【专题说明】
胡不归模型问题解题步骤如下；
fc
1、 将所求线段和改写为TA+-PB\"的形式（？vl）,若->1,提取系数，转化为小于1的形式解决。
a a a
2、 在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度a,使得siiia=—
3、 最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
【模型展示】
如图，一动点P在直线外的运动速度为H,在直线妣V上运动的速度为巾，且Vl AC + V2 BC 1 即求BC+kAC的最小值. 构造射线使得sinZDJ#=乩CH/AC=k. CH=kAC・ A， CH-kAC CH sina= =k AC 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH丄AD交妣V于点C,交.Q于丹点，此时BC+CH取到最小 值，即 BC+kAC最小. 在求形如・迟」+好歹的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将•迟型问题转化为加+PC、 型. 【精典例题】 1、在平而直角坐标系中，将二次函数y = ox-2(«>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得 到 如图所示的抛物线，该抛物线与尤轴交于点A、3(点A在点3的左侧)，04 = 1，经过点A的一次函数 y = /a+b(k^0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D , WD的面积为5・ (2) 抛物线上的动点£在一次函数的图象下方，求AACE面积的最大值，并求岀此时点E的坐标； (3) 若点戶为尤轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE + -PA的最小值. 【答案】(l)y =丄疋一兀一3；『=丄x + - : (2) MCE的而积最人值是孚，此时E,点坐标为(学一學 2 ⑶PE + -PA的最小值是3. 2 2 2 16 \\2 © 7 3 【详解】 解：(1)将 .y = m2(n>0)的国象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式 为 y = a(x-l)'-2, -OA = \\,二点4的坐标为(-1,0), 代入抛物线的解析式得，4d — 2 = 0・ Za = -. 2 二抛物线的解析式为 >'=扣— 1)2 - 2，即)U 令 y = °，解得召=一1・ x》=3,二 3(3,0). _x_| . ZAB = OA + OB = 4.二的而积为 5, -SMBD=-AB yD=5 , ZyD=-, 2 2 5 1 3 代入抛物线解叭得，2 一2, X2=4, ZDp,| r-—- 解得坷=RAD的解析式为y=kx+b9 解得: H+/? = o 一〕工线AD的解析式为y = — —. 1 3 ⑵过点E作EM H y轴公AD于M，如图，设E；匕牙/一“一亍 仏打+\\ z 乙 丄］ Z EM = -a + ---a2 +a + - = --a2 +-a + 2 . 2 2 2 2 2 2 二 SMCE = SMME - SACME = £ X EM 'I =- x 1 = - —(f/2 1 2 2 丿 _3a I), =-lf(4V 丿4V 3 25 25 3 二当a=-时, MCE的而积有最大值，最大值2 16 是花•此时E点坐标为(亍 7) ⑶作E关于x轴的对称点F.连接EF交x轴于点G,过点F作阳丄AE F点H.交兀轴于点P. 3) 25 2丿 H -- »16 a --- OA = \\. 5 ZAC=1+ I= r £G= T _ AG _2_4 ~ EG _]5 _3 T 二 ZAGE = ZAHP = 90 • 二sin存-少二竺丄二P」P, AP AE 5 5 二E、F关于x轴对称，二PE = PF , 3 二 PE +二AP = FP+HP = FH ,此时皿最小, ZEF = — x2 = — , ZAEG = ZHEF • 8 4 二 sin ZAEG = sin ZHEF = AG FH HE 5 4 ZFH=-x — = 3 2、如图，二逝中，gg。，⑷42, BE…E, D是线段肌的-个动点，则CD +晳购 的最小值是（ ） 【答案】B 【详解】 如图，作DH二AB于H, CMZAB于M. 二 BE 二 AC, ZZAEB=90°, BE 二 taiiA= =2 ♦设 AE=a, BE=2a, AE 则有：100=a2 +4a2 , Za2=20, 二a=2j?或-2循（舍弃）, 二 BE=2a=4 辰 二AB=AC・ BE二AC, CMZAB, ZCM=BE=4./5（等腰三角形两腰上的高相等））二二DBHYABE,二BHDYBEA, BD AB 5 ZDH=^BD, 5 二 CD+逻 BD二CD-DH, 5 二 CD+DHNCM, 二 CD+匹 BDN 亦， 5 二CD+匹BD的最小值为4腐. 5 故选B. 3、已知抛物线y = aF+加+ C(“HO)过点A(1,O), 3(3,0)两点，与y轴交于点C, OCT. (1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2) 过点2作AM丄BC，垂足为M,求证：四边形dDBM为正方形； (3) 点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当 MC而积最大时，求点P的坐标： (4) 若点。为线段OC上的一动点，问：AQ + -QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在请说明理由. , 【答案】(1)抛物线的表达式为：y = F—4x + 3,顶点D(2, —1)： (2)证明见解析；(3)点P 存在，AQ + -QC的最小值为 §返土如. 4 2 【详解】 (1) 函数的表达式为：y = a(x-l)(x-3)= a(x'-4x+3), 即：3a=3,解得：a=l, 故抛物线的表达式为：y = x2-4x + 3, 则顶点D(2, — l)； (2) OB = OC = 3, NOBC = /OCB = 45°二A(l,0), B(3.0), Z OB=3, OA=1, ZAB=2, =AM = MB = ABsin45° =近， 又二D(2, -1), ZAD=BD= ^(2-l)2+(-l-0)2 =迈， ZANI=MB=AD=BD, 二四边形ADBM为菱形， 又二 NAMB=90°， 二菱形ADBM为正方形： (3) 设直线BC的解析式为y=mx-n, ，3m + n = 0 将点B、C的坐标代入得： . ， in = -1 解得： o , n = 3 所以直线BC的表达式为：尸-x+3, 过点P作y轴的平行线交BC于点N, 设点P(x,x'—4x + 3),则点N(x,-x+3), 13 3 则 S =-PNXOB = -(-X + 3-X2+4X-3)= --(X2 APBC-3X), 2 2 2 3 3 v-- 故点P : (4)存在，理由： 如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CF交x轴于点F.过点A作AH丄CF，Q， 此时HQ=#CQ , 则 AQ + — QC 最小值=AQ+HQ=AH , 2 FO 在 Rt二COF 中，ZCOF=90% 二FOC=30。，003, tanZFC0=——■ CO Z0F=V3 * 垂足为H,交y轴于点 二F(J, 0), 利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y = J/ + 3…二, ZZCOF=90°, ZFOC=30°, ZZCFO=90-30=60°, ZZAHF=90°, ZZFAH=90°-60°=30% oo 二 OQ=AO«tan Z FAQ= 二 Q（0、〈）， 3 利川待定系数法可求得直线AH的表达式为：y = 一迺X +逅•- 3 3 联立二二并解得：x = 4 故点H（匕学,而点A（1,O）, 4 4 则A卄竿. 4、已知抛物线y = x2-bx + c （ b, c为常数,b>0 ）经过点A（-LO）,点M（«z,0）是x轴正半轴上的动 点・ （匚）当b = 2时，求抛物线的顶点坐标； （口）点》（仅儿）在抛物线上，当m = 5时，求/?的值； （匚）点Q（b + g,y° ）在抛物线上，当屈 M+20M的最小值为丄乎时，求【答案】（二〉（1,7）：（二）方=3迈一 1；（二）b = 4 【详解】 解：（二）二抛物线 y = x2 -bx+c 经过点 4（一1,0）, 二 l+b+c = O. HI c = -Z?-l. 当/? = 2时，y = x2 -2A-3 = （x-l）2 -4, ::抛物线的顶点坐标为（1,7）. （：：）由（二）知，抛物线的解析式为y = x2-bx-b-\\. 二点 D（b, yD）在抛物线 y = x2 -hx-b-\\ I：, Z yD = b2 - b ■ h - b - \\ = -b - \\ . 由b>0,得Z?>->0, _b — lvO， 2 二点D（b,—b -1）在第四象限，且在抛物线对称轴x =-的右侧. 2 如图，过点D作DE丄x轴，垂足为E,则点E&0）. /?的值. 二 AE = b + 1, DE = /?+!. f j AE = DE ・ 二在 RtAADE 中，ZADE =乙DAE = 45° ・ -AD =近AE • 由己知 AM = AD• in = 5 < 二 5-(-1)=血@ + 1)・ 二b = 3忑-1・ (二)二点+ 在抛物线 y = x‘一/处一〃一1 (:. 二 ％=(“+$_ 也+ *)—_1 = 一£一扌. 可知点Q(^+-,----)在第四象限，且在r - xub的右侧. 厶 乙 *• 考虑到迈AM + 2QM = 2(— AM + QM)，町取点 N(0,1), 如图，过点0作直线4N的垂线，垂足为G, QG hj x轴相交于点A/， 有ZGAM =45°，得— AM=GM , 2 则此时点M满足题意. 过点Q作QH丄兀轴于点则点H(b + -.O). 2 在 RtAMQH 中，町知 ZQMH = ZMQH = 45°. 二 QH = MH , QM =^MH ・ 二屈M+2QM _ —)~(_l)l + 2^[(/? + y)-(y- — Zb = 4・ 5、如图，在平而在角坐标系中，抛物线y=x--2x3与x轴交与点A, B 点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E. （点A在点B的左侧）交y轴于点C, （1） 连结BD,点M是线段BD上一动点（点M不与端点氏D重合），过点M作NINZBD交抛物线于点 N （点N在对称轴的右侧），过点N作NH二x轴，垂足为H,交BD于点F,点P是线段0C上一动点，当 取得 最大值时，求HF+FP+lpc的最小值； 3 （2） 在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个迟单位得到点Q,连 2 结AQ,把ZAOQ绕点0瓶时针旋转一泄的角度Q （0。<&<360。），得到二AOQ,其中边AQ交坐标轴于点 C在旋转过程中，是否存在一点G使得ZQ =ZQ'OG2若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标： 若不存 在，谙说明理由. 【答案】（1）丄+ 空：（2）存在，Q的坐标（匹，-土5）, （土色，匹），（-±5, 土匕）, 3 3 555555 （也,-込 5 5 【详解】 解：（1）如图1 二抛物线v=x2 ・2x・3与X轴交于点儿E (点J在点E的左侧)，交y轴于点c 二令y=o 解得：1, X2=3,令 X=0,解得：y= - 3, ZA ( - 1, 0〉, B (3, 0), C (0, -3) 一「小 “ u_m、八,b 一2 . 4ac-b2 4xlx(-3)-4 4 -点D为抛物线的顶点，且——=—— =1, ---------- = --------- - ・4 2a 2 4a 4x1 二点D的坐标为D (1, -4) ::直线加的解析式为：>=2x-6, 由题意，可设点N (加•加2・2加・3〉，则点F (w. 2m - 6) ZJA77 |= (2m - 6)・(m2 - 2?n - 3) = - nr+4ni - 3 二、打加=_ =2时，NF取到最犬你 此时MV取到最大值，此时HF=2, 2a 此时,N (2> ・ 3), F (2, -2)t H (2, 0) 在X轴上找一点K (一込2, 0),连接CK,过点F作CK的垂线交CK于点丿点，交y轴于点P, 二 sin 二 0仮=一，直线 KC 的解析式为：y = -2y/2x-3,且点 F (2, -2), X1= - »护宜炯的解析式为：y斗呼 -19-4>/2 ? 9 二叫护的最小值即\"的长，且曲寺芈 Z\\HF + FP + -PC\\ = 3 \\fftin 7 + 4>/2 (2)由(1〉知，点 P (0, 二把点吓上平移刍个单位得到点。 匚点。(0, -2) 匚在 RtEJOe ■ PJOG=90°, AQ=JS9 取 的中点 G,连接 OG,则 OG=GO=-AQ=^-.此 2 2 时，ZAOO=ZGOO 把二90绕点0顺时针旋转一定的角度a (0° 0 号过点0作如轴心轴于点丄且匚GO—二0 G点落在y轴的负半轴，则G （0, 则二 ZO0=二 OzT0= ZOAO, 二 sin 二 02Q= OQ AQ 书 二弘“_2=型=座，解得：2仝 OQ 2 5 5 二在Rt二OZ0中根据勾股定■ 得|0/|= 迹 5 二点0的坐标为G （竺，-士5）: 5 5 二如图 3, 当G点落在5半・同理可得\"攀寧 二如图4 当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得0 二如图5 当\"落虹轴的负半轴上时，同理可得0 一等， 普亜 4书 5 5 5 4序亜 5 逻亜 亜 综卜•所述，所有满足条件的点0的坐标为：- ）・（ ，丁），（-〒， ）,（ 迹 -—） 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容