应用回归分析有哪些方法

应用回归分析有哪些方法

回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。

回归分析是建模和分析数据的重要工具。这些技术主要有三个度量(自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状)。

1、线性回归(Linear Regression)

它是最为人熟知的建模技术之一。线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。

线性回归使用最佳的拟合直线(也就是回归线)在因变量(Y)和一个或多个自变量(X)之间建立一种关系。

用一个方程式来表示它，即 Y=a+b*X + e，其中a表示截距，b 表示直线的斜率，e 是误差项。这个方程可以根据给定的预测变量(s)来预测目标变量的值。

一元线性回归和多元线性回归的区别在于，多元线性回归有(>1)个自变量，而一元线性回归通常只有1个自变量。现在的问题是：我们如何得到一个最佳的拟合线呢?

这个问题可以使用最小二乘法轻松地完成。最小二乘法也是用于拟合回归线最常用的方法。对于观测数据，它通过最小化每个数据点到线的垂直偏差平方和来计算最佳拟合线。因为在相加时，偏差先平方，所以正值和负值没有抵消。

2、逻辑回归(Logistic Regression)

逻辑回归是用来计算「事件=Success」和「事件=Failure」的概率。当因变量的类型属于二元(1 / 0，真/假，是/否)变量时，我们就应该使用逻辑回归。这里，Y的值从0到1，它可以用下方程表示。

odds= p/ (1-p) = probability of event occurrence / probability of not event occurrence

ln(odds) = ln(p/(1-p))

logit(p) = ln(p/(1-p)) = b0+b1X1+b2X2+b3X3....+bkXk

它广泛的用于分类问题。

逻辑回归不要求自变量和因变量是线性关系。它可以处理各种类型的关系，因为它对预测的相对风险指数OR使用了一个非线性的log转换。

为了避免过拟合和欠拟合，我们应该包括所有重要的变量。有一个很好的方法来确保

这种情况，就是使用逐步筛选方法来估计逻辑回归。它需要大的样本量，因为在样本数量较少的情况下，极大似然估计的效果比普通的最小二乘法差。

自变量不应该相互关联的，即不具有多重共线性。然而，在分析和建模中，我们可以选择包含分类变量相互作用的影响。

如果因变量的值是定序变量，则称它为序逻辑回归;如果因变量是多类的话，则称它为多元逻辑回归。

3、多项式回归(Polynomial Regression)

对于一个回归方程，如果自变量的指数大于 1，那么它就是多项式回归方程。如下方程所示：y=a+b*x^2

在这种回归技术中，最佳拟合线不是直线。而是一个用于拟合数据点的曲线。

虽然会有一个诱导可以拟合一个高次多项式并得到较低的错误，但这可能会导致过拟合。你需要经常画出关系图来查看拟合情况，并且专注于保证拟合合理，既没有过拟合又没有欠拟合。

明显地向两端寻找曲线点，看看这些形状和趋势是否有意义。更高次的多项式最后可能产生怪异的推断结果。

4、逐步回归(Stepwise Regression)

在处理多个自变量时，我们可以使用这种形式的回归。在这种技术中，自变量的选择

是在一个自动的过程中完成的，其中包括非人为操作。

这一壮举是通过观察统计的值，如 R-square，t-stats 和 AIC 指标，来识别重要的变量。逐步回归通过同时添加/删除基于指定标准的协变量来拟合模型。

下面列出了一些最常用的逐步回归方法：

标准逐步回归法做两件事情。即增加和删除每个步骤所需的预测。

向前选择法从模型中最显著的预测开始，然后为每一步添加变量。

向后剔除法与模型的所有预测同时开始，然后在每一步消除最小显着性的变量。

这种建模技术的目的是使用最少的预测变量数来最大化预测能力。这也是处理高维数据集的方法之一。

5、岭回归(Ridge Regression)

岭回归分析是一种用于存在多重共线性(自变量高度相关)数据的技术。在多重共线性情况下，尽管最小二乘法(OLS)对每个变量很公平，但它们的差异很大，使得观测值偏移并远离真实值。岭回归通过给回归估计上增加一个偏差度，来降低标准误差。

上面，我们看到了线性回归方程。还记得吗?它可以表示为：y=a+ b*x

这个方程也有一个误差项。完整的方程是：

y=a+b*x+e (error term), [error term is the value needed to correct for a prediction error between the observed and predicted value]

=> y=a+y= a+ b1x1+ b2x2+....+e, for multiple independent variables.

在一个线性方程中，预测误差可以分解为2个子分量。一个是偏差，一个是方差。预测错误可能会由这两个分量或者这两个中的任何一个造成。在这里，我们将讨论由方差所造成的有关误差。

岭回归通过收缩参数 λ(lambda)解决多重共线性问题。

除常数项以外，这种回归的假设与最小二乘回归类似;它收缩了相关系数的值，但没有达到零，这表明它没有特征选择功能，这是一个正则化方法，并且使用的是L2正则化。

6、套索回归(Lasso Regression)

它类似于岭回归。Lasso (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)也会惩罚回归系数的绝对值大小。此外，它能够减少变化程度并提高线性回归模型的精度。

Lasso 回归与 Ridge 回归有一点不同，它使用的惩罚函数是绝对值，而不是平方。这导致惩罚(或等于约束估计的绝对值之和)值使一些参数估计结果等于零。使用惩罚值越大，进一步估计会使得缩小值趋近于零。这将导致我们要从给定的n个变量中选择变量。

除常数项以外，这种回归的假设与最小二乘回归类似;

它收缩系数接近零(等于零)，确实有助于特征选择;

这是一个正则化方法，使用的是L1正则化;

如果预测的一组变量是高度相关的，Lasso 会选出其中一个变量并且将其它的收缩为零。

7、回归(ElasticNet)

ElasticNet 是 Lasso 和 Ridge 回归技术的混合体。它使用 L1 来训练并且 L2 优先作为正则化矩阵。当有多个相关的特征时，ElasticNet 是很有用的。Lasso 会随机挑选他们其中的一个，而 ElasticNet 则会选择两个。

Lasso 和 Ridge 之间的实际的优点是，它允许 E

lasticNet 继承循环状态下 Ridge 的一些稳定性。

在高度相关变量的情况下，它会产生群体效应;

选择变量的数目没有限制;

它可以承受双重收缩。