一、相似
1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：
（1）∠OAE=∠OBE； （2）AE=BE+ ∴OB⊥AC， ∴∠AOB=90°， ∵∠AEB=90°，
∴A，B，E，O四点共圆， ∴∠OAE=∠OBE
（2）证明：在AE上截取EF=BE，
OE．
【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
则△EFB是等腰直角三角形， ∴
，∠FBE=45°，
∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点， ∴∠ABO=45°， ∴∠ABF=∠OBE， ∵ ∴
， ，
∴△ABF∽△BOE，
∴ = ∴AF=
， OE， OE．
∵AE=AF+EF， ∴AE=BE+
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。
（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为
OE，由AE=AF+EF，可证得结论。
，
，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比
例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF=
2．已知线段a，b，c满足
（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；
（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：设 则a=3k，b=2k，c=6k， 又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2， ∴a=6，b=4，c=12； ∴2b=8，b2=16
∵a=6，2b=8，c=12，b2=16 ∴2bc=96，ab2=6×16=96 ∴2bc=ab2
a，2b，c，b2是成比例的线段。
，
，且a＋2b＋c＝26.
（2）解：∵x是a、b的比例中项， ∴x2=6ab， ∴x2=6×4×6， ∴x=12．
【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。
（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。
3．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2 ， 求t的值； （3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ 在 ∵
别是
AD∥BC， 中，
的中点，
EF∥BC，
∴EF∥AD， ∴ ∴ ∴
于 ，
（2）解：如图1，过点Q作
∴QM∥BE， ∴
∴ ∴
（舍）或
秒
（3）解：当点Q在DF上时，如图2，
∴ ∴
.
，如图3，
当点Q在BF上时，
∴ ∴
时，如图4，
∴ ∴
时，如图5，
∴ ∴
综上所述，t=1或3或 或 秒时，△PQF是等腰三角形
【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而可证△BEF∽△DCB；（2）过点Q作 QM⊥EF 于 M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽ △BEF；再由△QM F ∽ △BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因
为 ∠PFQ为钝角，所以只有PF = QF 。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有 PF=QF；PQ = FQ；PQ = PF 三种情况，因此所求的t值有四种结果。
4．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）．
（1）当α=0°时，连接DE，则∠CDE=________°，CD=________； （2）试判断：旋转过程中
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m=10，n=8，当旋转的角度α恰为∠ACB的大小时，求线段BD的长； （4）若m=6，n=
，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．
【答案】（1）90； （2）解：如图3中，
∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．∵
，∴△ACE∽△BCD，∴
．
（3）解：如图4中，
当α=∠ACB时．在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB= ∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，∴AE= △ACE∽△BCD，∴ （4）解：∵m=6，n= 中，
，∴
=
=
，∴BD=
，AB=
=3
=6．在Rt△ABE中， ，由（2）可知
．故答案为：
，∴CE=3，CD=2
=2，①如图5
当α=90°时，半圆与AC相切．在Rt△DBC中，BD= =2
． ②如图6中，
=
当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴四边形BCEM是矩形，∴ （2）可知 = 故答案为：2
，∴BD= 或
．
．
，∴AM=5，AE=
=
，由
【解析】【解答】（1）①如图1中，
当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴ ．∵BC=n，∴CD= ．故答案为：90°， n．
【分析】（1）连接DE，当α=0时，由直径所对的圆周角时直角可得∠CDE=90°，判断DE∥AB，从而可得比例式进而求解。
（2）旋转过程中 B D： A E 的大小有无变化，可以看 B D， A E 所在的三角形相似，从而可的△ACE∽△BCD，进而得出结论。
（3）根据勾股定理求得AB和AE，即可求出BD。
（4）由题意分两种情况：当α=90°时，半圆与AC相切。当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切。
=
5．在平面直角坐标系中，抛物线
与 轴的两个交点分别为A
（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标. 【答案】 （1）解：设抛物线的解析式为 ∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)， ∴
∴抛物线解析式为
，解得，a=-1，b=-2，c=3，
，顶点C（-1,4）；
，
（2）解：如图1，∵A(-3，0)，D(0，3),
∴直线AD的解析式为y=x+3， ∴CF=FH，
设直线AD与CH交点为F，则点F的坐标为(-1，2) 分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，
由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，△ADE与△ACD面积相等， ∴直线EC的解析式为y=x+5，
直线EH的解析式为y=x+1， 分别与抛物线解析式联立，得 解得点E坐标为(-2，3)，
， ，
，
；
（3）解：①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，
∴
，
分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N， 由△CQM∽△QPN， 得
∵∠MCQ=45°，
设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m， ∴P点坐标为(-m-1，4-3m)， 将点P坐标代入抛物线解析式，得 解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去) ∴P点坐标为(-4，-5)；
②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH， ∴
，
x轴于点N，
，
=2，
延长CD交x轴于M，∴M(3，0)
过点M作CM垂线，交CP延长线于点F，作FN
∴
∴MN=FN=2， ∴F点坐标为(5，2)， ∴直线CF的解析式为y=
，
，
∵∠MCH=45°，CH=MH=4
联立抛物线解析式，得 ，解得点P坐标为(
， ).
， )，
综上所得，符合条件的P点坐标为(-4，-5)，(
【解析】【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，利用△ADE与△ACD面积相等，得出直线EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3) （3）分两种情况讨论：①点P在对称轴左侧；②点P在对称轴右侧.
6．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.
（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；
（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，
①如图2，若∠ADC=60°，求 的值；
②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出 的值.（用含α的三角函数表示） 【答案】（1）解： 理由如下： ∵四边形 ∴ ∥ ， ∵四边形 ∴ ∥ ， ∴ ∥ ， ∴ 又∵ ∴ ∴
≌
. ，
.
是平行四边形，
. 是菱形，
. .
，
（2）解：方法1：过点 作 ∥ ，交 于点 ，
∴ ∵ ∴ ∴
∽ .
. . ， .
由（1）结论知 ∴ ∴ ∵四边形 ∴ ∵四边形 ∴ ∥ .
. .
为菱形，
.
是平行四边形，
∴
∵ ∥ ， ∴ ∴ . .
，
即 .
∴ 是等边三角形。 ∴ .
∴
.
方法2：延长 ， 交于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ .
∵四边形 为平形四边形，
∴ ， ∥ .
∴ .
即 .
∴ 为等边三角形. ∴ .
∵ ∥ ，
∴ , .
∴ ∽ ，
∴
.
由（1）结论知
∴ . ∴ .
∵ ,
∴
. ,
如图3，连接EC交DF于O，
∵四边形CFED是菱形， ∴EC⊥AD，FD=2FO，
设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b， Rt△EFO中，cosα= ， ∴OF=bcosα， ∴DG=a+2bcosα， 过H作HM⊥AD于M， ∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α， ∴AH=HD，
∴AM= AD= （2a+2bcosα）=a+bcosα， Rt△AHM中，cosα= ， ∴AH=
，
∴ =
=cosα
【解析】【分析】（1）利用菱形和平行四边形的性质可得出AB∥CD∥EF，AB=CD=EF，再利用平行线的性质可证得∠ABG=∠FEG，然后利用AAS可证得△ABG≌△FEG，由全等三角形的性质可证得结论。
（2）①过点 G 作 GM ∥ BH ，交 DH 于点 M ，易证△GME∽△BHE。得出对应边成比例，求出MG与BH的比值，再利用菱形的性质及平行四边形的性质证明DG=MG，即可解答；②连接EC交DF于O，利用菱形的性质可得出EC⊥AD，FD=2FO，设FG=a，AB=b，可表示出FG，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，利用锐角三角函数的定义可得出OF、DG，过H作HM⊥AD于M，易证AH=HD，AM=a+bcosα，再在Rt△AHM中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，继而可得出DG与BH的比值，可解答。
7．如图，已知一次函数y=﹣ x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.
（1）求线段AB的长度；
（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.
①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；
②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.
【答案】 （1）解：当x=0时，y=4， ∴A（0，4）， ∴OA=4，
当y=0时，- x+4=0， x=3， ∴B（3，0）， ∴OB=3，
由勾股定理得：AB=5
（2）解：①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E，
tan∠OAB=
，
∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，
∴M（3x，-4x+4），
由旋转得：AM=AN，∠MAN=90°， ∴∠EAM+∠HAN=90°， ∵∠EAM+∠AME=90°， ∴∠HAN=∠AME， ∵∠AHN=∠AEM=90°， ∴△AHN≌△MEA， ∴AH=EM=3x，
∵⊙N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x轴， ∴NG=OH， 则5x=3x+4， 2x=4， x=2，
∴M（6，-4）；
②如图2，由①知N（8，10），
∵AN=DN，A（0，4）， ∴D（16，16）， 设直线DM：y=kx+b，
把D（16，16）和M（6，-4）代入得：
，
解得：
，
∴直线DM的解析式为：y=2x-16， ∵直线DM交x轴于E， ∴当y=0时，2x-16=0， x=8， ∴E（8，0），
由①知：⊙N与x轴相切，切点为G，且G（8，0）， ∴E与切点G重合， ∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，
∴△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应， 分两种情况：
i）当△DCE∽△QAP时，如图2，∠AQP=∠NDE， ∵∠QNA=∠DNF， ∴∠NFD=∠QAN=90°， ∵AO∥NE， ∴△ACO∽△NCE， ∴ ∴
∴CO= ， 连接BN， ∴AB=BE=5， ∵∠BAN=∠BEN=90°， ∴∠ANB=∠ENB， ∵EN=ND， ∴∠NDE=∠NED， ∵∠CNE=∠NDE+∠NED， ∴∠ANB=∠NDE， ∴BN∥DE， Rt△ABN中，BN= sin∠ANB=∠NDE= ∴ ∴NF=2 ∴DF=4
， ， ，
，
，
，
，
∵∠QNA=∠DNF， ∴tan∠QNA=tan∠DNF= ∴
，
，
∴AQ=20，
∵tan∠QAH=tan∠OAB= ∴5x=20， x=4，
∴QH=3x=12，AH=16， ∴Q（-12，20），
，
设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，
同理易得：直线NQ的解析式：y=- x+14， ∴P（0，14）；
ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，
∴∠APN=∠CDE， ∵∠ANB=∠CDE， ∵AP∥NG， ∴∠APN=∠PNE， ∴∠APN=∠PNE=∠ANB， ∴B与Q重合， ∴AN=AP=10， ∴OP=AP-OA=10-4=6， ∴P（0，-6）；
综上所述，△APQ与△CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6）
【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB的长度；（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB= 得x的值，计算M的坐标即可；
②如图2，先计算E与G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ与△CDE相似时，
，设EM=3x，AE=4x，则
AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明△AHN≌△MEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可
顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：
i）当△DCE∽△QAP时，证明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO= tan∠QNA=tan∠DNF=
，AQ=20，则tan∠QAH=tan∠OAB=
，根据三角函数得：
，设QH=3x，
AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；
ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）.
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）求∠AHC与∠ACG的大小关系（“＞”或“＜”或“＝”） （2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由； （3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴AC＝
∴∠AHC＝∠ACG ． 故答案为＝．
，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
（2）解：结论：AC2＝AG•AH ．
理由：∵∠AHC＝∠ACG ， ∠CAH＝∠CAG＝135°， ∴△AHC∽△ACG ， ∴
，
∴AC2＝AG•AH ．
（3）解：①△AGH的面积不变．
理由：∵S△AGH＝ •AH•AG＝ AC2＝ ×（4 ∴△AGH的面积为16．
）2＝16．
②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC ，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8， ∵BC∥AH ， ∴
,
∴AE＝ AB＝ ． 如图2中，当CH＝HG时，
易证AH＝BC＝4， ∵BC∥AH ， ∴
＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5．
在BC上取一点M ， 使得BM＝BE ， ∴∠BME＝∠BEM＝45°， ∵∠BME＝∠MCE+∠MEC ， ∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM ， 设BM＝BE＝m ， 则CM＝EM ∴m+
m＝4，
﹣1），
﹣1）＝8﹣4
，
．
∴m＝4（
m ，
∴AE＝4﹣4（
综上所述，满足条件的m的值为 或2或8﹣4
【解析】【分析】（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题.
9．如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.
（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若sin∠EFA= ,AF=
,求线段AC的长.
【答案】 （1）解：如图1，连接 ，
∵ ∴ ∵ 平分 ∴ ∴
∴ ∥ , ∴ ∴ ∵ 为 ∴ 是
.
，
. ， . .
的半径， 的切线.
（2）解：如图2，连接 .
由题可知 为 ∴ ∵ 平分 ∴ ∴
，
. . 的直径，
.
∴△AFD为等腰直角三角形，
∴ 在 ∴ ∴ ∵ ∴ 在 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴
∽ . 中， . 中，
.
， .
，
. .
，
.
， .
，
（或6.4）
，根据平行线的判定可得OE∥AC，再由平行线的性质可得
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和角平分线定义可得 ∠BEO=∠C=90°，即可证得结论；（2）连接
中，根据勾股定理求得
.在
角形的性质即可求得线段AC的长.
,根据已知条件易证
.在
.根据同弧所对的圆周角相等及已知条件可得 中求得AE的长，再证明ΔACE∽ΔAED，根据相似三
10．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC ． 设点O到EF、GH的距离分别为x、y ．
（1）若△EOF的面积为S：
①用关于x的代数式表示线段EF的长； ②求S的最大值；
（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．
【答案】 （1）解：①如图1，连接OA ， 交EF于M ，
∵AB＝AC ， O为BC边中点， ∴OA⊥BC ， ∵EF∥BC ， ∴AM⊥EF ， ∵BC＝8， ∴OB＝ BC＝4，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝ ∵点O到EF的距离为为x ， ∴OM＝x ，
∴AM＝OA﹣OM＝3﹣x ， ∵EF∥BC ， ∴△AEF∽△ABC ， ∴ ∴ ∴
②由①知， ∴S＝S△OEF＝ ∵﹣ ＜0， ∴当x＝ 时，S最大＝3
， ， ；
，
＝
＝3，
＝
，
（2）解：如图2，
∵以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合， ∴OE＝OG ， 过点O作OD⊥AB于D ， ∴DE＝DG ， 连接OA ，
由（1）知，OA⊥BC ， OA＝3， 在Rt△AOB中，sinB=
，cosA＝
，
过点E作EP⊥BC于P ， PE＝x ， 在Rt△BPE中，sinB＝ ， ∴BE＝
，
过点G作DQ⊥BC于Q ， GQ＝y ， 在Rt△BQG中，BG＝ ∴DE＝
＝
，
，
，
在Rt△BDO中，BD＝OB•cosB＝ ∴DE＝BD﹣BE＝ ∴ ∴
＝
， ， （Ⅰ）
∵点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合）， ∴0＜y＜3（Ⅱ）， 由（Ⅰ）（Ⅱ）得， ∵x＞0， ∴
，
，
即：
．
【解析】【分析】（1）①连接OA，判断出AO是△ABC的高，AM是△AEF的高，再利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可得出结论；②利用三角形面积公式得出S与x的函数关系式，即可得出结论；（2）先判断出DE=DG，再用三角函数表示出BE，BD，BG，即可得出结论．
11．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（ ，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式； （2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标． 【答案】（1）解：当x=0，y=3， ∴C（0,3）
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x- ). 将c（0，3）代入得：- a=3，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=-2x2+x+3
（2）解：过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N。
∵OC=3，AO=1， ∴tan∠CAO=3，
∴直线AC的解析式为y=3x+3. ∵AC⊥BM,
∴BM的一次项系数为 设BM的解析式为y= ∴BM的解析式为y= 将y=3x+3与y=
。
+b,将点B的坐标代入得：
. 联立解得：x=
,y= .
，解得b= 。
∴MC=BM= ∴∠ACB=45º.
=
∴∆MCB为等腰直角三角形。
（3）解：如图2所示，延长CD，交x轴于点F，
∵∠ACB=45º,点D是第一象限抛物线上一点， ∴∠ECD>45º.
又∵∆DCE与∆AOC相似，∠AOC=∠DEC=90º, ∴∠CAO=∠ECD. ∴CF=AF.
设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2 ， 解得a=4. ∴F（4,0）.
设CF的解析式为y=kx+3,将F（4,0）代入得4k+3=0，解得k= ∴CF的解析式为y= 将y=
x+3.
。
x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0（舍去）或x= .
将x= 代入y= ∴D（ ， ）
x+3得y= .
【解析】【分析】（1）易求得C的坐标，利用交点式设出解析式，再把C的坐标代入可求出；
（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N.由tan∠CAO=3先求出直线AC的解析式，从而求出BM的解析式，两个解析式联立求出M的坐标，再由两点之间的距离求出MC=BM，进而得出∆MCB的形状，求出答案；
（3）延长CD，交x轴于点F，由∆DCE与∆AOC相似可得出CF=AF，利用勾股定理求出F的坐标，由待定系数法求出CF的解析式，再与二次函数的解析式联立求出D的坐标.
12．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）求证：四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由； 【答案】（1）证明：如图1，
∵CE为⊙O的直径， ∴∠CFE=∠CGE=90°． ∵EG⊥EF， ∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°． ∴四边形EFCG是矩形
（2）①存在．
连接OD，如图2①，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°． ∵点O是CE的中点 ∴OD=OC． ∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°， ∴△CFE∽△DAB． ∴
=（ ）2 ．
∵AD=4，AB=3， ∴BD=5， S△CFE=（ = =
）2•S△DAB
××3×4 ．
∴S矩形ABCD=2S△CFE =
．
∵四边形EFCG是矩形， ∴FC∥EG． ∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE， ∴∠GDC=∠FDE． ∵∠FDE+∠CDB=90°， ∴∠GDC+∠CDB=90°． ∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示． 此时，CF=CB=4
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD， 如图2②所示，
此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′， 如图2③所示．
S△BCD=BC•CD=BD•CF″′． ∴4×3=5×CF″′． ∴CF″′= ． ∴ ≤CF≤4． ∵S矩形ABCD=
，
∴×（ ）2≤S矩形ABCD≤×42 ． ∴
≤S矩形ABCD≤12．
．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠CFE=∠CGE=90°，根据垂直的定义可证得∠FEG=90°，再根据四个角是直角的四边形是矩形，即可得证。
（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根
ABCD=2S△CFE=
据相似三角形的性质，可得出S
矩形
，分情况讨论：Ⅰ．当点E在点A
（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处）；Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD；Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′；求出CF的范围，就可求出S矩形EFCG的范围。
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