定积分

一、变上限函数

设函数fx在区间a,b上连续，并且设x为a,b上的任一点，于是，fx在区间

a,b上的定积分为

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

fxdx

ax如果上限x在区a,b间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在a,b上定义了一个以x为自变量的函数x，我们把x称为函数fx在区间a,b上变上限函数 记为

ftdt

axxftdtaxb

ax从几何上看，也很显然。因为X是a,b上一个动点，从而以线段a,b为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）

定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计

算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度vtvt0作直线运动，那么在时间区间a,b上所经过的路程s为

sb图 5-10

vtdt

a另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数st，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

即 图 5-11

vtdta'bsbsa

由导数的物理意义可知：stvt即st是vt一个原函数，因此，为了求出定积分

vtdt，应先求出被积函数vt的原函数st，再求st在区间a,b上的增量sasbab即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分abfxdx的一般方法：

'设函数fx在闭区间a,b上连续，Fx是fx的一个原函数，即Fxfx，

则

fxdxabFbFa这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成



bafxdxFxaFbFab

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算1x310xdx2

因为3是x的一个原函数所以

21011132xdxx033 301例2 求曲线ysinx和直线x=0、x=及y=0所围成

图形面积A(5-12)

解 这个图形的面积为

A0sinxdxcosx0图 5-12

cos0112 cos

二、定积分的性质

设fx、gx在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：

性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即

ba(A为常数)

性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即

aAfxdxAfxdxb这个性质对有限个函数代数和也成立。

性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即

fxgxdxfxdxgxdx

aaabbb

以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。

abfxdxbfxdxa性质4 如果将区间a,b分成两个子区间a,c及c,b那么有

这个于区间分成有限个的情形也成立。

下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。

fxdxfxdxfxdx

aacbcb当aAAA12

图 5-13a

图 5-13b

因

为

Abaf(x)dx;Ac1af(x)dx;Ab2cf(x)dxbaf(x)dxcaf(x)bcf(x)dx即性质4成立。

当acafxdxA1A2bfxdxcabfxdx

bc所以fxacfxdxafxdxbcbfxafxdxc显然，性质4也成立。

总之，不论c点在a,b内还是a,b外，性质4总是成立的。

3x21dx例3 求

21x

213x21xdx2113x2dx21xdxx321lnx21 81ln2ln17ln2

例 4 求202sin2x2dx

解

202sin2x2dx2=01cosxdx

20dx20cosxdxx20sinx20sin

2sin2021

1x2例 5 求

01x2dx

解

所以

1x12201xdx11x11x220dx1101x2dx1 所以

2xarctaxn01024

1xdx

12x201xdx12x2200xdx252

121例 6 求1解

2xdx

fxxx0x2x1x00

于是，

21xdxxdx1020xdx

212x2115222

fx例 7 设

x11x111x2x2122x0

求1

22fxdx

解 因为 fx在1,2上分段连续所以112fxdx11fxdxdx2fxdx

1=

1x1dx121x21

3x21x1x1=22=2

例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以加速度a=-5m/s刹车。问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？

解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度

v072km/h721000m20m/ss3600刹车后火车减速行驶。其速度为

vtv0at205t当火车停住时，速度vt0，故从vt205t0

解得

于是在这段时间内，火车走过的距离为

st20m/s5m/s24svtdt044025t205tdt20t20

4254204m40m2 =

即在刹车后，火车需走过40m才能停住。

习题 5-2

1 求下列定积分：

1（1）

321211x2dx (2)

211xdx；x

2(3)

11xx2132dx (4)

cosxsinxdx

0(5)

2431dxx （6）

22costdt

2(7)

(8)

03x3x1x1cos2xcosxsinx21dx

20dx (9)

131sin26xcos2xdx (10)

0sinxdx

fx(11)设

x1x0x10x12,求21fxdx2

2.求由yx与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。

3.一物体由静止出发沿直线运动，速度为v3t，其中,v以m/s单位，求物体在1s到2s之间走过的路程。

22