2019高考数学不等式：基本不等式

【考点梳理】

1．基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式 (1)a＋b≥2ab(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同号且不为零)； (3)ab≤

2

2

baaba＋b2(a，b∈R)；

2

2

2

a＋b2≤a＋b(a，b∈R)． (4)22

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为

a＋b2

，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

4【考点突破】

考点一、配凑法求最值

【例1】(1)若x＜

q2

51，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________． 44x5(2)函数y＝x－1

的最大值为________.

x＋3＋x－1

1

[答案] (1) 1 (2) 5

5

[解析] (1)因为x＜，所以5－4x＞0，

4

11则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋＋3≤－25－4x4x－5＝－2＋3＝1.

1

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.

5－4x1

故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.

4x－5(2)令t＝x－1≥0，则x＝t＋1， 所以y＝

2

1

（5－4x）＋3

5－4xt.

t＋1＋3＋tt＋t＋4

2

t＝

2

当t＝0，即x＝1时，y＝0； 当t＞0，即x＞1时，y＝

1

， 4t＋＋1

t4

因为t＋≥24＝4(当且仅当t＝2时取等号)，

t所以y＝

11

≤， 45t＋＋1

t1

即y的最大值为5(当t＝2，即x＝5时y取得最大值). 【类题通法】

1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.

2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f(x)＝x＋

1

(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) x－2

A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4

[答案] C

[解析] 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋且仅当x－2＝

1

＋2≥2x－2

（x－2）×

1

＋2＝4，当x－2

1

(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C. x－2

x2＋2

2．函数y＝(x>1)的最小值为________.

x－1

[答案] 23＋2

x2＋2（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3

[解析] y＝＝

x－1x－1

（x－1）＋2（x－1）＋3

＝ x－1

3

＋2≥23＋2. x－1

3

当且仅当x－1＝，即x＝3＋1时，等号成立.

x－1＝(x－1)＋

考点二、常数代换或消元法求最值

【例2】(1)已知x，y均为正实数，且

111＋＝，则x＋y的最小值为( ) x＋2y＋26

2

A．24 B．32 C．20 D．28 (2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. [答案] (1) C (2) 6

[解析] (1)∵x，y均为正实数，且则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4 ＝6

111＋＝， x＋2y＋26

1＋1(x＋2＋y＋2)－4

x＋2y＋2

x＋2y＋2

＋－4 y＋2x＋2

x＋2y＋2

·－4＝20， y＋2x＋2

＝62＋

≥6×2＋2



当且仅当x＝y＝10时取等号. ∴x＋y的最小值为20.

9－3y(2)由已知得x＝.

1＋y法一 (消元法)

因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 9－3y所以x＋3y＝＋3y

1＋y＝

12

＋3(y＋1)－6≥21＋y12

·3（y＋1）－6＝6， 1＋y12

当且仅当＝3(y＋1)，

1＋y即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6. 法二 ∵x＞0，y＞0，

11x＋3y2

9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，

332当且仅当x＝3y时等号成立.

设x＋3y＝t＞0，则t＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6. 故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. 【类题通法】

条件最值的求解通常有三种方法：

一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；

二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；

三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 【对点训练】

1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________. [答案] 5

2

13

[解析] 法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，

5y5x∴3x＋4y＝(3x＋4y)

1＋3

5y5x

943x12y13123x12y1

＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)， 555y5x555y5x2∴3x＋4y的最小值是5.

3y法二 由x＋3y＝5xy，得x＝，

5y－11

∵x>0，y>0，∴y>，

5

1194

13y－＋＋－4y5559y1395113

∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4y－≥＋2

5y－1551551y－5y－555，

1

当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.

2

2．已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________. [答案] 5＋26

[解析] 因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝所以a＋b＝a＋

2a6＝a－3＋＋5≥5＋2a－3a－3

（a－3）·

2a>0，所以a－3>0，a－3

36＝25

6

＝5＋26，当且仅当a－3＝a－3

6

，即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立. a－3

考点三、基本不等式的实际应用

【例3】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.

[答案] 2 20

[解析] 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝

k2

k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，

x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， 20∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x＋万元，

x

20

∵5x＋≥2x2020

5x×＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为

xx20万元. 【类题通法】

1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【对点训练】

一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.

[答案] 15

15

2

[解析] 设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30．

x＋2y2225115所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号. 2222