量子力学

一、填空题：

1、在一般情况下，用＿＿＿＿物理常数来界定量子领域和经典领域的界限。

2、同一个量子态，在不同基矢的表象中的关系，通过＿＿＿＿矩阵相联系，这种变换也称为＿＿＿＿，变换关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。同一个力学量算符在这种情况下的变换关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3、在一维势场中运动的粒子，若势能对称于原点，即VxVx，则粒子的定态波函数是＿＿＿＿或＿＿＿＿。

4、由测不准关系＿＿＿＿＿＿＿＿，当两力学量算符对易，它们所对应的力学量值＿＿＿＿确定。否则，它们所对应的力学量值＿＿＿＿确定。

5、de Broglie提出实物粒子具有波动与粒子两重性，即微粒的粒子性（能量E，动量P）与波动性（频率v，波长）的关系为＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿。

6、波函数的物理意义（统计诠释）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7、如果系统的两种状态对应的波函数x,t和x,t满足x,tcx,t（c为常数），则

x,t和x,t描述的状态是＿＿＿＿。（相同，不同）

ˆBˆ和Bˆ和BˆAˆ，Aˆ都为Hermite算符，如果Fˆ为Hermite算符，则Aˆ满足＿8、已知F＿＿＿＿＿＿＿。

9、在一维势场中运动的粒子，若势能对称于原点，即VxVx，且该系统不存在简

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并，则粒子的定态波函数有确定的＿＿＿＿。

10、本征值为分离谱的Hermite算符的本征波函数（x,n1,2,......）满足的正交归一关系式为＿＿＿＿＿＿＿，本征值为连续谱的Hermite算符的本征波函数（x，为动量的本征值）满足的正交归一关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿。

11、设谐振子处在基态xAe12x22，式中为常数，该波函数的归一化常数因子A为

2x2edx020 ＿＿＿＿＿＿。

12、根据不确定关系式＿＿＿＿。

xp2，试问当粒子处在确切的位置x0，它的却是涨落量p为

13、由两个全同粒子组成的Fermi系统的状态波函数为x1,x2，当交换这两个粒子时此系统的波函数x2,x1=＿＿＿＿。

14、电子自旋是电子本身的内禀属性，它在空间任何方向的投影只能取＿＿＿＿或＿＿＿＿。

15、利用de Broglie关系式，将平面波Aeik•xwtp写成用动量和能量E表示的表达

式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

16、在一般情况下，波函数满足的三个标准条件为＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿。

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17、氢原子中电子相对子核的能级公式为

Ene42n22,n1,2,3...，式中和e分别是电子

的质量和电荷数，对应的定态波函数为nlmr,,RnlrYlm,，其中Rnlr为径向波函数而

Ylm,为球谐函数，该系统的能级简并度为＿＿＿＿，当考虑了电子的自旋时，该系统的简

并度又为＿＿＿＿。

18、由两个全同粒子组成的Bose系统的状态波函数为x1,x2，当交换这两个粒子时此系统的波函数x2,x1=＿＿＿＿。

ˆAˆ的本征方程为Aˆ取的值为＿＿nnn，则系统处在状态n时测量力学量A19、已知A＿＿，取该值的概率为＿＿＿＿。

ˆ,Hˆˆ为体系的守恒量，则A20、若力学量A=＿＿＿＿。

21、微观粒子也具有波粒二象性，其粒子性和波动性通过＿＿＿＿和公式联系起来，这公式称为de Broglie公式。

22、描写粒子的波，按M.Born解释，它在空间一点的分布几率与＿＿＿＿＿＿成正比。

23、量子力学的规律与选用的表象无关，因此，态函数和力学量也可以不用具体表象描写。而用＿＿＿＿＿＿描写，基本符号为＿＿＿＿和＿＿＿＿。

24、力学量是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

25、电子自旋角动量是＿＿＿＿＿＿＿＿的表征，它在空间任一方向的投影的取值为＿＿＿＿＿＿＿＿。

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26、算符是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。大部分力学量在量子力学中的表达式可由该力学量的经典表达式求出，只是把式中的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

ˆx27、动量p在坐标表象中的形式为＿＿＿＿。

ˆ和Bˆ和Bˆ能够同时被测量，则Aˆ满足的条件是＿＿＿＿＿＿＿28、如果Hermite算符A＿＿＿＿。

*ˆCdˆ29、Hermite算符C的定义是=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

30、微扰近似的显著特点是采取＿＿＿＿＿＿的方法。

二、判断题：

ˆˆ1、Lx在状态中的值为确定的；则Lx在该状态中的值也是唯一确定的。 （ ）

ˆ和Bˆ+Bˆ都是Hermite算符，则Aˆ也为Hermite算符。 （ ） 2、A3、与是系统的状态波函数，它们满足c，则与描述同一状态。（ ）

2、定态指的是所对应的波函数不随时间变化的状态。 （ ）

3、守恒量在任何状态中的平均值不随时间改变。 （ ）

4、交换任何两个粒子，全同系统的任何可观测量是不变的。 （ ）

4

5、Dirac符号表示的左矢和右矢可以相加减。 （ ）

三、简答题：（每小题5分）

1、用数学表达式描述态叠加原理，并说明其物理内容及与经典概念的区别。

2、给出力学量对应的本征方程的数学表达式（表明其中符号的物理定义），并简述方程的物理意义。

3、设体系由两个无相互作用的全同粒子组成，每个粒子只能处在两个单粒子态1和2中的一个态，试求体系可能态的数目，并写出相应的波函数。

4、氢原子波函数为nlmr,,RnlrYlm,，其中径向波函数Rnlr和球谐函数Ylm,满足归一化条件。请分别给出电子在半径为r到rdr的球壳内，以及在方向,附近立体角

dsindd内的几率。

5、简述M.Born提出的波函数概率解释的物理内容。

6、说明本征方程的物理意义。

7、当粒子的几率密度与时间无关时，则称该粒子所处的状态为定态，试判定下列波函数xeiEtxeiEt所描述的状态是否为定态？（其中x，E与时间无关）。

四、证明题：（每小题5分）

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1、设q,pi，fq是q的可微函数，证明：

p,pfip22dfdq

2、证明Hermite算符的本征值为实数。

3、设系统的势函数VxVx，x是对应的不含时Schrödinger方程的解（对应的能量为E）。证明：x也是Schrödinger方程的解（对应的能量为E）。

ˆ,pˆxi4、证明：x

ˆˆ1iFˆˆ是Hermite算5、设幺正算符U可以写成U的形式，是一个无限小量，证明F符。

12126、若

ˆaˆipˆx，

ˆaˆipˆxˆˆˆˆ1。 a,ax,pi，利用，证明：

ˆbˆ,BˆˆCBxˆˆˆAˆˆnCCABB7、已知算符，和满足对易关系，证明：在的本征态（n）

中的平均值为0。

ˆFˆnn，证明：当mn时，它们所对应的本征F8、Hermite算符的本征方程为n波函数m和n之间相互正交。

9、证明在nlm态下，电子的电流分布密度只有

11ereerrrsin）

j不为零，并给出

j的大小。（其中

10、证明Hermite算符的本征值为实数。

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五、综合题：（50分）

1、电量为e，而质量为m的电子在加速电压V作用下由静止开始加速，求电子的de Broglie波长。

aa,2、粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱宽度为a，即x在22区域内势函数为零，

在其余范围势函数为无穷。求解该粒子的Schrödinger方程

iˆx,tx,tHt的解。

3、粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱宽度为a，即x在0,a区域内势函数为零，在其余范围势函数为无穷。求解该粒子的Schrödinger方程

iˆx,tx,tHt的解。

0xa0,Vx,x0或x0 4、质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，而势阱表示为

（1）求解该粒子的能量本征波函数和本征值。

ˆx,tx,tHt。

（2）求解该粒子的Schrödinger方程

iˆkxk（3）如果该粒子受到微扰作用H，为常数。求能量和波函数的一级修正。

010ˆ2101Lx2ˆˆˆ2010LLLˆxzL5、已知在和的共同表象中，算符的矩阵为，求x的本征值及

归一化的本征态矢。

7

6、设氢原子处于状态

r,,121R21Y10R21Y11R20Y00222，求氢原子的角动量的平方、

角动量的z分量的可能值及其对应几率，以及它们各自的平均值（氢原子的能量公式为：

Ene422n2）

7、设氢原子处于状态为

r,,121R21rY10,R21rY11,R20rY00,222，求氢原子能量、角动量平方

和角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（氢原子的能量公式为：

Enes422n2）

EbˆHˆˆaHbE0 其中a，b为小量实数，且H0的本征值问题为非简并8、在表象中，

问题，用微扰法求所有能级的一级和二级修正。

010ˆ2101Lx2ˆˆˆ2010LLLˆ，9、设已知在L和z的共同表象中，算符x和z的矩阵分别为100ˆ000Lz001Lˆ求y的矩阵表示和它的本征值及归一化的本征函数。

E10c0ˆH10、设Hamilton量在0表象中的矩阵表示是0E2，E3各不相等，求能量的一级和二级近似。

0c0E2d0d00E3，c、d为实小量，E1，

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