第三章 维随机变量及其分布

摘要：设为二维连续型随机变量其概率密度为，则的分布函数为. 此时积分区域是直线左下方的半平面（如图3-2），化为累次积分为. y. 的概率密度公式. x+y=z. 当与相互独立时 G ... 关键词：概率,公式 类别：专题技术

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YY第三章 n维随机变量及其分布

[本章要求]

1．了解n维随机变量的概念,重点掌握二维随机变量的概念,分布函数,分布列,概率密度及边缘分布等。

2．掌握并理解二维随机变量的联合分布与边缘分布的关系。 3．理解随机变量独立性的概念。 4．掌握求随机变量函数的分布的方法。

[内容提要与疑难解析]

一、随机变量的定义

设E是一个随机试验，它的样本空间记作S{e}，设XX(e)和YY(e)是定义在

S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机变量或随机向量。

由定义可以看出，随机变量不过是一个随机取向量值的变量。从几何图形上看，二维随机向量(X,Y)可以看作平面上的“随机点”，它的随机取值相当于在平面上随机取点。固然可以对随机向量的每个分量分别进行研究，但二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个变量的相互关系，因此把(X,Y)还需作为一个整体来进行研究，对许多问题来说这是十分必要的。 二、二维随机变量的分布函数

定义1 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F(x,y)P{(Xx)(Yy)}P{Xx,Yy}

称为(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和而称

的联合分布函数。

FX(x)P{Xx,Y}F(x,) FY(y)P{X,Yy}F(,y)

为(X,Y)关于X和

性质

F(x,y)是变量x和y的不减函数。

2 0F(x,y)1且

的边缘分布函数。

对于任意固定的y，F(,y)0

YY对于任意固定的x，F(x,)0；F(,)0；F(,)1。

3F(x,y)F(x0,y)；F(x,y)F(x,y0)即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连

续。

对于任意(x1,y1),(x2,y2)；x1x2,y1y2下述不等式成立，

F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)F(x1,y2)0。

值得注意的是：如果一个二元函数要成为某一个二维随机变量的分布函数，必须满足上述四个条件，如果仅仅满足上述1~3这三个条件，它还不一定能成为某个二维随机变量的分布函数，例如：

0,F(x,y)1,当xy0,当xy0.

容易验证，这个函数满足条件1~3，但不满足条件 (-1,3) (3,3) 。

我们考虑x,y平面中任一图形，（如图3-1），它的三个 顶点在直线yx以上，一个在此直线以下，由的关系 式有

P{1X3,1Y3} (-1,-1) y=-x (3,-1) F(3,3)F(3,1)F(1,3)F(1,1)

11101 图3-1

这是不可能的，因为一个事件的概率不能为负，故F(x,y)不可能是(X,Y)的分布函数。

另外从定义中可以看出：二维随机变量(X,Y)的联合分布函数能唯一确定边缘分布函数，但反之不一定。

三、二维随机变量的分布律与概率密度

离散型随机变量的分布律

定义2 如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对时，则称(X,Y)是离散型的随机变量。

显然二维随机变量(X,Y)是离散型的，当且仅当X和

都是离散型的随机变量。

都是离散型的

这是因为若(X,Y)是离散型的，它的一切可能取值为(xi,yj),i,j1,2,，则X取的全部可能值必为x1,x2,；Y取的全部可能值必为y1,y2,，所以X和随机变量。

反之，若X取的全部可能值为x1,x2,；Y取的全部可能值为，y1,y2,则(X,Y)取的全部可能值的个数是有限的或可列的，所以(X,Y)为离散型随机变量。

定义3 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为(xi,yj),i,j1,2,

Y记P{Xxi,Yyj}Pij,i,j1,2,称之为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X和

的联合分布律。

记PiPijP{Xxi},i1,2,

j1 PjPijP{Yyj},j1,2,

i1分别称Pi(i1,2,)和Pj(j1,2,)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。关于边缘分布律这个名称的含义通过下面的例子将看得很清楚。

例1 一袋中装有2只白球及3只黑球，现从袋中随机地取球2次，定义下列随机变量

1,X0,第一次取出白球1, Y第一次取出黑球0,第二次取出白球

第二次取出黑球（1） 进行有放回的取球，（2）采用不放回取球 则(X,Y)的联合分布律与边缘分布律由下表给出

表1有放回取球的概率分布 表2不放回取球的概率分布 Y X 0 1 P{Y=yj}=Pj Y X 0 1 Pj 0 1 P{X=xi} =Pi

3323332233  0  

55554545553222232212  1   55555545453232 1 Pi 1 5555在上面两个表中，中间部分是(X,Y)的联合概率分布，而边缘部分是X,Y的概率分布，它们是由联合分布经同一行或同一列的相加而得到，“边缘”二字由上述双行表的特点而来。

从上述两个表中，我们可以看到X及Y的边缘分布是相同的，但它们的联合分布却不相同，这里可以看出联合分布不能由边缘分布唯一确定，也就是说二维随机变量的性质并不能由它两个分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，这也说明了研究多维随机变量的作用。

连续型随机变量的概率密度

YY定义4 设二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)，使得对于任意的x,y有F(x,y)或X和Y的联合概率密度。

而fX(x)f(x,y)dy；fY(y)f(x,y)dx

yxf(u,v)dudv

则称(X,Y)是连续型的随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度

为(X,Y)关于X和是连续型的随机变量。

的边缘概率密度。

都

从定义中可以看出，若(X,Y)是连续型随机变量，当且仅当它的两个分量X和联合概率密度f(x,y)具有如下性质

1

f(x,y)0

f(x,y)dxdy1

2F(x,y)若f(x,y)在点(x,y)连续，则有f(x,y)

xy G是xoy平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为

P{(X,Y)G}f(x,y)dxdy

G上述四条性质中，1和2是联合概率密度最基本的性质。也就是说，任何一个定义在整个平面上的非负二元函数f(x,y)，如果具有上述性质1和2，则它一定可以作为某个二维随机变量的概率密度。

由性质可以看出，事件{(X,Y)G}的概率等于以曲面Zf(x,y)为顶，平面区域G为底的曲顶柱体的体积。 四、条件分布，随机变量的独立性

若(X,Y)为二维随机变量，在Yy的条件下X的分布通常指的是：在Yy的条件下，X的取值不超过x的概率（x的任意实数），称为Yy的条件下,X的条件分布函数。记作P{XxYy}或FXY(xy)。

为避免出现P{Yy}0的情况，因此通常采用极限形式来定义条件分布函数。

P{XxyYy} FXY(xy)P{XxYy}lim00limP{Xx,yYy}F(x,y)F(x,y)lim 0F(y)F(y)P{yYy}YY同样可以定义，在Xx的条件下Y的条件分布函数，

FYXYP{YyxXx} (yx)P{YyXx}lim0lim0F(x,y)F(x,y)

FX(x)FX(x)定义5 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Yyj}0，则称

P{XxiYyj}P{Xxi,Yyj}P{Yyj}PijPj,i1,2,,n

为在Yyj条件下随机变量X的条件分布律。

同样，对于固定的i若P{Xxi}0，则称

P{YyjXxi}P{Xxi,Yyj}P{Xxi}PijPi,j1,2,,n

为在Xxi条件下，随机变量Y的条件分布律。

定义6 设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，边缘概率密度分别为fX(x),fY(y)，则

FXY(xy)xf(u,y)dufY(y)xf(u,y)du fY(y)f(x,v)dv fX(x)FYX(yx)yf(x,v)dvfX(x)y分别称为在条件Yy下，X的条件分布函数和条件Xx下，Y的条件分布函数。

而FXY(xy)f(x,y)f(x,y)；FYX(yx)， fY(y)fX(x)分别称为在条件Yy下，X的条件概率密度和在条件Xx下，Y的条件概率密度。

定义7 设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对所有的x,y有

P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}

即F(x,y)FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y相互独立。 为连续型随机变量，则X和Y相互独立的充要条件是

f(x,y)fX(x)fY(y)

为离散型随机变量，则X和Y相互独立的充要条件是

PijPiPj后得到的。

i,j1,2,

其中PijP{Xxi,Yyj}，Pi是由Pij关于j求和后得到的；Pj是由Pij关于i求和

随机变量的独立性概念是概率论中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一。 从定义7看出，随机变量X,Y相互独立是指随机事件{Xx}和{Yy}相互独立，此时由边缘分布可以唯一地确定联合分布。

在理论上可以严格地证明：如果两个随机变量X,Y相互独立；那么，它们的函数也相互独立，例如，X与Y独立，则X2与Y2也独立，(Xa)与(Yb)也独立，（a,b为任意常数）等等。

而在实际问题中，常常由随机试验的独立性来判断随机变量的相互独立性。 五、两个随机变量函数的分布

1．ZXY的分布

设为二维连续型随机变量其概率密度为f(x,y)，则ZXY的分布函数为

FZ(z)P{Zz}xyzf(x,y)dxdy

此时积分区域G:xyz是直线xyz左下方的半平面（如图3-2），化为累次积分为

zyzFZ(z)[f(x,y)dx]dy[f(uy,y)dy]du y Z的概率密度公式

fZ(z)f(zy,y)dyf(x,zx)dx x+y=z 当X与Y相互独立时 G fZ(z)f(zy,y)dyfX(zy)fY(y)dy o x

fX*fY

上述fX(zy)fY(y)dy，称为fX,fY的卷积记作 图3-2 fX*fY，

卷积满足交换律和结合律，

fX*fYfY*fX， (fX*fY)*fZfX*(fY*fZ) 几个重要的随机变量和的分布

2（1） 若X与Y相互独立，且X~N(1,12),Y~N(2,2) 2则ZXY~N(12,122)。

（2） 若X与Y相互独立，且都服从分布，即X~(1,),Y~(2,)则

ZXY~(12,)。

分布

若随机变量X的概率密度为

x1ex,x0;fX(x)()

0,x0.其中0,0为两个参数，()x1exdx 为伽马(Gamma)函数，则称随机

0变量X服从参数为和的分布，简记为X~(,)。

特别，当n1,时，分布的概率密度转变为 22nx1122xe,x0;n2n fX(x)2()2x0.0,称为自由度为n的2—分布，简记为2(n)。

（3） 若X与Y相互独立且都服从2分布，即X~2(n1),Y~2(n2)， 则ZXY~2(n1n2)。

（4） 若X与Y相互独立且都服从二项分布，即X~b(n1,p),Y~b(n2,p)， 则ZXY~b(n1n2,p)。

（5） 若X与Y相互独立且都服从Poisson分布,即X~P(1),Y~P(2) 则ZXY~P(12)

注意上述（4）、（5）中两个分布都是离散型的。 2．ZXY的分布

设为二维连续型随机变量其概率密度为f(x,y)，则ZXY的分布函数为

FZ(z)P{Zz}f(x,y)dxdy

xyz这里积分区域G:xyz是直线xyz左上方的半平面 （如图3-3），化为累次积分为

zyFZ(z)[f(x,y)dx]dy，固定z和y对积分 y yzyzf(x,y)dx作变换，令xuy，得 x-y=z f(x,y)dxf(uy,y)du x

zyzz于是FZ(z)[f(x,y)dx]dy  f(uy,y)dydu 图3-3 由概率密度定义可得，Z的概率密度为

fZ(z)f(zy,y)dy

当X,Y相互独立时有fZ(z)fX(zy)fY(y)dy．

3．ZX Y设的概率密度为f(x,y)，则ZX的分布函数为 YFZ(z)P{Zz}f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy

G1G2其中G1,G2如图3-4所示。

其概率密度为 y fZ(z)yf(yz,y)dy 当X,Y相互独立时 G1 fZ(z)概率密度。

yfX(yz)fY(y)dy x

其中，fX,fY分别表示关于X、关于Y的边缘 G2 几个重要的随机变量商的分布 图3-4 （1） 若X~N(0,1),Y~2(n)，且X,Y相互独立， 那么，随机变量t其概率密度为

XYn服从自由度为n的t—分布（学生分布）。

(ft(x)n1)n1x222 (1)n2n()2其中，()x1exdx为伽马函数。

022（2）若随机变量m和n相互独立，分别服从自由度为m和n的2分布，那么，22随机变量(mm)(nn)服从自由度为(m,n)的F分布。

其概率密度为

n1(n1)122[(n1n2)2](n1n2)y,y0 f(x)P(n2)P(n2)[1(nyn)](n1n2)21212y00,4．ZXY的分布

设随机变量的概率密度为f(x,y)，其边缘概率密度分别为fX(x),fY(y)，那么容易

证明它们乘积的概率密度为

fZ(z)当X,Y相互独立时

z1z1f(x,)dxf(,y)dy。

xxyyz1z1fZ(z)fX(x)fY()dxfX()fY(y)dy。

xxyy5．Mmax(X,Y)及Nmin(X,Y)的分布

设X,Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y)

P{Mz}P{Xz,Yz}P{Xz}P{Yz}

即Fmax(z)FX(z)FY(z) 同理可得

Fmin(z)1[1FX(z)][1FY(z)].

[典型例题]

例1 一整数n等可能地在1,2,3,,10十个值中取一个值，设dd(n)是能整除n的正整数的个数，FF(n)是能整除n的素数的个数（注意1不是素数），试写出d和F的联合分布律和边缘分布律。

解 素数是指一个大于1的整数，除了能被1和它本身整除外再不能被其它的整数整除这样的数称作素数；否则就称作合数。

当n等可能地在1,2,3,,10中取值时，dd(n)的可能取值为1,2,3,4， 其中d(1)1,d(2)d(3)d(5)d(7)2,d(5)d(9)3,d(6)d(8)d(10)4 而F(n)的可能取值为0,1,2；其中

F(1)0,F(2)F(3)F(4)F(5)F(7)F(8)

F(9)1,F(6)F(10)2

1所以P{d(n)1,F(n)0}P{n1}

10P{d(n)1,F(n)1}P{}0 P{d(n)1,F(n)2}P{}0 P{d(n)2,F(n)0}P{}0

P{d(n)2,F(n)1}P{(n2)(n3)(n5)(n7)}P{n2}P{n3}P{n5}P{n7}4 10

P{d(n)2,F(n)2}P{}0 P{d(n)3,F(n)0}P{}0

P{d(n)3,F(n)1}P{(n2)(n9)}P{n2}P{n9}2 10P{d(n)3,F(n)2}P{}0 P{d(n)4,F(n)0}P{}0 P{d(n)4,F(n)1}P{n8}1 102 10P{d(n)4,F(n)2}P{(n6)(n10)}P{n6}P{n10}由上述计算得(d(n),F(n))的分布律，及其边缘分布律如下

F(n) d(n) 1 2 3 4 P{F(n)=j}

0 1/10 0 0 0 1/10 1 0 4/10 2/10 1/10 7/10 2 0 0 0 2/10 2/10 P{d(n)=i} 1/10 4/10 2/10 3/10 1

例2 从一个装有3个红球，2个白球和4个黄球的 y 盒子中，任意取出3个球，设X,Y分别表示取出的白球数 (1.5,1.5) 和红球数，试求(X,Y) 的联合分布律，边缘分布律和(X,Y) G 落入区域G{(x,y)x1.5,y1.5}内的概率（如图3-5）。 o x

解 显然，X,Y均为随机变量，X的全部可能取值

为0,1,2；Y的全部可能取值为0,1,2,3；由于题意限制只取出 图3-5

3个球，因此必须满足XY3，在图5中，我们把(X,Y)取的全部可能值用*表示出

来，用{Xi,Yj}表示取出的三个球中有i个白球，j个红球，它的概率为

i3(ij)C2C3jC4PijP{Xi,Yj},0ij3 3C9计算结果如下：

X Y 0 1 2 3 P{X=xi}

418121350

8484848484122464201

84848484437002

84848420451811 P{Y=yj}

84848484P{X1.5,Y1.5}ij(xi,yj)GPP{X0,Y0}P{X0,Y1}

P{X1,Y0}P{X1,Y1}58 84例3 设(X,Y)的概率密度为

ax22xy2,f(x,y)0,0x1,0y1其它

试求（1）常数a

（2）分布函数F(x,y)

（3）边缘概率密度fX(x),fY(y)

（4）求(X,Y)落在区域G{(x,y)xy1}（如图3-6中带阴影部分）内的概率。

解 （1）利用联合概率密度的性质2）有

11111f(x,y)dxdy(ax22xy2)dxdya y 0033由此式得a2 x+y= 1 （2）由分布函数的定义，并注意到f(x,y)在不同区 域上的具体表达式。 o x 当x0或y0时， xyxyF(x,y)f(u,v)dudv0dxdy0 图3-6

当0x1或0y1时

F(x,y)xy2x3x2y3f(u,v)dudv2(uuv)dxdy

3xy22当0x1，y1时

F(x,y)xyf(u,v)dudvx102x3x202(uuv)dxdy3

22当0y1，x1时

F(x,y)xyf(u,v)dudv100y2yy32(uuv)dxdy

322当y1，x1时

F(x,y)xyf(u,v)dudv11002(u2uv2)dxdy1

因此，(X,Y)的联合分布函数为

0;3232xxy;332xx2F(x,y);32yy3;31;x0或y0,0x1,0y1,0x1,y1,x1,0y1,x1,y1,

（3）当0x1时，

fX(x)f(x,y)dy2(x3xy2)dy2x2012x 31当x为其它值时，因为f(x,y)0，所以

fX(x)f(x,y)dy0dy0

0因此，

222xx,0x1 fX(x)3其它0,类似地，可得

22y,0y1 fX(x)3其它0,（4）P{(x,y)G}f(x,y)dxdyGxy1f(x,y)dxdy11y002(x2xy2)dxdy1 5e(xy),例4 设(X,Y)概率密度为f(x,y)0,x0,y0其它

试求(1)(X,Y)的分布函数F(x,y).

(2)(X,Y)边缘分布函数及边缘概率密度. (3)P{0X1,0Y1}. 解 (1)当x0,y0时

F(x,y)xyf(u,v)dudvx0y0e(uv)dudveduevdv(1ex)(1ey)00xuy

当x0或y0时,

F(x,y)xyf(u,v)dudvxy000dudv0

(1ex)(1ey)，因此,F(x,y)0，x0,y0其它.

1ex,(2)FX(x)F(x,)limF(x,y)y0,1ey,FY(y)F(,y)limF(x,y)x0,于是,得到

x0. x0y0. y0ex,x0ey,y0, fY(y). fX(x)0,x00,y0(3) P{0X1,0Y1}eGxy1dxdyedxeydy(1)2.

00e1x1例5 设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,

1,f(x,y)A0,(x,y)G其它则称(X,Y)在G上服从均匀分布,假定G为yx及yx2所围成的区域(图3-7),求(X,Y)的概率密度及边缘概率密度.

解 区域G的面积A10x2dydxx1 66,所以, f(x,y)0,(x,y)G其它 y y=x2 关于X的边缘概率密度为 1 y=x x6dy,0x1 G fX(x)f(x,y)dyx2其它0,6(xx2),即,fX(x)0,0x1其它 1 x

关于Y的边缘概率密度为 图3-7

fY(y)y6dx,f(x,y)dyy0,0y1其它

6(yy),0y1即,fY(y).

其它0,例7 设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)A(Barctan数A,B,C及(X,Y)的概率密度.

xy)(Carctan),求常23解 由于F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数,所以F(x,y)必满足分布函数的性质

1~5,由性质2可知,对于任意固定的y,F(,y)0

xy即limF(x,y)limA(Barctan)(Carctan)0 xx23yA(B)(Carctan)0

23由于y的任意性,可知B,

2同理可确定C2

再由F(,)1,可得A(所以, A1222)(2)1,即A12.

2,B2,C2.

由随机变量(X,Y)的概率密度性质3可知,

112F(x,y)112332f(x,y)22x,y 22xy1(x)21(x)24x9x23例8 有12件产品,其中有6件为一等品,2件为二等品,4件为三等品,从中不放回地取3件,设其中一等品数为X,二等品数为Y,试求Y1条件下X的条件分布律.

解法1 利用公式P{XxiYyj}分布律.

为了方便计算,设抽取的3件产品中恰有Z件三等品. 先考虑X,Y的可能取值.X0,1,2,3 Y0,1,2 于是

PijPj,i1,2,,n,首先求(X,Y)的分布律及边缘

P{Xi,Yj}P{Xi,Yj,Z(ij)}i3(ij)C6C2jC4,i0,1,2,3,j0,1,23C12

其中i在0,1,2,3中取值,j在0,1,2中取值且满足0ij3,结果如下表

Y X 0 1 2 3 P{Y=yj}

2183010600

110110110110110624154501

110110110110235002

110110110104545101 P{X=xi} 110110110110

于是可得条件分布律

6P{X0,Y1}1106P{X0Y1}

4545P111024P{X1,Y1}11024 P{X1Y1}45P14511015P{X2,Y1}11015 P{X2Y1}4545P1110P{X3Y1}P{X3,Y1}00. 45P1110解法2 从问题的实际含义来考虑,求在Y1的条件下的条件分布律,相当于从12件产品中除掉全部二等品,在剩下来的10件产品中任取2件(第三件肯定是二等品),求其中含有一等品件数的分布律,这时可直接求出

2C46 P{X0Y1}245C1011C5C24 P{X1Y1}2445C102C615 P{X2Y1}2C1045P{X3Y1}P{}0.

例9 以X记某医院一天出生的婴儿的个数,Y记其中男婴的个数,设X,Y的联合分

e14(7.14)m(6.68)nm布律为P{Xn,Ym}m!(nm)!求(1)条件分布律

(2)写出当X20时Y的条件分布律. 解 由公式P{XnYm}m0,1,2,,nn0,1,2,

P{Xn,Ym}

P{Ym}e14(7.14)m(6.68)nm由于P{Xn,Ym}m!(nm)!m0,1,2,,nn0,1,2,

e14(7.14)m(6.68)nm而P{Ym}P{Xn,Ym}

m!(nm)!n0nme14(7.14)m m!(6.68)nme14(7.14)m6.68e (nm)!m!nme7.14(7.14)m .

m!e6.68(6.68)nm所以,P{XnYm},nm,m1,

(nm)!e14(7.14)m(6.68)nm又由于P{Xn}P{Xn,Ym}

m!(nm)!m0m0nn e141e14(14)n(7.146.68),n0,1,2,

n!n!nm所以,P{YmXn}Cn(0.15)m(0.49)nm,m0,1,2,n

m显然, P{YmX20}C20(0.15)m(0.49)nm,m0,1,2,20.

例10 设随机变量(X,Y)的概率密度为

1,yx,0x1,f(x,y)

其它0,求条件概率密度fYX(yx),fXY(xy).

解 由公式fYX(yx)f(x,y)fX(x);fXY(xy)f(x,y)fY(y), 而fX(x)f(x,y)dy0dy1dy0dy2x

xxxx2x,所以,fX(x)0,0x1其它;

由于fY(y)f(x,y)dx

当y0时,fY(y)0dx1dy0dy1y

xxxyx当y0时,fY(y)0dx1dy0dy1y

xxy1y,所以,fY(y)0,y1其它 ;

1，于是,当0x1时,fYX(yx)2x0,11y，当y1时, fXY(xy)0,yx其它.

yx1其它.

3x23，例11 设X关于Y的条件概率密度为fXY(xy)y0,5y4,度为fY(y)0,0y1其它1,求P{X}.

20yx其它,而Y的概率密

解 设随机变量X,Y的联合概率密度为f(x,y)则

15x2y,f(x,y)fY(y)fXY(xy)0，0y1,0xy其它

所以,

fX(x)1f(x,y)dy15x2ydy15x2(1x2)x2115x2(1x2)2.

0x1115147于是, P{X}1fX(x)dx1x2(1x2)dx.

2264228xy,例12 (X,Y)的概率密度为f(x,y)0,0xy1其它,问X与Y是否独立?

解 由于X与Y相互独立的充分必要条件为f(x,y)fX(x)fY(y),fX(x),fY(y)分别为X,Y的边缘概率密度,而

fX(x)f(x,y)dy8xydy4x(1x2),x10x1,

fY(y)f(x,y)dx8xydy4y4,0y0y1,

显然,f(x,y)fX(x)fY(y),所以,X与Y不独立.

例13 设X,Y是相互独立的随机变量且都服从[0,1]上的均匀分布,试求方程

a22XaY0有实根的概率.

解 方程有实根条件为4X24Y0,即X2Y而 y 1,fX(x)0,0x11,; fY(y)其它0,0y1其它. y=x2 由于X,Y相互独立,所以X,Y的联合概率密度为 o 1 x 1,f(x,y)0,20x1,0y1其它 图3-8

1x21所以P{XY}f(x,y)dxdydx1dy.

003G二维连续随机变量函数的概率密度:

1. 两个随机变量的密度都比较简单时,用直接积分法求分布函数,求导得概率密度. 例14 X,Y是相互独立的随机变量,概率密度分别是

1,fX(x)0,求ZXY的概率密度.

解 FZ(z)P{XYz}当z0时,FZ(z)0,所以当0z1时,

xyz0x1ey,;fY(y)其它0,y0其它

xyzf(x,y)dxdy

zzxfZ(z)0.

00f(x,y)dxdydxedy[e]0yzyzx0dx(1exz)dx

0zzez(ez1)z1ez

所以,fZ(z)1ez. 当z1时,

xyz1zx11f(x,y)dxdydx00zxeydy[ey]0dx(1exz)dx

001ez(ez1).

所以fZ(z)ez(e1).

z00,0z1. 于是,fZ(z)1ez,ez(e1),z1这种方法的特点是没有新知识、易懂，但局限性太大,当密度不容易积分时无效. 2.当两个随机变量的密度较简单,定义区域也简单,两个随机变量又独立时,用卷积方法来做更快.

首先说明卷积的原理. y FZ(z)P{XYz}x:v:zyzxyzf(x,y)dxdydyzyf(x,y)dx x+y=z 变量代换,令xvy,zdxdv, o z x dyf(vy,y)dvzf(vy,y)dydv

所以fZ(z)f(zy,y)dy,对称的fZ(z)f(x,zx)dx. 图3-9 例15 设和两个相互独立的随机变量,它们都服从N(0,1)分布,求的分布. 解 f(x)x2212e12y22e,x

f(y)12,x22y 12dx(zx)22f(z)1e2z24ee1dx2ex2(zx)2221dx2ez24ez(x)22dx

ez(x)221e22z2412(2t)22ez24,即Z~N(0,2)分布.

其中ez(x)22dxetdt12ed(2t)122.

例16 在一简单电路中,两电阻R1和R2串联

联接,设和R2相互独立,它们的概率密度均为 y 10x,f(x)500,0x10其它 10 试求总电阻RR1R2的概率密度. o 10 x 解 用f(z)f(x)f(zx)dx公式来作

因为,的定义域是0x10,所以z0时,f(z)0. 图3-10

当0z10时,使f(z)与f(zx)都有意义,0x10与0zx10同时成立. 从而0xz时有

f(z)10x10zx1dx050502500zz0(10010xxzx2)dx

1z2z312(100z10zz)(600z60z2z3). 25002315000当10z20时,使f(z)与f(zx)都有意义.,0x10与0zx10同时成立. 从而z10x10,因为从第二个式子中得出z10x10,把这个区域和0x10比较且同时使f(z)与f(zx)都有意义,则取小区域z10x10

10x10zx1f(z)dxz10505025001(20z)3 150001010z10(10010xxzx2)dx

当z20时, f(zx)中zx10,所以f(z)0.

123(600z60zz),150001(20z)3所以f(z)150000,0z1010z20. 其它对于两个随机变量的差,与上述和的形式相仿,上述和密度求出,我们用了较简单的两种方法,一种是直接方式,另一种是卷积方法,卷积方法讨论积分限时较繁,但仔细作来没问题,除此之外还有的可比变换性和特征函数法,学习了特征函数概念之后,求函数的密度更快捷.

ex,例17 设fX(x)0,ZX的分布. Yx02e2y,;fY(y)其它0,y0其它且X,Y相互独立,求

解 方法1,直接积分法 F(z)P{Zz}P{yz000Xz} Yyz00yzdy 当z0时, F(z)dy2e(x2y)dx2e2ydyexdx2e2y(ex)012e2y(1eyz)dy2[e2ydyey(z2)dy]2[e2y000201y(z2)ez20]

11z22[],fZ(z).22z2z2(2z)(z0)

方法2 用相当于和函数的第二种方法,dyf(x,y)dx中作变换

00yz当y0时

x:v:yzyz令xvy,dxydv zzz0000所以dyf(x,y)dxdyyf(vy,y)dv(yf(vy,y)dy)dv

00于是fZ(z)yf(yz,y)dy.

0当y0时,fZ(z)综上, fZ(z)0yf(yz,y)dy.

yf(yz,y)dy.

000本题使用这个方法,yfX(yz)fY(y)dyyeyz2e2ydy2yey(z2)dy

12yey(2z)分部积分法z221y(z2)ez2z2001y(z2)1y(z2)edy2edy 00z2z22. 2(z2)例18 电子仪器由两个相互独立的电子装置L1和L2组成,组成方式有两种: (a) L1和L2串联 (b) L1和L2并联 已知L1和L2的寿命分别为X与Y,它们的分布函数分别为

1ex,x01ey,y0; FY(y) FX(x)x0y00,0,其中0,0,且,试在两种联结方式下,分别求出仪器寿命Z的概率密度. 解 (a)串联情况

由于当L1,L2有一个损坏时,仪器就停止工作,所以仪器的寿命Zmin(X,Y)

1e()z,则Fmin(z)1[1FX(z)][1FY(z)]0,z0. z0z0. z0()e()z,于是Zmin(X,Y)的概率密度为fmin(z)0,(b)并联情况

因为只有当L1,L2都损坏时,仪器才停止工作,所以,仪器的寿命Zmax(X,Y)

(1ez)(1ez),则Fmax(z)FX(z)FY(z)0,于是, Zmax(X,Y)的概率密度为

z0. z0ezez()e()z,fmax(z)0,

z0. z0[考研题精解]

1.(1998,I)在区间(0,1)中随机地取两个数,求两数之和小于解 设X,Y分别表示随机取出的两个数,则 y 0X1;0Y1,X,Y取值的所有可能结果(即样 (1,1) 6的概率. 5本点全体)对应的集合为,以1为边长的正方形,其 x+y=6/5 6面积为1,事件\"XY\"对应图中部分A,A的面 A x 51417617积为1()2,故P{0XY}. 图3-14

25255252.(1994,I)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为:

XP0121 1 2求随机变量Zmax(X,Y)的分布律. 解 由于Z的所有可能取值为0,1

P{Z0}P{max(X,Y)0}P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}P{Z1}1P{Z0}113. 44111. 224所以, Zmax(X,Y)的分布律为

ZP0141 3 43.(1987,I)设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

1,fX(x)0,0x1ey,y0, fY(y) 其它y00,求随机变量Z2XY的概率密度函数.

解法一 由于X与Y相互独立,所以(X,Y)的概率密度函数为

ey,f(x,y)fX(x)fY(y)0,0x1,y0其它

因此,Z的分布函数为

0,z0FZ(z)P{2XYz}fX(x)fY(y)dxdy2(1e2xz)dx,0z2.

02xyz1(1e2xz)dx,z20所以,Z的概率密度为

1,z01fZ(z)FZ(z)(1ez),0z2.

212z(e1)e,z22解法二 由于X与Y相互独立,所以Z的概率密度函数为

fZ(z)fX(x)fY(z2x)dxfY(z2x)dx

010,z01,z012=(1e2xz)dx,0z2(1ez),0z2.

02112(1e2xz)dx,zz2(e1)e,z2024.(1991,I)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

2e(x2y),f(x,y)0,x0,y0其它

求随机变量ZX2Y的分布函数.

解 FZ(z)P{X2Yz}fX(x)fY(y)dxdy

x2yz当z0时,P{Zz}0. 当z0时,P{Zz}dx0zzx202e(x2y)dyedx0zxzx202e2ydy

(exez)dx1ezzez.

0z所以, ZX2Y的分布函数为

1ezzez,FZ(z)0,z0. z05.(1992,I)设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(,2),Y服从[,]上的均匀

分布,求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中

(x)21xet22dt)

解 X和Y的概率密度分别为:

fX(x)12e(x)222,x

1,fY(y)20,x其它.

考虑到X与Y独立,所以Z的概率密度函数为

fZ(z)fX(zy)fY(y)dyfX(zy)fY(y)dy1212(zy)2e22dy令

tzy，则有

z1fZ(z)2z12et22dt1zz[()()]. 26.(1990,IV)一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)已知X和Y的联合分布函数为:

1e0.5xe0.5ye0.5(xy),F(x,y)0,x0,y0其它.

(1) 问X和Y是否独立?

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解法一

(1) X和Y的分布函数分别为

1e0.5x,FX(x)F(x,)0,1e0.5y,FY(y)F(,y)0,x0, x0y0, y0由于F(x,y)FX(x)FY(y)知X和Y独立.

(2)P{X0.1,Y0.1}P{X0.1}P{Y0.1}

[1FX(0.1)][1FY(0.1)]e0.05e0.05e0.1. 解法二

(1) 以f(x,y),fX(x)和fY(y)分别表示(X,Y),X和Y的概率密度,有

0.5(xy),2F(x,y)0.25ef(x,y)xy0,x0,y0其它

而fX(x)0.5e0.5x,f(x,y)dy0,x0, x0y0, y0fY(y)0.5e0.5y,f(x,y)dx0,由于f(x,y)fX(x)fY(y)知X和Y独立. (2)P{X0.1,Y0.1}0.10.10.25e0.5(xy)dxdy

0.5e0.10.5xdx0.5e0.5ydye0.1.

0.17.(1990,V)甲乙两人独立地各进行射击两次,假若甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数,试求X和Y的联合分布律.

解 X服从参数为n2,p0.2的二项分布,Y服从参数为n2,p0.5的二项分布,它们的概率分布分别为:

XP00.6410.322 Y0.04 P00.2510.502 0.25

由X和Y的独立性知X和Y的联合概率分布为:

X 0 1 2 Y

0 0.16 0.08 0.01

1 0.32 0.16 0.02

2 0.16 0.08 0.01