敛速度。

27.在自适应做小均方算法（LMS）中，学校不错或者自适应步长以LMS算法的性能存在非常密切的关系，在实际应用中，如何选择该参数，以提高其LMS算法的性能？

答：大的学校步长能够提高滤波器的收敛速度，但稳定性能就会降低，反之，为了提高稳态性能而采用小的学习速率时，收敛就会慢，因此，学习步长的选择应该兼顾稳态性能与收敛速度，简单而有效的方法就是在不同的迭代时间使用不同的学习步长，采用时变得学习速率。在暂态即过渡阶段使用大的学习步长，而在稳态使用小的学习步长。

28.短时Fourier变换、小波变换和Gabor变换都是时频信号分析的（线性变换）或（线性时频）表示，而Wigner-Ville分布则属于时频信号分析的（非线性变换）。 29. 简述小波变换的概念及其优点。

答：小波变换从基函数角度出发，吸取傅里叶变换中的三角基(进行频率分析)与短时傅里叶变换中的时移窗函数的特点，形成振荡、衰减的基函数，因为它的定义域有限，故称为小波。小波基函数是时间t、尺度因子a和时移参数b的函数。 小波变换的优点：

⑴小波分解可以覆盖整个频域（提供了一个数学上完备的描述）。

⑵小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性。 ⑶小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）。

⑷小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）。

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30. 相对于Mallat塔形算法而言，第二代小波方法的优势在哪里？

答：1.它不依赖于傅里叶变换，完全在时域中完成对双正交小波的构造，具有结构化设计和自适应构造方面的有点2.构造方法灵活，可以从一些简单的小波函数，通过提升改善小波函数的特性，从而构造出具有期望特性的小波3.不再是某一给定小波函数的伸缩和平移，它适合于不等间隔采样问题的小波构造4.算法简单，运算速度快，占用内存少，执行效率高，可以分析任意长度的信号。

31.EMD方法在机械设备故障诊断中的应用有（机车轮对轴承损伤定量识别方法）、（烟气轮机摩擦故障诊断）。 32. 随机信号特点？

答：随机信号也称随机过程，随机信号在任何时间的取值都是不能先验证确定的随机变量。虽然随机信号取值不能先验证确定，但这些取值却服从某种统计规律，换言之，随机信号或过程可以用概率分布特点（简称统计性能）统计的描述。

33. 简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。 答:功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。

34.自适应滤波方法主要是基于几种基本理论再融合递推算法导出来的？ 答：（1） 基于维纳滤波理论的方法 。基于维纳滤波原理，利用相关的瞬时值通过在工作过程中的逐步调整参数逼近信号的统计特性，实现最优滤波。由此得到一种最常用的算法——最小均方算法，简称LMS算法 （2） 基于卡尔曼滤波理论的方法 。利用卡尔曼滤波理论的递推求解法导出自适应滤波器更新权矢量得不同递推算法。

（3） 基于最小二乘准则的方法。最小二乘估计算法是以最小误差平方和为优化目标的。根据滤波器的实现结构，有自适应递归最小二乘法（RLS），自适应最小二乘格型算法，QR分解最小二乘算法三种算法。 （4） 基于神经网络理论的方法。 35. 数字信号处理与模拟信号处理比较：

1模拟通信的优点是直观且容易实现，但存在两个主要缺点：保密性差；抗干扰能力弱。

2数字通信 （1）数字化传输与交换的优点：加强了通信的保密性；提高了抗干扰能力；可构建综合数字通信网 （2）数字化通信的缺点:占用频带较宽；技术要求复杂；进行模数转换时会带来量化误差。 36. 基于归零化峰度的信号分类与基于归一化峰度的信号分类分别有哪些？ 答：基于归零化峰度的信号分类： （1）峰度等于零的信号为高斯信号； （2）峰度小于零的信号为亚高斯信号； （3）峰度大于零的信号为超高斯信号；

基于归一化峰度的信号分类：

（1）归一化峰度等于3的实信号为高斯信号； （2）归一化峰度小于3的实信号为亚高斯信号； （3）归一化峰度大于3的实信号为超高斯信号； 37. 最大似然估计具有哪些性质？ 答：（1）最大似然估计一般不是无偏的，但其偏差可以通过对估计值乘某个合适的常熟加以消除;

(2) 最大似然估计是一致估计；

(3) 最大似然估计给出优效估计，如果它存在的话；

(4) 对于大的N,最大似然估计ML为一高斯分布，并且其均值为、方差为

第9页，共55页

1N2Efx,...,x| 1N138. 信号的频域分析有哪几种方法？举一个倒频谱应用的例子。

答：1、信号的频谱分析；2、相干分析；3、频谱细化分析；4、倒频谱分析；5、信号调制与解调分析；6、时间序列建模与自回归谱分析；7、全息谱理论和方法。

语音和回声分析及解卷积：振源或声源信号往往受到传递系统（或途径）影响，采用倒频谱分析技术可以分离和提取源信号与传递系统影响，有利于对问题本质的研究。 39. 什么是循环平稳信号？循环相关解调分析的作用是什么？ 答：具有周期时变的联合概率密度函数

；且存在从一阶到N阶的各阶时变统计量（如

），并且他们都是时间周期函数，这样的信号称为N阶循环平稳信号。

循环相关解调分析可以有效分离出信号中的调制源和载波源、识别混频信息，具有较强的噪声抑制特性。 40.从Fourier变换到小波变换的三个阶段： *）信号加窗；**）基加窗；***）小波基； ⑴ Fourier变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号fx的Fourier变换

Ffxeixdx

表示信号的频谱。正是Fourier变换的这种重要的物理意义，决定了Fourier变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的。所以，随着应用范围的逐步扩大和理论分析的不断深入，Fourier变换的局限性就渐渐展示出来了：

首先，从理论上说，为了由Fourier变换研究一个时域信号fx的频谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息，以致于包括将来的信息；

其次，Fourier变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力。但是，在许多实际应用中，畸变正是我们所关心的信号在局部范围内的特征；

再次，Fourier变换不能反映信号在局部时间范围内和局部频带上的谱信息分析，或称为局部化时-频分析，而这正是许多实际应用最感兴趣的问题之一；

最后，因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，因而要给进行分析的一个灵活多变的时间和频率的“窗口”，使其在“中心频率(或称为平均频率、主频)”高的地方，时间窗自动变窄，而在“中心频率”低的地方，时间窗应自动变宽。

⑵ 时间加窗：Gabor在1946年的论文中，为了提取信号的局部信息，这包括时间和频率两方面的局部信息，引入了一个时间局部化的“窗口函数”gtb，其中参数b用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。

Gabor变换继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时，它克服了Fourier变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，大大地改进了Fourier变换的分析能力，为信号处理提供了一种新的分析和处理工具，即信号的时-频分析。

Gabor变换的技术、工程含义：由于我们对信号一段时间内的谱感兴趣，就采用信号加窗技术，从本质上来讲还是用谱分析技术去分析信号，属于工程、技术上的方法。这种方法可能在这个问题中有效，在另外的问题中是否有效还是未知数。

⑶ 基加窗：其变换的表达形式与信号加窗一样，但是蕴含的意义却发生重大的改变。在基加窗变换中对信号没有任何限制，只对分析用的基进行处理（加窗）。反映了对基本处理工具的加工，将信号加窗这种技术方法变为了一般的数学方法，应用范围更广，更一般化。

⑷ 小波基：在前面，对一组基用窗函数作用得到局部化的基，这是不得已而为之。以前，使用Fourier基，应用范围有限，Fourier基的缺点很明显，如Fourier基是严格周期函数，在许多实际问题的处理中，如对某段范

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围内的信号进行处理，使其缺点表现得更为明显。基加窗的目的使信号限制在分析范围内。在基加窗基础上，对基的处理进一步一般化，将基和窗函数两部分看作一个整体，不对基作任何限制，只说明其具有哪些性质。这种方法体现了一般分析问题的方式，把复杂的信号投影到结构简单、清晰、且具有一定联系的一组基上。是一种科学思想的体现。 41.Shannon小波的计算：

*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波； ⑴ Shannon采样定理：设信号fxL2R，如果存在B>0，使

F0 B a.e.R

这里F是f(x)的Fourier变换，则称f(x)是B频率截断的，这时，只要采样间隔B，信号f(x)按间隔进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列fn ; nZ可按如下公式构造原信号

sin1xnfxfn1

nZxn上式称为Shannon插值公式。

⑵采样定理与尺度函数

sin1x尺度函数为： x

1x⑶ 写出Shannon小波的时域和频域表达式 频域形式为

0  1 220 2 在时间域可表示为

x22xxsin2xsinx

x这就是一个Shannon小波。

⑷ 写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波

x22xxsin2xsinx

x11sin2tsint11222t2t2t2

1t2

定义函数

t则

sin t  t第11页，共55页

1   其余0 这时，mZ函数族

mm222tn; nZ 是LR中的标准正交函数族。构造

2mm2VmClosespan22tn; nZ

Vm; mZ; t是LR上的一个正交多分辨分析，这就是必生成LR的闭子空间，mZ。可以验证22Shannon的多分辨分析。事实上，这里的闭子空间Vm可以具体写成

Vmft; F0, 2m

mZ，即Vm由那些截止频率不超过2m的能量有限的信号组成。

这时，双尺度方程可由Shannon插值公式表示为

n211 t22t2n12t2nZ2n1故系数列hn;nZ为

1n n0sin122hn 0 n2k,k0 2n21k n2k122k1因此，构造方程的系数gn;nZ可写成

gn1k1h1n1 n1 2 0 n2k,k0 2k1 n2k112k

由构造方程得到相应的正交小波函数t为

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11sin2tsint11222t2t t122t2

在构造过程中涉及到的低通滤波器是



高通滤波器是

1he2nnZin1 02 0 20 2 eiei 2

相应的矩阵





也是酉矩阵。

为了得到正交小波函数t，利用频域计算比较方便。实际上，正交小波函数t的频域形式可写成

22 iiie21e2e2222ei2于是，利用Fourier变换的性质可得

11t22t2t2

它和前面的Shannon小波函数相比较，只是在时间轴上有半个单位的移动。但是，它们是完全不同的两个Shannon小波。因为，它们生成空间LR的两个正交小波基是没有相同基函数的。

242.说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；

⑴ 直接说明Haar小波是正交小波

Haar小波是法国数学家A.Haar在二十世纪三十年代给出的。具体定义是

 1 0x0.5hx1 0.5x1

0 x0,1第13页，共55页

 2j 2-jkx2-jk2j1hj,kx2j 2-jk2j1x2-jk1

 0 x2-jk , 2-jk1对任意(j1,k1),(j2,k2)，有

hj1,k1,hj2,k2(j1j2)(k1k2)

以j1j20;k10,k21j1j2,j10,j21;k1k20为例进行验证，如下图所示

2,0t1/4h0,0(t)h(t),h0,1(t)h(t1),h1,0(t)2h(2t)2,1/4t1/2

0,其它h0,0(t),h0,1(t)h(t)h(t1)dt0h0,0(t),h1,0(t)h(t)h1,0(t)dt0

即，函数族

jj2hj,kx2h2xk ; j,kZZ 构成函数空间L2R的标准正交基，所以，Haar函数h(x)是正交小波，称为Haar小波。

⑵定义函数t:

0 t  0, 1t

t0, 11 它是0, 1的特征函数，构造

mVmClosespan222mtn; nZ

Vm; mZ; t是LR上的一个正交多分辨分析，这就是生成LR的闭子空间，mZ。容易验证，22Haar的多分辨分析。实际上，这里的闭子空间Vm具有如下的具体表表达形式

Vmht; hthk, 2mkt2mk1, kZ,hkkZ即Vm由能量有限的台阶函数组成，这些台阶函数的跳跃点至多出现在2因为函数族

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m2

k这样的点上，其中k是任意整数。

tk;kZ

是标准正交系，从而它必是V0的标准正交基。这时，双尺度方程是

11t22t2t1

22因此，h0h1111,g1，所以，g0，这样得到如下构造方程 22211t22t2t1

22t是一个正交小波，容易看出，她与前面的Haar小波函数相差一个符号。构造过程中相应的低通滤波器是

高通滤波器是

11ei 2ei而且

11ei 211eii21e是酉矩阵

1ei i1e*

43.从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？

答：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。

44.简述基于卡尔曼滤波理论的方法。 答： 为使自适应滤波器能工作在工作在平稳或非平稳的环境，可以借助于卡尔曼滤波器来推导自适应滤波算法。卡尔曼滤波是线性无偏最小方差递推滤波，估计性能是最优的，且递推计算形式又能适应实时处理的需要对于一个线性动态系统的卡尔曼滤波问题，可以用状态方程和测量方程来描述，前者以状态矢量刻画系统的动态，后者描述系统中的测量误差。

假设研究离散线性动态系统的N维参数的状态矢量为x(n)，M维观察数据的测量矢量为y(n)，通常矢量x(n)和

y(n)都是随机变量，由他们表示系统模型的状态方程和测量分别为

X(n1)(n1,n)x(n)v1(n) （1）

Y(n)C(n)x(n)v2(n) （2）

其中(n1,n)为系统在n1和n时刻的NN状态转移矩阵，C(n)为已知的NM测量矩阵 系统动态噪声v1(n)和观察噪声v2(n)的统计特性为

E[v1(n)]0， cov(v1(n),v1(k))E[v1(n)v1H(k)]Q1(n)nk （3）

H(k)]Q2(n)nk （4） E[v2(n)]0， cov(v2(n),v2(k))E[v2(n)v2H cov(v1(n),v2(n))E[v2(n)v2(k)]0 （5）

“H”表示共轭转置；当n=k，=1，当n≠k，

=0；噪声矢量v1(n)和v2(n)统计独立的。根据观察数据的测

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量矢量y(1),y(2),…y(n)，可求出系统状态x(i)的线性无偏最小方差估计。当in时，这种最佳估计问题成

为卡尔曼滤波；当in时，则称为最优预测；两者之间存在密切的关系。 45.什么叫白噪声?

答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大。

46.若{X(t),tT}为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数RX()具有那些常用性质？RX()在计算其功率谱SX()时有什么作用？ 答：（1）RX()具有如下常用性质： （a）RX(0)0;

（b）RX()=RX()，RX()是实偶函数； （c）|RX()|RX(0)；

（d）若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(tT)，则RX()RX(T)；

（e）若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当||时，X(t)与X(t)相互独立，则

||

limRX()mXmX。

___（2）若|RX()|d，根据辛钦—维纳定理

1SX()RX()ed RX()=

2自相关函数RX()和功率谱SX()是一对傅里叶变换对。

jjS()ed X47.什么叫白噪声?

答: 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大。 48.简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。

信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。

功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。

49.在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ采样，然后对采到的N个抽样做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ能有一根谱线，于是他用8KHZ采样，对采到的2N个样点做2N点DFT。问：他的目的能达到吗？

答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。

提高采样频率fs ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率2总是对应模拟频率fs 。采样频率由fs到2fs 增加一倍，N也增加一倍，但模拟频率的采样间隔率的分辨率(2fsfs100Hz 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频2NN22) ，不能提高模拟频率的分辨率。 N2N

50.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？

解：在A/D 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。

在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。

51.什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？

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答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。

52.已知LTI系统的传输函数为h（t），输入是实平稳随机过程X（t），输出是Y（t），求RX()、RY()和h(t)三者间的关系？

解：平稳随机过程经过LTI系统输出还是平稳随机过程，所以

RY()E[Y(t)Y(t)]E[X(tu)h(u)duX(tv)h(v)dv]E[X(tu)X(tv)]h(u)h(v)dudv RX(uv)h(u)h(v)dudvRX()h()h()其中是卷积运算。

52.常用的自适应滤波理论与算法有哪些？

从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。

常用的自适应滤波理论与算法有： （1）、基于维纳滤波理论的方法。 （2）、基于卡尔曼滤波理论的方法。 （3）、基于最小均方误差准则的方法。 （4）、基于最小二乘准则的方法。

53.简述自适应信号处理技术的应用

自适应滤波处理技术可以用来检测平稳的和非平稳的随机信号。常应用于：

（1）、自适应滤波与逆滤波。 （2）、系统辨识。 （3）、自适应均衡。 （4）、自适应回波抵消。 （5）、自适应噪声抵消与谱线增强。 （6）、自适应谱估计。 （7）、自适应波束形成。 （8）、自适应神经智能信息处理。 （9）、盲自适应信号处理。 54.自适应滤波器的特点及应用范围

答：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。 55.卡尔曼滤波和维纳滤波的关系及存在的问题。

答：卡尔曼滤波有一个过渡过程，而在稳态下与维纳滤波有相同的结果，是因为它们都是以最小均方误差为准则的线性估计器。卡尔曼滤波与维纳滤波中解决最佳滤波的方法也不相同。维纳滤波是用频域及传递函数的方法，而卡尔曼滤波是用时域及状态变量的方法，在理论上是维纳滤波的推广和发展，特别是在处理多变量系统，时变线性系统及非线性系统的最佳滤波等领域，提供了一种比较有效的方法，克服了基于频域处理所遇到的困难。困难包括：维纳滤波要求平稳，而卡尔曼滤波则不要求；他容许初始时间不是负无穷大，这在很多情况下是有实际意义的；卡尔曼滤波的另一个不同点是把状态或信号过程的产生看成是白噪声激励有限维数系统的输

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出；此外，维纳滤波要求过程的自相关函数和互关函数的简单(先验)知识，而卡尔曼滤波则要求时域中状态变量及信号产生过程的详细知识。卡尔曼滤波在时域上采用线性递推形式对观测值进行处理，能实时地给出系统状态的最优估计，并突破了单维输入和输出的限制。卡尔曼滤波算法的这些优点使它在信号和信息系统中得到了比较广泛的应用。卡尔曼滤波算法在具体应用中也存在一些实际问题，包括： （1）模型误差和数值发散。

即使能够获得精确的模型，也常会因精确模型太复杂，维数过高而与实时处理必须减少计算量及尽量简化模型的要求相矛盾。近似或化简的模型与精确模型之间存在误差，模型误差必然会给滤波带来影响，严重时还会造成滤波结果不收敛。

2）实时要求。

影响卡尔曼滤波算法的实时性主要是状态维数n和增益矩阵的计算，它们往往有很大的计算量。一般在计算中采取某些措施，例如应用定常系统新算法或在精度损失允许的情况下尽量减少维数等到措施，从而减少计算量以满足实时滤波的要求。

56.卡尔曼滤波的特点

卡尔曼滤波具有以下的特点：

答：(1) 算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。

(2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的， 即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。

(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。 57.关于维纳滤波器的两个主要结论是什么？

①维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：（1）输入向量u(n)的自相关矩阵R；（2）输入向量

u(n)与期望响应d(n)的互相关向量。

②维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。

58.分别解释“滤波”和“预测”。

ˆ（n）称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号y(n)=sˆ(nN) ,N≥0,称为预测。 的信号y(n)s

59.介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。 解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，它的解形式是状态变量值。 维纳滤波只适用于平稳随机过程，卡尔曼滤波就没有这个限制。设计维纳滤波器要求已知信号与噪声的相关函数，设计卡尔曼滤波要求已知状态方程和量测方程。 60.BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。 答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。 （2）此方法的具体步骤是：

①给出观察序列x(0),x(1),...,x(N1)，估计出自相关函数：

ˆ(m)1RNN1mx(n)x(nm)，N1mN1n0jm

②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：

ˆ()SmMˆ(m)(m)eRM

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式中，一般取

mN1(m)，为一个窗函数，通常可取矩形窗。

可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。

61.对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。 答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容： 连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

1Rx()Sx()ejdSx()Rx()edF(Rx())2

(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：

离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

jSx(e)jmRx(m)ejm

Rx(m)12Sx(ej)ejmd

62.AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 答：（1）AR谱估计的基本原理是：p阶的AR模型表示为：x(n) 其自相关函数满足以下YW方程：

取m0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程：

x(ni)u(n)

ii1pRx(1)Rx(0)R(1)Rx(0)xRx(p)Rx(p1)Rx(p)12Rx(p1)10Rx(0)0pˆ(m)，再利用以上矩阵方程，直接求出 在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx参数1,2,...,p及，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。

63.已知信号模型为s（n）=s(n-1)+w(n),测量模型为x(n)=s(n)+v(n),这里w(n)和v(n)都是均值为零的白噪声，其

方差分别为0.5和1，v(n)与s(n)和w(n)都不相关。现设计一因果IIR维纳滤波器处理x(n)，以得到对s(n)的最佳估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。

解：根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。将它们代入Ricatti方程Q=P－a2RP/(R+c2P) 得 0.5=P－P/(1+P)

解此方程得P=1或P=-0.5，取正解P=1。

再计算维纳增益G和参数f:G=cp/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 f=Ra/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 故得因果IIR维纳滤波器的传输函数和差分方程分别如下： Hc(z)=G/(1－fz-1)=0.5/(1－0.5z-1) （n）=0.5

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2(n-1)+0.5x(n)

64.简述AR模型功率谱估计步骤。

步骤1：根据N点的观测数据uN（n）估计自相关函数，得

ru(m)，m=0,1,2,…,p, 即

^

步骤2：用p+1个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin算法），

1ru(m)N^un0N1*(n)uN(nm)N求解Yule-Walker方程式，得到p阶AR模型参数的估计值

a1,a2,ap 和^^^^^2p

步骤3：将上述参数代入AR（p）的功率表达式中，得到功率谱估计

^SAR(w) ，即

SAR(w)p^2^p|1akejwk|2

65.白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。 答：设Xt,＜t＜为实值平稳过程，若它的均值为零，

在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；

在频域中，谱函数在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。 66.简述AR模型功率谱估计的方法

答：（1）根据N点的观测数据uN(n)估计自相关函数，得ru(m),m0,1,2,k1,p，即

1ru(m)Nui0N1N(n)u*(nm) N（2）用p1个自相关函数的估计值ru(m)，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin算

法），求解Yule-Walker方程

ru(1)ru(0)ru(0)ru(1)ru(p)ru(p1) 得到p阶AR模型的参数估计值a1,a2,ru(p)12ru(p1)a10 0aru(0)p2p,ap和。

（3）将上述参数带入AR（p）的功率谱表达式中，得到功率谱估计式SAR(w)，即

SAR(w)2p|1akejwk|2k1p

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67.简述LMS算法

答：（1）初始化，n0 权向量：w(0)0 估计误差：e(0)d(0)d(0)d(0)

输入向量：u(0)u(0) （2）对n0,1,u(1)u(M1)u(0)0T0

权向量的更新：w(n1)w(n)u(n)e*(n)

H期望信号的估计：d(n1)w(n1)u(n1) 估计误差：e(n1)d(n1)d(n1)

（3）令nn+1，转到（2）

三、计算题

1.已知某离散时间系统的差分方程为

y(n)3y(n1)2y(n2)x(n)2x(n1)

系统初始状态为y(1)1，y(2)2，系统激励为x(n)(3)nu(n)， 试求：（1）系统函数H(z)，系统频率响应H(ej)。

（2）系统的零输入响应yzi(n)、零状态响应yzs(n)和全响应y(n)。

解：（1）系统函数为H(z)系统频率响应H(e12z113z12z2z22zz3z22

je2j3ej2解一：（2）对差分方程两端同时作z变换得

)H(z)zeje2j2ejY(z)3z1[Y(z)y(1)z]2z2[Y(z)y(1)zy(2)z2]X(z)2z1X(z) 即：Y(z)3y(1)2z1y(1)2y(2)1213z2z13z2z上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响应的z域表示式，将初始状态及激励的z变换X(z)z代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式分别为 z3(12z1)12X(z)

Yzi(z)12z113z12z212z1z22zz23z2

zz22zz Yzs(z)12z32z313z2zz3z2将Yzi(z),Yzs(z)展开成部分分式之和，得

Yzi(z)z234 2zz1z2z3z2315Yzs(z)z2z18222 zz3z2z3z1z2z32315zz3z4z8z22即 Yzi(z) Yzs(z) z1z2z1z2z3第21页，共55页

对上两式分别取z反变换，得零输入响应、零状态响应分别为

yzi(k)[34(2)k](k)

315yzs(k)[8(2)k(3)k](k)

22故系统全响应为

915y(k)yzi(k)yzs(k)[12(2)k(3)k](k)

22解二、（2）系统特征方程为2320，特征根为：11，22； 故系统零输入响应形式为 yzi(k)c1c2(2)k

将初始条件y(1)1，y(2)2带入上式得

1y(1)cc()1zi122 解之得 c13，c24， 1y(2)cc()2zi124故系统零输入响应为： yzi(k)34(2)k k0 系统零状态响应为

Yzs(z)H(z)X(z)212z113z12z2zz22zz 2z3z3z2z3315Yzs(z)z2z18222 zz3z2z3z1z2z3315zz8z22即 Yzs(z)

z1z2z3315对上式取z反变换，得零状态响应为 yzs(k)[8(2)k(3)k](k)

22故系统全响应为

915y(k)yzi(k)yzs(k)[12(2)k(3)k](k)

222.回答以下问题：

（1） 画出按时域抽取N4点基2FFT的信号流图。

（2） 利用流图计算4点序列x(n)(2,1,3,4)（n0,1,2,3）的DFT。 （3） 试写出利用FFT计算IFFT的步骤。 解：（1）

x(0)x(2)x(1)x(3)Q0(0)Q0(1)1Q(0)Q1(1)11X(0)j1jX(1)X(2)X(3)

r01k0W20W2011W20W2lk010W40W4011W40W42W40W423W40W43

第22页，共55页

4点按时间抽取FFT流图 加权系数 Q0(0)x(0)x(2)235 （2） 

Q(1)x(0)x(2)2110Q1(0)x(1)x(3)145 Q(1)x(1)x(3)14311Q1(1)1j3 X(0)Q0(0)Q1(0)5510 X(1)Q0(1)W4X(2)Q0(0)W42Q1(0)550 X(3)Q0(1)W43Q1(1)13j

即： X(k)(10,13j,0,13j),k0,1,2,3 （3）1）对X(k)取共轭，得X(k)； 2）对X(k)做N点FFT； 3）对2）中结果取共轭并除以N。

3.已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为

Ha(s)1 2s1.414s1试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB截止频率为c0.5rad，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设T解：（1）预畸

c1）

220.5arctan(c)arctan()2 T2T21ss()21.414()1224s22.828s4 （2）反归一划

H(s)Ha(s)s（3） 双线性变换得数字滤波器

sc

H(z)H(s)s21z1T1z14s2.828s4s221z11z14(2

1z1z12)2.828211z1z11

413.6562.344z2（4）用正准型结构实现

4(12z1z2)0.2929(12z1z2)10.1716z21z1x(n)1210.2929y(n)z10.1716

3. 设有两个线性时不变系统如图所示，它们的频率响应函数分别为H1()和H2()。若两个系统输入同一个

均值为零的平稳过程X(t)，它们的输出分别为Y1()、Y2()。问如何设计H1()和H2()才能使Y1()、

Y2()互不相关。

H1() 第23页，共页 Y551(t)

解：

-H2() Y2(t) E[Y1(t)]h1(tu)E[X(t)]du0,E[Y2(t)]h2(tv)E[X(t)]dv0;

-E[Y1(t1)Y2(t2)]RY1Y2()其中t1t2，上式表明Y1(t)与Y2(t)的互相关函数只是时间函数的函数。由

sY1Y2()RY1Y2()eidH1()H2()sX()



故当设计两个系统的频率响应函数的振幅频率特性没有重叠时，则sY1Y2()=0，从而有RY1Y2()=0=BY1Y2()，即

Y1(t)与Y2(t)互不相关。

ˆa(t)和时4.已知xa(t)2cos(2f0t)式中f0=100HZ,以采样频率fs=400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号x域离散信号x(n)，试完成下面各题：

（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2）写出xa(t)和x(n)的表达式；

（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)的傅里叶变换。 解：（1）

Xa(j)xa(t)ejtdt2cos(0t)ejtdt

(ej0tej0t)ejtdt上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数

Xa(j)2[(0)(0)] （2）

函数，它的傅里叶变换可以表示成：

ˆa(t)xnx(t)(tnT)2cos(nT)(tnT)a0n

x(n)2cos(0nT),n

5.用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F50Hz，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数： （1）最小记录时间Tpmin （2）最大取样时间Tmax （3）最少采样点数Nmin

（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N值。 解：（1）已知F50Hz

第24页，共55页

110.02s F501110.5ms （2） Tmax3fsmin2fmax210Tp0.02s40 （3） NminT0.5103s（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实频率分辩率提高1倍（F变成原来的12）

Tp0.04sNmin80

T0.5103s

Tpmin

1a2,0a1，分析其因果性和稳定性。 6.已知H(z)1(1az)(1az)解： H(z)的极点为za,za1，

（1） 收敛域a1z，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位

脉冲响应h(n)(anan)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。

（2）收敛域0za，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)(anan)u(n1)，这是一个非因果且不收敛的序列。

（3）收敛域aza1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)an，这是一个收敛的双边序列。

7.长度为N=10的两个有限长序列

1,0n41,0n4 x1(n)x2(n)0,5n91,5n9作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)(圆周卷积)，循环卷积区间长度L=10。 解：x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示

第25页，共55页

j8.若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部为HR(e)1cos()，求序列的h(n)及其傅里叶变换

H(ej) 。

1j1jFT[he(n)]he(n)ejn 解：HR(e)1cos()1ee22n12,n1he(n)1,n0

1,n120,n01,n0h(n)he(n),n01,n1

2h(n),n00,othernejH(e)h(n)ejn1ej2ej/2cos

2n9.如图所示的RC电路，若输入电压的功率谱密度为X（），求输出电压的功率谱密度 Y（）。

j第26页，共55页

R

X() C Y() 解：RC电路系统的频率响应函数为

H（） =

1jC1 = 1jRC1RjC1

(RC)21 H（）2=

由线性系统的输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得：

2X()Y（） = H（）* X（）= 2(RC)1

10.设X(t)为一随机电报信号，其样本函数如图1所示，取+1，-1概率相等，在时间间隔内波形变号次数服从参数为的泊松分布，即：

()np(n,)e

n!求X(t)的自相关函数。

X(t) 1 0 t -1

解：Rx(t,t)E[x(t)x(t)]

在时间间隔内X(t)可能变号偶次，X(t)，X(t)将同时取+1或-1，若变号奇次，X(t)，X(t)将异号。

当0时，

RX(t,t)P[X(t)X(t)](1)P[X(t)X(t)]

P[X(t)X(t)]P[n为偶数]

et()n()2kt(n为偶数)eetch() n!n0k0(2k)!第27页，共55页

P[X(t)X(t)]P[n为奇数]

（2k1）()etsh() ek0(2k1)!RX(t,t)ech()esh()

t e 显然当0时，

2RX(t,t)e2

RX(t,t)e2||

11.设X(t)Acos(t)，其中A和是相互独立的随机变量，在（0，2）均匀分布，试讨论X(t)的平稳性和各态历经性。

E[X(t)]E[Acos(t)]解：

E[AcostcosAsintsim]0E[X(t)]E[Acos(t1)Acos(t2)]E[A2]E[Acos(t1t2)cos((t1t2)2)]

2E[A2]cosw(t1t2)RX()2所以，X(t)是广义平稳过程。 __1T1TXlim(t)dtlimAcos(t)dt0E[X(t)] TT2T2TTT因此，X(t)具有均值各态历经性。

1X(t)X(t)lim2T________________TTTX(t)X(t)dt1lim2TTTTAcos(t)Acos((t))dtA[costcos(2t2)]dt22

1lim2TTTTA2cosw(t1t2)RX()2因此，X(t)不具有自相关函数各态历经性。

12.从最速下降法出发：

Wj1Wjj 其中，Wj1

是第j+1个抽样时刻的滤波器权矢量，

 控制收敛稳定性和速率， 是误差-性能曲面的真实

梯度，推导自适应噪声消除的 Widrow-Hopf 的LMS算法。 解：

梯度矢量▽，初级输入与刺激输入的互相关P以及初级输入的自相关R之间的关系为： =2P+2RW

在LMS算法中，使用的瞬时估计，则有 j =-2Pj+2RjWj=-2Xjyj+2XjXjTWj (1)

第28页，共55页

=-2Xj(yjXjWj)2ejXj

其中 ejyjXjWj

用（1）式替换最速下降法的梯度，我们得到基本的Widrow-Hopf 的LMS算法： Wj1Wj2ejXj 其中

Tej=yTWjjXj

13.已知输入信号向量U(n)的相关矩阵R及期望响应信号d(n)的互相关向量P分别为

21T ， P=5 4122且已知期望响应d(n)的平均功率为 E{d(n)}=30

R=(1) 计算维纳滤波的最优权向量； (2) 推导误差性能面的表达式； (3) 计算最小均方误差。 答案：（1）由RW0P0可得

21152W0RP==

1241 （2）假设在n时刻，输入信号为u(n)，横向滤波器输出信号

1ˆ(n)wHu(n)uT(n)w*, dˆ(n) e(n)d(n)dJ(w)E{e(n)e*(n)}E{[d(n)wHu(n)][d(n)uT(n)w*]*}E{d(n)}E{d(n)uH(n)}wwHE{u(n)d*(n)}wHE{u(n)uH(n)}w

22dpHwwHpwHRw（3）把W0代入J(w)得：

J(w0)pw03052dH2416 114.两个联合平稳信号X(t)和Y(t)的互相关函数为：

RXY()e2cosw0•i()

其中i()为单位阶跃函数。求互功率谱密度SXY()和SYX()。 解：直接查傅氏变换表，得

SXY()F[e2cosw0•i()]利用互谱密度的性质有 SXY()= SXY()=

2j 22(2j)02j 22(2j)0

15.观测信号为y(k)s(k)e(k),其中有信号是s(k)为恒量平稳序列，其统计特征已求得为

E[s(k)]0 22E[s(k)]s 噪声e(k)是零均值白噪声，且与有用信号不相关，即

第29页，共55页

E[e(k)]02 E[e(i)e(j)]e(ij)

E[e(k)s(k)]0求维纳滤波器？

解：观测y(k)的自相关函数为

Rys(m)E{[s(k)e(k)]s(km)}E{[s(k)e(k)][s(km)e(km)}E{s(k)s(km)s(k)e(km)e(k)s(km)e(k)e(km)}s22(m)观测有y(k)与有用信号之间的互相关函数为：

Rys(m)E{[s(k)e(k)]s(km)}E{s(k)s(km)e(k)s(km)}s2]

则维纳-霍甫方程式为：

s2e2 s2222sse2s2s由此得维纳滤波器为：

h(0)s22h(10s 2222 sesss2s2s2 h(0)h(1)...h(N1)Ns2e2故滤波输出为：

s2ˆ(k)h(m)y(km)sNs2e2m0N1m0y(km)N11N2e2sm0y(km)

N1

16.平稳信号s(k)形成的滤波器为 s(k)0.6s(k1)v(k)

其中v(k)为方差为0.64的零均值白噪声。观测信号为

y(k)s(k)e(k)

其中e(k)是零均值单位（即方差为1）白噪声。求维纳滤波器（其脉冲响应序列的项数指定为2）。 解：由s(k)的形成滤波器得其频率特性为

1Hvs(ejwT)

10.6z1zejwTs(k)的功率谱密度为：

Ss(w)Sv(w)Hvs(ejwT)20.6410.6z110.6z

zejwT上式的收敛域必是包括z平面单位圆在内的环域，因为只有这样谱密度才存在。则s(k)的自相关函数为上式的傅氏反变换即双边z反变换：

0.64z0.6z1 Rs(m)F[Sv(w)]ZZ1z0.610.6z10.6z10.6z11容易验证，符合上述收敛域的原函数为

mRs(m){,0.62,0.6,0,0.6,0.62,}0.6

z2其中右边序列{,0.6,0.6,}的z变换成。y(k)的自相关函数为

z0.6第30页，共55页

Ry(m)E[y(k)y(km)]E{[s(k)e(k)][s(km)e(km)]}2,m0Rs(m)Re(m)0.6,m1另外，y(k)与s(k)的互相关函数为

defdef

1,m0 Rys(m)E[y(k)s(km)]E{[s(k)s(km)]E[e(k)s(km)]Rs(m)0.6,m1当维纳滤波器的脉冲响应序列为2项时，维纳-霍夫方程式为

Ry(0)Ry(1)h(0)Rys(0)R(1) R(1)R(0)yyh(1)ys把算得的相关函数代入上式，得

20.6h(0)1 0.62h(1)0.6h(0)0.451,h(1)0.165这就是维纳滤波器的脉冲响应函数。

17.设观测量y(k)由有用信号s(k)和与s(k)不相关的零均值白噪声e(k)相加而成，即 y(k)s(k)e(k)

且已估计出它们的相关函数分别为

Rs(m)0.8,Re(m)0.45(m)（m…，-1，0，1…）

求非因果维纳滤波器的频率特性。 解：

mSe(z)ZRe(m)Z[0.45(m)]0.45z00.45Ss(z)Z[0.8]又有

mm10.8mzm0.8mzmm0

0.810.36,(0.8z1/0.8)1110.8z10.8z10.8z10.8zRys(m)E[y(k)s(km)]E{[s(k)v(k)]s(km)}E[s(k)s(km)]Rs(m)

故有

Sys(z)Z[Rys(m)]0.36 1(10.8z)(10.8z)最后可得，非因果维纳滤波器的频率特性为

0.3610.8z10.8z1jwTH(e)0.360.45110.8z10.8zzejwT0.360.360.4510.8z10.8z1

zjwT

18.令x(t)是一个是不变的标量随机变量，它在加性高斯白噪声v(t)中被观测，即y(t)=x(t)+v(t)为观测数据，若用kalman滤波器自适应估计x(t)，试设计kalman滤波器。 （1）构造离散时间的状态空间方程 （2）求出状态变量想x(k)的更新公式。

解：x(t)是一个时不变的随机变量，故x(t)关于时间t的一阶导数等于0，即有x=0 这就是连续时间的状态方程。观测方程为y(t)=x(t)+v(t)

第31页，共55页

.

2令x(t)是一个具有均值x0、方差p0的随机变量，记做x~（x0，p0）;加性观测噪声v(t)的均值为0，方差为v，

__记做v(t)~（0，v）。现在，用T=1作为采样间隔，对x(t)和v(t)等离散化，则离散时间的状态空间模型： x(n+1)=x(n) y(n)=x(n)+v(n)

2式中，加性观测噪声v(n)~N（0，v）. 上述状态空间模型的kalman滤波算法如下： g(n)=

2K(n,n1)

K(n,n1)v22x(n+1)=x(n)+g(n)[y(n)-x(n)]

K(n+1,n)=K(n,n-1)[1-g(n)]=g(n)v g(n)的一般表达式：

2由于K(1,0)=E{|x(1)—E{x(1)}|}=p0故当n=1时有

g(1)=

p0K(1,0)

K(1,0)v2p0v22K(2,1)=g(1)v 当n=2时，则有g(2)=K(3,2)=g(2)v=n=3时，有 g(3)=

K(4,3)=g(3)若令

g(n-1)=

2p0K(2,1)=

K(2,1)v22p0v2p02 v22p0vk(3,2)k(3,2)v22=

p2023pv0

v=

pv3pv002

p(n1)pv0022

2pvK(n,n-1)=g(n-1)=

v(n1)pv002

则

g(n)=

kn,n1k(n,n1)v2pvpvk(n+1,n)=g(n)=

vnpvn020202=

p02

19.已经信号的四个观察数据为x(n){x(0),x(1),x(2),x(3)}{3,6,4,2}分别用自相关法和协方差法估计AR

第32页，共55页

（1）模型参数。 解：自相关法：

142e(n) e(n)x(n)a11x(n1)

4n014e(n)14e(n)e(n)x(n1)0a112n0a112n03(63a11)6(46a11)4(24a11)4a110 a111013协方差法：

1N11322e(n)e(n),e(n)x(n)a11x(n1)Npnp3n123e(n)23e(n)e(n)x(n1)0a113n1a113n1a11

20.假定{x(n)}是一个满足差分方程式

5061x(n)a1x(n1)apx(np)e(n),e(n)~WN(0,2)的AR（p）过程，且该过程是在一与x(n)独立

2的加性观测白噪声v(n)中观测的，即y(n)x(n)v(n)，其中{v(n)}的方差为v，求{y(n)}的功率谱。 解：由已知差分方程式可得{x(n)}的谱密度

x()21a1ejapejp22A(z)2zej

当x(n)与v(n)互相独立时，Ry()Rx()Rv() 故{y(n)}的功率谱y()x()v()

所以y()

2A(z)2zejv2

第33页，共55页

21.已知下图中x(n)=s(n)+w(n)，且与统计独立，其中的自相关序列为Rss(m)＝0.6位白噪声，试设计一个N＝2的维纳滤波器来估计s(n)，并求最小均方误差。 x(n)=s(n)+w(n) ˆ(n) Y(n)s h(n)

维纳滤波的输入和输出的关系

解：依题意，已知信号的自相关和噪声的自相关为：

|m|，w(n)是方差为1的单

R0.6，Rww(m)=δ(w),代入ss(m)＝

|m|Rss(j)hopt(m)[Rss(jm)Ruw(jm)],j0,1,2,...N1,得

N1

m0j0,12h(o)0.6h(1)j1,0.60.6h(0)2h(1)

解得：h(0)=0.451,h(1)=0.165 将上式结果代入式E E

e(n)21M0min=

Rss(0)-hopt(m)Rss(m) ,求得最小均方误差：

m0N1e(n)2min=

Rss(0)-h(m)Rss（m）=1-h(0)-0.6h(1)=0.45

22.某独立观测序列

x1,x2,,xN,N其均值为m，方差为。现有两种估计算法：

2

1ˆ1mN算法A：均值估计为1Nˆ2xnmxnN1n1 n1，算法B：均值估计为

N请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。

1ˆ1mN答：算法A：均值估计为1ˆ1)E(mNNxn1n，则

1ˆmmD(m)1N2n1，

D(Xn)n1N12ˆ1N， 均值估计m是无偏估计

1E()N^2EXn1N2nm22m2m22

23.假定输入信号{x(t)}是一个零均值的高斯白噪声，其功率谱为Px(f)N0，且线性系统的冲激响应为

et,t0 h(t)0,else求输出y(t)=x(t)*h(t)的功率谱及协方差函数。 解：由题知，系统的传递函数为

j2ftH(f)h(t)edtetej2ftdt01

1j2f

有此得H(f)2H(f)H(f)1111j2f1j2f142f第34页，共55页

2

由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系，得

Py(f)H(f)Px(f)2N0

142f2输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换，故有

Cy()Px(f)ej2fdfN0N0j2fedfe 2221j4f24.已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及数学期望响应信号d(n)的互相关向量分别为

21TR, p[54]12

且已知期望相应d(n)的平均功率为E{d2(n)}=30。 （1）计算维纳滤波器的权向量。

（2）计算误差性能面的表达式和最小均方误差。 解：（1）根据维纳霍夫方程Rω0=p 得 ω0=R-1p

（2）误差性能面的表达式为J（ω）=σ2d-pHω-ωHp+ωHRω

最小均方误差值为将ω0代入上面的误差性能面表达式得 Jmin=σ2d-pHω-ωHp+ωHRω =σ2d-pHω0 =30-14=16。

21s(n)sin25.在测试某正弦信号

n的过程中叠加有白噪声v(n)，即测试结果为

x(n)sin4nv(n)

设计一个长为N=4的有限冲激响应滤波器，对x(n)进行滤波后得到s’(n)，它与s(n)的误差的均方值最小，求该滤波器的冲激响应和估计误差的平均功率。

s(n)sin解：已知

n2，v(n)是方程差为的白噪声,x(n)s(n)v(n).v4

设h(n)[h(0),h(1),h(2),h(3)],x(n)[x(n),x(n1),x(n2),x(n3)]

RE[x(n)xT(n)]E[s(n)sT(n)]E[v(n)vT(n)]E[s(n)sT(n)]vIPE[s(n)sT(n)]E[s(n)s(n),s(n)s(n1),s(n)s(n2),s(n)s(n3)]T

2

h(n)RP112v1[sin2(2n(n1)n1n(n3)n),sinsin,sin,sinsin]4442244取

n3，则h(n)111[,,,0]22222v

第35页，共55页

26.设信号的自相关序列为观测信号为

Rssm0.8,m0,1,2,m

xnsnn式中

n是方差为0.45的零均值白噪声，它与

sn相互统计独立。试设计一

个长为N=3的FIR滤波器来处理解：

xn，使其输出

sn与

sn的差的均方值最小。

TPEsnxnEsnsnn,sn1n1,sn2n2

Esnsn,snsn1,snsn2R0,R1,R2TT

TRExnxnsnn,sn1n1,sn2n2Esnn,sn1n1,sn2n2 R0R1R22002R1R0R100R2R1R0002

已知

TRm0.8,20.45,m所以

hoptR1p0.5358,0.2057,0.0914

27.用观测数据（y(n),y(n-1)）自适应估计随机变量x(n).已知Ryy=[1 0.4;0.4 1],为保证收敛，µ的值应限制在什么

范围？若Ryy=[1 0.8;0.8 1],则自适应滤波器的收敛速度将会更快还是更慢？ 解：

(1)为保证收敛应使满足0tr[R]1tr[R]k21k01

即012 由于两Ryy的值相同，故自适应滤波器的收敛速度相同。(2)几何比(rmse)rk2(12k)228.已知u(n)满足AR(2)模型，即满足如下差分方程：

u(n)a1u(n1)a2u(n2)v(n)

其中v(n)是均值为零、方差为v的白噪声。试用自相关函数来表示系数a1、a2。 答：AR模型的正则方程式可以表示为ru(0)a1ru(1)apru(p)v 和

22第36页，共55页

ru(1)ru(0)r(1)ru(0)uru(p1)ru(p2)将p2带入上面两式为：

ru(p1)a1ru(1)aru(p2)r(2)2u aru(0)r(p)puru(0)a1ru(1)a2ru(2)v2

和

ru(0)ru(1)a1ru(1)r(1)r(0)ar(2)

uu2u可以解得

a1ru(1)ru(0)ru(2)

ru2(0)ru2(1)ru(0)ru(2)ru2(1) a2ru2(0)ru2(1)29.一个差分滤波器的输出为：y(n)=x(n)+x(n-1), n=1,2……

令x(n)的功率谱为1/(1+f2)，试求差分滤波器输出y(n)的功率谱密度。 解：由题意知，系统的传递函数H(z)=1+z-1,故

H(f)=H(z)|zej2f1ej2fPy(f)|H(f)|*Px(f)|1e2j2f1 |1f22所以系统输出y(t)的功率谱密度为：

Py(f)|H2(f)|*Px(f)|1ej2f|21 1f230.已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及与期望响应信号d(n)的互相关向量分别为

21R2T12，p[54]且已知期望响应d(n)的平均功率为E{d(n)}30。

（1） 计算维纳滤波器的权向量。

（2） 计算误差性能面的表达式和最小均方误差。

12152w0R1p12431 解：

J(w)d2pHwwHpwHRw

第37页，共55页

2Jmind2pHw030[54]161

31.离散时间的二阶AR过程由差分方程

x(n)a1x(n1)a2x(n2)w(n)2

描述，式中w(n)是一零均值、方差为w的白噪声。证明x(n)的功率谱为 Px(f)解：

w21a12a222a1(1a2)cos(2f)2a2cos(4f)

Px(f)由AR过程的功率谱公式知式中

2w21a1ej2fa2ej4f2（式1）

1a1ej2fa2ej4f==

(1a1ej2fa2ej4f)(1a1ej2fa2ej4f)1a12a22a2(ej4fej4f)a1a2ej2fa1a2ej2fa1(ej2fej2f) =

1a12a222a1(1a2)cos(2f)2a2cos(4f)（式2）

将（式2）代入（式1）中可得：

Px(f)证毕。

w21a12a222a1(1a2)cos(2f)2a2cos(4f)

32.设随机序列X(n),n0,1,2,，其中X(n)是两两互不相关的随机变量且E(X(n))0

D(X(n))2，序列{X(n)}被称作白噪声。验证白噪声序列是平稳序列。

解：显然均值函数为常数，当m0时，因为X(n)不相关，所以 RX(n,nm)E(X(n)X(nm))E(X(n))E(X(nm))0 当m0RX(n,n)E(X(n)X(n))D(X(n))[E(X(n))] 所以，RX(n,nm)只是时间差m的函数，序列是平稳的

33.若序列x(n)为实因果序列，h(0)=1，其傅氏变换的虚部为H1(ejω)=—sinω，求序列h(n)及其傅氏变换H(ejω)。

1h2jjωjωjω

解：因为H1(e)=—sinω=—( e—e-)=n0(n) e-jω

22第38页，共55页

1/201/2h0(n)=0h(n)2h(n)h(n)= 0n1n011n1 =-2δ(n+1)+2δ(n-1),

1n010n1 =n1n0n1其他n

所以 h(n)=δ(n)+δ(n-1); H(ejω)=1+ e-jω

四、综合题

1.设有一FIR数字滤波器，其单位冲激响应h(n)如图1所示：

h(n)21134120n

2图1

试求：（1）该系统的频率响应H(e（2）如果记H(e与()；

jj)；

)H()ej()，其中，H()为幅度函数（可以取负值），()为相位函数，试求H()（3）判断该线性相位FIR系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），说明你的判断依据。 （4）画出该FIR系统的线性相位型网络结构流图。 解：（1）h(n)(2,1,0,1,2)

H(ej)h(n)en04jnh(0)h(1)ejh(2)ej2h(3)ej3h(4)ej4

2ejej32ej42(1ej4)(ejej3)

2ej2(ej2ej2)ej2(ejej)ej2[4jsin(2)2jsin()]

（2）H(ej)ej2ej2[4sin(2)2sin()]j(2)e2[4sin(2)2sin()]

H()4sin(2)2sin()， ()（3）系统函数为H(z)系统频率响应H(ej22

12z113z12z2ez22zz23z23ej

)H(z)zeje2j2ej2j2第39页，共55页

（4）线性相位结构流图

七、低通滤波器

[x,B]=wavread(‘fb2.wav’); %读取病人心肺声音信号 F=B*(0:511)/1024; y=fft(x,1024); %频谱

fp=2*sqrt(y.*conj(y));%幅度谱 subplot(3,1,1);

plot(x); title('滤波前信号'); subplot(3,1,2);

plot(F,abs(y(1:512)));title('滤波前信号频谱'); axis([0,1000,0,inf]); subplot(3,1,3); plot(fp(1:257)); title('信号幅度谱');

滤波前信号0.10.050-0.05-0.100.511.5滤波前信号频谱222.5x 1035100100200300400500信号幅度谱60070080090010006420050100150200250300

[x,B]=wavread('fb2.wav'); Fs=2000;%采样频率

Fp1=10;%低通通带模拟截止频率 Fs1=100;%低通阻带模拟截止频率

ws1=2*Fs1/Fs;%模拟转变为数字域的截止频率 wp1=2*Fp1/Fs;

delta_w=ws1-wp1; %过渡带宽

N=ceil(10*pi/delta_w)+1;%最小阶数N window=kaiser(N+1)';%凯塞窗

Wn=(Fp1+Fs1)/Fs;%理想LPF的截止频率 [b,a]=fir1(N,Wn,window); [H,w]=freqz(b,1,512);

第40页，共55页

db=20*log10(abs(H)); t=(0:200)/Fs; subplot(3,1,1);

plot(w*Fs/(2*pi),db);title('滤波器'); Filterx=filter(b,a,x); subplot(3,1,2);

plot(Filterx);title('滤波后信号'); F=B*(0:511)/1024; y=fft(Filterx,1024); subplot(3,1,3);

plot(F,abs(y(1:512)));title('滤波后信号频谱'); axis([0,1000,0,inf]); 如上设计采样频率为2000Hz，通带截止频率为10Hz，阻带截止频率为200Hz的低通滤波器对原声音信号进行滤波

滤波器2000-20001002003004005006007008009001000滤波后信号0.050-0.0500.511.5滤波后信号频谱2100100200300400500600700800900100022.5x 1035

对比滤波前后信号频谱，可观察得到该滤波器成功滤除了大于100Hz的频率，但仍与理想情况有一定差距。 2.什么叫做数字滤波器？FIR和IIR的比较和各自的设计方案？

答：所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 FIR：有限脉冲响应滤波器 IIR：无限脉冲响应滤波器

★ IIR极点可存在与单位圆的任何地方,有较强的幅度选择性,但相位特性差。 FIR相位呈线性，但幅度特性需高阶才可调节的较好。 ★ FIR计算不产生振荡,误差影响小,可以采用FFT算法。

IIR有稳定问题，有限字长可能产生振荡，同阶递归算法速度受到限制。 ★ IIR可用模拟滤波器成果，得到有效的封闭式公式，设计工作量小，要求低。 FIR仅窗函数有公式，但无显式表达通、阻带，需要计算机辅助设计。 ★ IIR设计已规格化，频率特性为分段常数的滤波器。

FIR主要适应特殊应用，且高阶IIR不易达到指标的滤波器。 ＩＩＲ数字滤波器设计

第41页，共55页

★直接设计：

原型变换（由一低通经过频率变形设计低通、高通、带通、带阻等） 频域设计（零、极点配置；幅度平方函数）， 时域设计（帕德（Pade）逼近；波形形成）

★ 优化技术设计（依据一定的优化准则进行设计） ★

ＦＩＲ数字滤波器设计

★线性相位： 零点的镜像存在。 偶对称： 奇对称： ★窗函数（时域加权平均）：矩形，三角，余弦，布莱克曼(Blackman)系列，凯塞(Kaiser)系列，高斯 ★频率取样：在H(z)的单位圆上等分取样(是否带初相) ★优化技术设计：（依据一定的优化准则进行设计）

3.如图所示：

观测数据FFT 取模的平x(n) 方 1/N

（1）在描述随机信号的频率特性时为什么不用信号的傅里叶变换而改用功率谱估计？ （2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。

（3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系式说明上述框图所示方法的优点。

（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改进方法的名称。 解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率谱。

2.图中所示的是周期图法

ˆ(ej) Pxxˆ(ej)1PxxNx(n)en0N12jn

1ˆxx(m)3. rNNm1n0ˆ(ej)x(n)x(nm) PBT*mrˆxx(m)ejn

周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算。

4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作估计的观察数据只有有限

个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。

4.现代信号处理与传统的数字信号处理相比，一个最大的区别在于处理的信号是统计性的随机信号而不再是确定性信号，请回答下述问题：

（1）当研究宽平稳信号时，需要有各态历经性的理论基础来支撑，请对该性质加以论述。

答：若独立同分布的随机变量序列Xn,n1,2,为一个随机过程，其均值为mEXn，方差为

2DXn,n1,2,，则由大数定律可知

第42页，共55页

1limPNNXm1 kk1N大数定律表明，随时间n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态。随机过程的这种特性叫做各态历经性。

（2）白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。 答：

设Xt,t为实值平稳过程，若它的均值为零，

在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0； 在频域中，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。

（3）为了便于分析和设计，白化滤波器被提了出来，请从其作用和应用两个方面对其加以阐述。 答：

白化滤波器的作用是将一个有色噪声转化为白噪声。 其应用举例可从广义匹配滤波器 或者 ARMA模型出发来举。

（4）滤波器设计中的恒Q特性是什么？在信号处理分析中有什么特点？ 答：

Q 值（品质因数）定义：Q＝带宽/中心频率 0/a/0Q

0/a在小波变换中，小波基函数ψ(t) 的 Q 值：Q/0；ψ(t/a) 的 Q 值保持不变：不论 a 为何值 (a>0)， ψ(t/a) 始终和ψ(t) 具有相同的品质因数 Q。

由于恒 Q 性质，因此在不同尺度下，小波变换可以提供在时、频平面上长度可调的分析窗口。

（5）对频率随时间变化的信号，如果采用传统的DFT变换进行分析，将无法反映出频变特性。请给出一种合理的方法对其进行处理，并评价该方法的优劣。 答：

只要能提出一种时频联合分析的方法即可。如STFT、Gabor变换、小波变换等。

第43页，共55页

5.请写出ARMA(p,q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。 答：（1）ARMA(p,q)的数学模型表达式：

x(ni)u(nj)iji0j0

为常数，

式中，

pq1,2,...,p,1,2,...,q001

（2）该模型的电路框图如下所示：

6.AR谱估计中的虚假谱峰是怎样产生的？怎样避免产生虚假谱峰？谱线分裂的原因是什么？相位怎样影响谱线的位置？如何减少这种影响？怎样避免谱线分裂？噪声对AR谱估计有什么影响？怎样减少这种影响？ 答：1．如果自相关函数的取样值的估计没误差，AR(0)模型参数的估计在理论上应该为：

api,i1,2,pˆpiaip1,p2,0,ˆ0an，

但是实际上自相关函数的估计是有误差的，这使得对大于P的值有pi，

相应的也会产生n-p个额外的极点在单位圆附近，这样就会形成虚假谱峰。2．要避免产生虚假谱峰，要求模型

的技术不宜过高，最高不超过N/2，其中N是观测数据长度。3．如果估计的随机过程是由一个正弦信号叠加噪声构成的，那么对某些算法会观察到AR谱估计中存在两个靠的很近的谱峰，似乎在随机过程中还存在着另一个正弦信号，这种现象叫谱线分裂。原因有高信噪比，正弦分量初相位为π/4的奇数倍，数据序列的长度为正弦分量的1/4周期的奇数倍，估计的AR参数数目与数据的个数相比占有较大的百分比，虚假谱峰常伴随着谱线分裂现象，这与观测数据长度太短有关。4．AR谱估计中谱峰出现的位置与正弦信号的初相位有着很密切的关系，谱峰位置对相位的依赖性随着观测数据长度的增加而减少，一般认为谱峰对相位的依赖是由正弦信号的正负频率成分之间的相互作用引起的。5．解决的方法是用解析信号代替真实信号，对解析信号进行欠抽样，并利用复数据进行AR谱的估计。这样就不要求有复共轭极点，而模型的阶数可减少一半。另一种方法是对Burg算法的反射系数估计公式进行修改，用一实值窗函数

wp(n)加权。6．通过增加观测数据的长度，或者利用向前

和向后最小二乘算法和Marple递推算法。7．AR谱估计方法对观测噪声比较敏感，噪声会使谱峰展宽，从而导致分辨率下降，而且会使谱峰偏离正确的位置。8．减少噪声对AR谱估计的影响一般使用四种方法：一、采用ARMA谱估计方法；二、对观测数据进行滤波减小噪声；三、采用高阶AR模型；四、补偿自相关函数或者反射系数估计中噪声的影响。

第44页，共55页

五．推演题

1. 某独立观测序列

x1,x2,,xN,N其均值为m，方差为。现有两种估计算法：

2

1ˆ1mN算法A：均值估计为1Nˆ2xnmxnN1n1 n1，算法B：均值估计为

请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）

答：

1ˆ1mN算法A：均值估计为1ˆ1)E(mNNxn1Nn，则

1ˆmmD(m)12Nn1，

D(Xn)n1N12ˆ1N， 均值估计m是无偏估计

1E()N^2EXn1N2nm22m2m22

1Nˆ2mxnN1n1，则 算法B：均值估计为

^N21NNˆD(m)Emm222ˆ2)E(mmm2N1N1N1n1，

第45页，共55页

均值估计m2是有偏估计

^ˆ1Dmˆ2Dm

所以，算法A比算法B更有效。

2. 对于平稳Poisson随机过程X(t)，已知在任一区间中发生n个事件的概率为

PnPXsXsn偏性。（10分）

en!n,n0,1,。求的最大似然估计，并讨论该估计量的无

ˆL()答：(1) 函数

nineini!

lnL()lnnini!niniln

dL()dni1iN0

^ni1NN

^E()

（2）

Eni1NiNNN，所以该估计量是无偏估计。

3. 设脉冲信号s(t)如下图所示，求其匹配滤波器的传输函数与输出信号。（8分）

解：

先求s(t)的频谱

Ss(t)ej.tdtAej.tdt0TA(1ejT)j

再取观测时刻t0=T，则可得匹配滤波器的传输函数为：

H()KS*()ejT0KA(1ejT)ejT0j

因为抽样时间，为使延时最小，即T0=T

第46页，共55页

H()KA(1ejT)j

此H(w)为匹配滤波器的传输函数，其中K为常数。

匹配滤波器的冲击响应为

h(t)Ks(Tt)KA,0tTh(t)0,else

匹配滤波器的输出信号为：

s0ts()h(t)dtAKAd,otT0TAKAd,Tt2TtT0,t0,t2TKA2t,,otTKA2(2Tt),Tt2T0,t0,t2T4.怎样判断随机过程{X(t),tT}是宽平稳随机过程？并证明随机过程X(t)Ycos(t)Zsin(t),t0是宽平稳过程，其中，Y , Z是相互独立的随机变量，且EYEZ0,DYDZ。 答：（1）如果X(t)满足，如下条件： （a）{X(t),tT}是二阶矩过程；

（b）对任意tT，mX(t)EX(t)常数；

（c）对任意s,tT，RX(s,t)E[X(s)X(t)]RX(st)。则判定{X(t),tT}是宽平稳随机过程。 （2） 证明：

2

E[X2(t)]E[(Ycos(t)Zsin(t))(Ycos(t)Zsin(t))]E[Y2cos2(t)2YZcos(t)sin(t)Z2sin2(t)]E[Y2]cos2(t)E[Z2]sin2(t)E[YZ](2cos(t)sin(t))因为Y,Z是相互独立的随机过程，且EYEZ0,DYDZ，所以

2

E[X2(t)]=2 EX(t)E[Ycos(t)Zsin(t)]E[Y]cos(t)E[Z]sin(t)0=常数 RX(s,t)E[X(s)X(t)]E[(Ycos(s)Zsin(s))(Ycos(t)Zsin(t))]E[Y2cos(s)cos(t)YZsin((ts))Z2sin(s)sin(t)]2cos[(st)]，RX(s,t)只与时间间隔有关，

与时间起点无关。

所以，{X(t),tT}是宽平稳随机过程。

5.设连续时间随机信号xat以等时间间隔T0取样后得到离散时间随机序列x(n)。为使x(n)是白色随机序列，讨论应满足什么条件？

解：设xat的自相关函数和功率谱分别为Rxx和Sxxj，x(n)的自相关序列和功率谱分别为 Rxxma第47页，共55页

和Sxxej。 根据定义,有

RxxmE[x*(n)x(nm)] ① Sxxe

Rmejxxmjm ②

按照定义，自相关序列Rxx(m)为

a Rxx(m)E[x*(n)x(nm)]E[x*a(nT)x(nTmT)]Rxx(mT)

因此Rxx(m)就是以周期T对Rxx()的等间隔取样。

根据上式和Sxx(j)的定义，有 Rxx(m)＝Rxx(mT)＝ 另一方面，根据Sxx(e Rxx(m)＝

aaa12aSxx(j)ejmTd ③

j)的定义，有

12aSxx(ej)ejmnd ④

将式③表示成无限个积分之和，其中每个积分都在长为2/T的区间上进行，即Rxx(m)＝

12k(2k1)/T(2k1)/TaSxx(j)ejmTd

变量置换：2k，即得 T/T/TaSxx(jj1 Rxx(m)＝

212/Tk2k)ejmTej2mkd Tj2nk1，因此Rxx(m)＝交换求和与积分的次序，考虑到对于所有整数k和m有e/Ta[Sxx(jjk2k)]ejmTd T再将T代入式中，得

1 Rxx(m)＝

21a2jn[S(jjk)]ed ⑤ TkxxTTj比照式⑤与式④，得

1a2k) ⑥ Sxx(e)＝Sxx(jjTTT1a2k) ⑦ 或 Sxx(j)＝Sxx(jjTT如果x(n)是白色随机序列,则它的自相关序列应当是一个幅度为Rxx0的冲激序列,即 RxxmRxx0(m)

上式代入式②,得

Sxxe由式⑥、⑧有

R0(m)ejwxxmjwmRxx0 ⑧

1a2Sxx(jjk)Rxx(0)， TTT上式表明，若要x(n)是白色随机序列，则要求

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1a2Sxx(jjk)=常数。 TTT

6.用雷达测量地球和月球之间的距离d，测量过程用下列方程描述 x(n)dw(n)

其中w(n)是均值为零，方差为w的白噪声序列，它表示测量误差。为了提高测量精度，现采用以下两种滤波器分别对进行处理x(n)，试比较其方差w的大小。 滤波器１

22y(n)ay(n1)(1a)x(n)

滤波器２

y(n)ax(n)(1a)x(n1) 式中0a1。

解：两个滤波器的系统函数分别为

1a1,H(Z)a(1a)Z2 1aZ1H1(ej0)1,H2(ej0)1H1(Z)因此两滤波器的直流增益H1(e)1，无直流失真。两滤波器输出噪声平均功率为

j02y111a2121H1(Z)H1(Z)xZdZx2j1a22yxh22(k)x2[a(k)(1a)(k1)]2[a2(1a)2]x22

k0a122limy0•x01222limyax2因此

a1

7.令x1，……xN是一个具有概率密度函数f(x,,)试确定均值和方差的最大似然估计。 解：似然函数是均值和方差二者的函数，故有

2N2122e(x)2/22的正态分布得到的随机观测样本，

2

f(x1,...xN,,)2i1122Ni1e(xi)2/22

(22)N/2exp[122(x)]2i从而有 Llnf(x1,2

NN1,xn/,)ln(2)ln(2)22222(x)ii1N2

分别求L关于和的偏导，然后令偏导为零，得到

L222(x)0ii1NNLN12(x)0i22224i11NLˆMLxix 0可以解出从

Ni1第49页，共55页

1L2ˆ(xix)2 可解得0ML2Ni11N1N2ˆML为无偏估xi和样本方差(xix)2是无偏的，因此均值最大似然估计由样本均值xNi1N1i12ˆML计，而方差的最大似然估计则是有偏的。

将其代入

8.Burg递推较levenson递推法有什么优势，并写出Burg递推法求解AR模型参数的递推公式。 答：（1）列文森（levenson）递推法需要先由信号的观测数据估计自相关函数，这是它的缺点，而伯格（Burg）递推法则由信号观测数据直接计算AR模型的参数，Burg递推法利用levenson递推公式，导出前向预测误差和后向预测误差，并按照它们最小的原则求出akk，从而避免求自相关函数这一难题。 （1）Burg递推法求AR模型参数的递推公式如下：

N1ˆxx(0)Ni1nx(n) ①

②

20ˆxx(0)

e0f(n)x(n) n0,1,2,3,...,N1

be0(n)x(n) n0,1,2,3,...,N1

③

④

*2epf1(n)ebp1(n)N1kpnpenpN1fp1(n)ebp1(n1)222 ⑤

p(1kp)p1

⑥

⑦

apiap1,ikpa*p1,pi i0,1,2,3,...,p1

appkp

⑧

ffbep(n)ep1(n)kpep1(n) np1,p2,...N1 ⑨ b*feb(n)e(n1)kepp1p1p1(n)np,p1,...N2

⑩

9.说明正交性原理信义，维纳滤波原理及其结论。

解：（1）正交性原理：Eu(nk)eopt(n)0,k0,1,2,...

文字表述：使代价函数J最小化的充分必要条件是估计误差eopt(n)与输入u(0),...,u(n)正交。 （1） 定义M1输入向量

*u(n)u(n),u(n1),...,u(nm1)

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T

则其相关矩阵为

RE{u(n)uH(n)}Ru,u(1)Ru,u(0)*RRu,u(0)u,u(1)R*(M1)R*(M2)u,uu,uRu,u(M1)Ru,u(M2)

Ru,u(0)*式中使用了自相关函数的性质Ru,u(k)Ru,u(k)，类似地，输入与期望响应的互相关向量为

E{u(n)d*(n)}Ru,d(0),Ru,d(1),Ru,d(M1)T

综上式子可以将winer-Hopf方程组写成紧凑的矩阵形式

Rwopt ①

式中wopt表示横向滤波器的M1最优抽头权向量：

wopt[wopt,0,wopt,1,,wopt,M1]T

由矩阵方程①，立即可以得到最优抽头权向量的解为

woptR1

满足这个关系的离散时间横向滤波器称为维纳滤波器。

10.设某积分电路输入输出之间满足以下关系稳过程。求证输出功率谱密度为

Y(t)ttTX()d，式中，T为积分时间。并设输入输出都是平

SY()4SX()2Tsin22

（提示：Y(t)X(t)h(t)，而h(t)u(t)u(tT)，是矩形方波。） 证明：因为

Y(t)ttTX()djt所以 h(t)u(t)u(tT)

Tjt所以

Hjhtedthte0dt2sinT/2ejT/2

所以

Hj2T4sin222

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所以

SY()SX()Hj24SX()2Tsin22

11.Wiener滤波器是现代信号滤波处理的经典，其核心在于考察滤波器输入输出信号之间的关系，请用恰当的数学模型对其加以描述。

滤波器的理想输出为s(t+a) 估计误差为e(t)=s(t+a)-y(t) 估计误差的平方为：e2(t)s2(t)2s(t)y(t)y2(t) 而y(t)h(u)x(tu)du

代入上式，两边取数学期望，得到均方误差：

Ee2h(u)h(v)Rx(vu)dudv2h(u)Rs,x(u)duRs(0)

其中，Rs

s(t)的自相关函数

Rx x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数 Rs,x s(t)和x(t)之间的互相关函数

若信号s(t)和噪声n(t)不相关，且噪声均值为零，即E[n(t)]=0，则有：

RxRsRnRs,xR s维纳滤波就是希望求出最优h(u)，使得Ee2(t)最小。

12.设un是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱Sw0。

证明：将un通过冲激响应为hn的LTI离散时间系统，设其频率响应Hw为输出随机过程yn的功率谱为S2ywHwSw 输出随机过程yn的平均功率为r2wy0120Sywdw12w0wdw

0wSw第52页，共55页

Hw1,0,w-w0ww-w0w

当频率宽度w0时，上式可表示为ry0由于频率w0是任意的，所以有Sw0

1Sw0w0

八、与传统的数字信号处理相比，现代信号处理另一个最大的区别在于更多的关注信号之间的关系，如相关函数、功率谱密度函数、信噪比等，请回答下述问题：

（1）信噪比是衡量信号与噪声之间的能量差异的相对值，在通信系统、信号处理中被广泛使用，请给出至少两个实例，并加以分析讨论。

SNR信噪比 或 PSNR峰值信噪比均可，但需要说明信号与噪声能量的定义，并举出相应的实例。

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（2）Wiener滤波器是现代信号滤波处理的经典，其核心在于考察滤波器输入输出信号之间的关系，请用恰当的数学模型对其加以描述。

滤波器的理想输出为s(t+a) 估计误差为e(t)=s(t+a)-y(t)

222e(t)s(t)2s(t)y(t)y(t) 估计误差的平方为：

而

代入上式，两边取数学期望，得到均方误差： 2Eey(t)h(u)x(tu)duh(u)h(v)Rx(vu)dudv2h(u)Rs,x(u)duRs(0)

其中，

Rs s(t)的自相关函数

Rx x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数 Rs,x s(t)和x(t)之间的互相关函数

若信号s(t)和噪声n(t)不相关，且噪声均值为零，即E[n(t)]=0，则有：

RxRsRnRs,xRs

维纳滤波就是希望求出最优h(u)，使得

2Ee(t)最小。

（3）自适应滤波器是利用误差信号调整滤波器的传输函数，从而达到系统最优。请从现代信号处理的角度

出发阐述自适应滤波器系统最优的含义，并举例说明。 答：

从信号处理角度，自适应滤波器系统最优的含义是误差信号最小，系统的输出信号与指导信号之间的“距离”最小。

举例可举信道均衡/估计，系统辨识等。 （4）功率谱密度是对时域自相关函数进行傅立叶变换得到的结果。请阐述在工程中对功率谱密度进行测量有何应用？ 答： （a），有些信号处理系统，需要预先知道信号的功率谱密度（或者自相关函数）。如：维纳滤波器、MMSE算法。

（b），若知道功率谱密度，可估计出线性系统的参数。用白噪声激励，通过功率谱估计FR。

2Pyy()H()2

（c），利用功率谱密度，可从宽带信号中检测出窄带信号。（宽带噪声下的窄带通信系统）

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