福州五佳教育奥数精讲-第25讲 数论综合2

第25讲 数论综合2

内容概述

进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．

典型问题

1．算式1534×25=43214是几进位制数的乘法?

【分析与解】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．

因为原式中有数字5，所以不可能为4,2进位，而在十进制中有1534×25=38350＜43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．

2．求方程19[x]－96{x}=0的解的个数．

【分析与解】 有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，

96所以19[x]小于96，即[x]小于19，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组

解．

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96191919952，3，4，51948322496为原方程的解． 进一步计算有0，1，

3．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．

【分析与解】 设这个四位数为abcdm………………………………… ①

2每位数字均加3，并且没有进位，为

2(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)n …………………………………………………②

22有②－①得：3333=nm=（n－m）(n+m) ………………………………③

将3333分解质因数，有3333=3×11×101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8个约数，但是有n+m＞n－m，所以只有4种可能满足题意，一一考察，如下表：

如上表，只有1156，4489满足，即原来这个四位数为1156．

14．将6表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．

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111ab6，化简有(a－6)(b－6)=62=2×2×3×3， 【分析与解】 设有

111ABt (t为己知常数)的解法及解的个数． 评注：形如

111ABt (t为已知常数)类问题，可以通过计算，转化为(A－t)×(B－t)= t2；

t2B=t22a我们t将分解质因数后，再令(A－t)其中一个为t的一个约数(A－t)=a，那么A=a+t，则

(t为已知常数)，

Aatt2Bta所以，一般公式为 (a为t的一个约数)；

x+12设t的约数有x个，则A、B有2组(调换顺序算一种)．

A2t.B2t注意有一组解A、B相等，就是

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5．在给定的圆周上有2000个点．任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；……；依此类推，直至在圆周上标出1993．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．问标有数1993的那个点上标的最小数是多少?

【分析与解】 记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，……

则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有1993的是1+2+3+…+1993=1987021号．

1987021除以2000的余数为1021，即圆周上的第1021个点标为1993．

k(k1)那么1021+2000n=1+2+3+…+k=2，即2042+4000n=k(k+1).

当n=0时，k(k+1)=2042，无整数解；

当n=1时，k(k+1)=6042，无整数解；

当n=2时，k(k+1)=10042，无整数解；

当n=3时，k(k+1)=14042，有118×119=14042，此时标有118；

随着n的增大，k也增大．

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所以，标有1993的那个点上标出的最小数为118．

16.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的3．求

所有这样的三位数．

【分析与解】 设这个三位数为abc，数字和为a+b+c，如果没有进位，那么abc3ab(c3)，显然数字和增加了3，不满足，所以一定有进位，

1(abc)a(b1)(c310)abc3则+3=，数字和为0+(b+1)+(c+3－10)= ，则a+b+c=9，而

c+3必须有进位，所以c只能为7，8，9．

一一验，如下表：

验证当十位进位及十位、个位均进位时不满足．

所以，原来的三位数为207，117或108．

7．将某个17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加．试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数．

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【分析与解】 先假设和的各位数字全是奇数，设这个17位数为abcd，则a+d为奇数，b+c的和小于10，于是十位不向前进位，从而去掉前后各两个两位数字所得的13位数仍具有题述性质．

依次类推6次后，得到一位数，它与自身相加的和的个位数字必是偶数，矛盾.

即开始的假设不正确，所以和中至少有一个数字是偶数．

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