浅谈初中数学的反例教学

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浅谈初中数学的反例教学

陈爱梅反例是指符合命题条件而不符合该命题结论的例子。简言之，反例就是能够说明一某命题不成立的例子（即假命题）。数学中的反例的主要作用是证伪（即说明某一个命题不正确），当直接证明某个命题是假命题或说明某些猜想错误比较困难时，常常会趋向于寻找一个反例，以说明这个命题或猜想是错误的，在数学教学中，恰当地运用与建构反例进行数学教学，有助于学生深刻理解与掌握，有助于培养学生思维的灵活性与深刻性。本文从反例的运用、引入、分析和建构等几个方面，谈谈初中数学中反例教学，以期得到同行的指正。

一、运用反例，深化理解数学概念在数学概念教学中，不少学生难以把握概念的内涵与外延，从而导致概念理解错误。教学中，通过反例的恰当运用，引发学生思维冲突，促使学生积极思考，从而全面、正确认识概念。

例如，说明“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论是假命题，我们可以启发学生思考：能不能找到这样的四边形，满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但却不是平行四边形，显然，等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等但不平行，故不是平行四边形，所以这个结论不成立，从而深化了学生对平行四边形概念的理解。

反例从哪里来？笔者以为：大多数反例应该基于学生的已有认知和数学活动经验，包括错误的经验。如从学生课堂教学学习活动出现的问题中来，从学生练习中出现的错误中来，而不是教师先入为主地抛出。只有这样，学生才会有切身的体验。例如，上述问题中，如果学生没有接触过等腰梯形，就不可能举出这样的反例；再比如，在“三线八角”概念的教学中，学生对同位角的概念理解不清，笔者从学生作业中发现这样的问题：“若第一个角与第２

钱德春

二个角是同位角，第二个角与第三个角是同位角，则第一个角与

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第三个角也是同位角”，这时可以引导学生通过画图来辨析：如3

2图1，∠1与∠2是同位角，∠2图１

与∠3也是同位角，那么∠1与

∠3是同位角吗？这样，

学生对上述判断是否正确就便会了然于心，从而使同位角概念真正内化。

二、引入反例，正确运用数学定理

学生在学习一个新的定理或性质时，往往会忽略定理或性质中的关键词语，从而造成定理应用不当。恰当引入反例，可以帮助学生理解这些关键词语的作用，从而达到掌握并正确运用数学定理的目的。

例如，在三角形全等的判定教学时，学生对全等三角形判定方法中的关键词“对应”“、夹”等关键词缺乏认识，如错用“SAS”判定，忽视三角形中“两边及其夹角”这种位置关系的限制，从而出现证明错误，教学中可引导学生研究这样的问题。

如图2-①，已知AB=AC，PA平分∠ABC。求证：BP=CP。

在学生顺利解决问题后，教师启发学生：将条件中的“AB=AC”与结论中“BP=CP”互换，得到什么题

目？能证明吗？并组织学生思考、讨论。

生1：已知PA平分∠ABC，BP=CP。求证：AB=AC。

师：能证明吗？生2：关键看能不能得到△ABP≌△ACP。师：大家想想：△ABP与△ACP中已知的条件是什么？它们之间是什么关系？生2：∠BAP=∠CAP、AB=AC、BE=CD，它们

４是“两边和其中一边的对角对应相等”的关系。

师：能不能画图试试看，是什么样子？生众：（茫然……）师：假设△ABP确定，PA平分∠ABD，那么C点位置怎么画？

生2：如图2-②，以P为圆心、BP长为半径画

弧与射线AD相交于C1、C2两点，显然，AC1≠AC2，即无法证明AB=AC。

师：同学们，由此你有什么启示？生3：由此可见，由于“已知两边和其中一边的对角”的三角形不能确定，所以就不能判定△ACP与△ABP全等，这就是为什么三角形全等的判定方法中没有SSA的根本原因。

通过教学中生成性的问题，作为反例，让学生真正理解了定理中夹角中的“夹”的含义，达到准确掌握和运用定理的目的。

三、分析反例，引导激趣质疑纠错数学教学既要让学生获得知识，发展自主质疑与纠错的能力，更要不断地引导学生在成功的体验中激发学习兴趣。反例常以其特有的魅力吸引学生的好奇心，促使其去追根究底，成为引发学生深入思考的助推剂、兴奋剂。

在学习了证明和相似三角形后，笔者分别出示这样一个问题来说明“直觉不可靠”：

有一张８ｃｍ×８ｃｍ的正方形的纸片，面积是６４ｃｍ２。把这张纸片按图３－①所示剪开，把剪出的

图3

４个小块按图３－②所示重新拼合，这样就得到了

一个长为１３ｃｍ，宽为５ｃｍ的长方形，面积是６５ｃｍ２。这是可能的吗？

学生都能发现结论是错误的，

但又无法说明理由。教师重点是引导学生思考：为什么错呢？

教学大观

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在学习“证明”这部分内容时，通过计算：图3-②的面积实际为2×[12（5+3

）×5+12

×3×8]=64，显然不是65，学生通过思考，推断图3-②中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。在学习了相似三角形之后，可以采用如下反证法证明：如图25，过D做AC的垂线交AC于F。假定图3-②中的图形是长方形，那么图形的右下角就应当是直角，则在图3-③中有∠1+∠3=90°。因为∠2+∠3=90°，则∠1=∠2。由相似三角形的判定定理，两个直角三角形△ABC与△DEF相似。由相似三角形对应边成比例，应当有23=58，这是不可

能的，因此图3-②不可能是长方形。由于23-58=

124这个差是很小的，因此会造成我们视觉的误差，事实上，如图3-④，拼成的图形中间有部分缝隙。

通过这样的方法，学生找出了错误的原因，享受到创造的乐趣，产生了愉悦学习的情感体验，从而激发了学习兴趣。

四、构建反例，推动数学认知向前发展在数学教学中，证伪和证实同样重要。构建反例是培养学生创新精神、诱发创造力的一种很好的载体。数学教学中，不仅要启发学生恰当地使用反例，更要善于引导学生构建反例。由于在通常情况下，反例不是唯一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，充分展开想象。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的训练过程。

综上，反例在培养发散思维能力及创造性思维能力中占有重要地位。在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，对增强学生学习的积极性、提高学生的数学认知与创造力，提升数学教学质量大有裨益。

（作者单位：泰州市姜堰区实验初级中学、泰州市教育局教研室）

（责任编辑：钱德春）

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