高中数学圆锥曲线详解【免费】

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典

结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1r22a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

xy0x2y2k0。 （1）221(ab0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有0a2b2abxy0x2y2k0 （2）221(a0,b0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有0a2b2ab

1

（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PHPF，因而易发现，P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，最小。

解：（1）（2，2）

连PF，当A、P、F三点共线时，APPHAPPF最小，此时AF的方程为yy=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(

（2）（

HPFAQB当A、距离和420(x1) 即 311,2)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去） 21,1） 4过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQQFBQQR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=

11，∴Q(,1) 44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

x2y21的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 例2、F是椭圆43（1）PAPF的最小值为 （2）PA2PF的最小值为

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考题。

解：（1）4-5

设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF

PAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF45

当P是FA的延长线与椭圆的交点时, PAPF取得最小值为4-5。 （2）3

作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=

F0′yAFPHx虑问1， 2 2

∴PF1PH,即2PFPH 2∴PA2PFPAPH

a2xA413 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为c

例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的等于半径”（如图中的MCMD）。

解：如图，MCMD，

∴ACMAMBDB即6MAMB2 ∴MAMB8 （*）

yMDC5x共线“半径A0Bx2y21 ∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b=15轨迹方程为16152

点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出(x1)2y2(x1)2y24，再移项，平方，„相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！ 例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=

3sinA,求点A的轨迹方程。 5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。 解：sinC-sinB=

33sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA 553BC 5∴ABAC即ABAC6 （*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4

x2y21 （x>3） 所求轨迹方程为

916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点

3

公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)

22(x1x2)2(x12x2)9① 则xx2x ② 120③ 22x1x22y0由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9

即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9

∴4y04x029， 214x024y04x0992(4x1)1 0224x04x015 4 ≥2915, y0当4x02+1=3 即 x05225时，(y0)min此时M(,)

4224法二：如图，2MM2AA2BB2AFBFAB3

∴MM2313， 即MM1， 242AA1A2yMB5∴MM1， 当AB经过焦点F时取得最小值。 45∴M到x轴的最短距离为 40M1M2B1B2x点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不

4 求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。

x2y21(2m5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、例6、已知椭圆

mm1B、C、D、设f(m)=ABCD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 f(m)(xBxA)2(xDxC)22(xBxA)(xDXC)  2(xBxC)(xAxD) 2(xBXC)

AByCF10F2Dx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

x2y21中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 解：（1）椭圆

mm1则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-

2m(2m5)

2m1f(m)ABCD2(xBxA)(xDxC)2m

2(x1x2)(xAxC)2x1x222m1（2）f(m)22m1112(1)

2m12m1 5

∴当m=5时，f(m)min102 942 3 当m=2时，f(m)max点评：此题因最终需求xBxC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得

x0yxx1m0k0，将y0=x0+1，k=1代入得000，∴x0，可见mm1mm12m1xBxC2m

2m1当然，解本题的关键在于对f(m)ABCD的认识，通过线段在x轴的“投影”发现f(m)xBxC是解此题的要点。

【同步练习】

x2y21、已知：F1，F2是双曲线221的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若ABm，

ab△ABF2的周长为（ ）

A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m

2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ）

A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x

3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且ABAC，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（ ）

x2y2x2y21(x0) 1 B、A、

4343x2y2x2y21(x0) D、1(x0且y0) C、43434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ） A、(x)yC、x(y)21222919(x1) B、(x)2y2(x1) 424919(x1) D、x2(y)2(x1) 4246

122

x2y21上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 5、已知双曲线

9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是

8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k= x2y21上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。 10、设点P是椭圆

259

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，AB43，求直线l的方程和椭圆方程。

x2y212、已知直线l和双曲线221(a0,b0)及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：

abABCD。

【参考答案】

1、C

AF2AF12a,BF2BF12a，

∴AF2BF2AB4a,AF2BF2AB4a2m,选C 2、C

点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C 3、D

7

∵ABAC22，且ABAC

∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。 4、A

22设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得1(2x1)(2y)4，∴

19(x)2y2

2422①又c∴(x-1)2+y2<4 ②，由①，②得x≠-1，选A 5、

29 3992952929，M到左准线距离为d4() 则M到左焦点的距离为ed

555353左准线为x=-6、x11(y) 22设弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点为(x，y)，则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22) ∴

y1y212(x1x2) ∴2=2·2x，x

2x1x21111代入y=2x2得y，轨迹方程是x(y>) 2222将x

7、y2=x+2(x>2)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则

22y122x1,y22x2,y12y22(x1x2),y1y2(y1y2)2

x1x2∵kABkMPy0y2y2，即y2=x+2 ，∴

x2x2又弦中点在已知抛物线内P，即y2<2x，即x+2<2x，∴x>2 8、4

a2b24,c28,c22，令x22代入方程得8-y2=4

∴y2=4，y=±2，弦长为4 9、2或1

y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2-2kx-2=0

1k20①得4k2+8(1-k2)=0，k=2 0

8

②1-k2=0得k=±1 10、解：a2=25，b2=9，c2=16 设F1、F2为左、右焦点，则F1(-4，0)F2(4，0) ① 2 设PF1r1,PF2r2,F1PF② 则r1r22 222r1r22r1r2cos(2c)yPF1F2x ①2-②得2r1r2(1+cosθ)=4b2 4b22b2 ∴1+cosθ= ∵r1+r22r1r2， ∴r1r2的最大值为a2 2r1r2r1r2182b2∴1+cosθ的最小值为2，即1+cosθ

25acosθ77， 0arccos则当时，sinθ取值得最大值1， 25252即sin∠F1PF2的最大值为1。

x2y211、设椭圆方程为221(ab0)

aba2c成等差数列， 由题意：C、2C、ca2c即a22c2， ∴4ccc∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2

x2y2椭圆方程为221，设A(x1，y1)，B(x2，y2)

2bb22x12y12x2y21② 则221①

2bb2b2b222x12x2y12y20 ①-②得

2b2b2∴

xmymk0 222bb2k0 ∴k=1 2112212(182b2)243 3即

直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0， ABx1x2112

x2y21，直线l方程为x-y+3=0 解得b=12， ∴椭圆方程为

2412

9

12、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，则

x12y122x01①  ①-②得a2b22 2a2x2y21② a2b22y0k0 ③ b2,y1),C(x2,y2),BC中点为M(x0,y0)， 设B(x1x12y121④120 2则 ab 1212yx2220⑤ 2ba12y02x1④-⑤得22k0 ⑥

ab由③、⑥知M、M均在直线l:2x2y2k0上，而M、M又在直线l上 ， 2ab若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立 若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立 若l不过原点且与x轴不垂直，则M与M重合 ∴ABCD

10

椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6.

7.

8.

x0xy0yx2y221. 1若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y2若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程

abxxyy是02021. abx2y2椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点

ab2角形的面积为SF1PF2btan.

2x2y2椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P

和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b211. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB2，

aabb2x0即KAB2。

ay0x0xy0yx02y02x2y2222. 12. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2bababx2y2x2y2x0xy0y2. 13. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22aba2bab

11

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x0xy0yx2y221. 15. 若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则

abxxyy切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2，

ab2则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2bcot.

2x2y28. 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别

交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于

点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2x0b2x0KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0x2y221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在双曲线2abx0xy0yx02y02222. a2babx2y221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在双曲线2abx2y2x0xy0y222. 2abab

椭圆与双曲线的经典结论

12

椭 圆

x2y21. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时

abx2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，

abb2x0则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2,

abPF2F1，则

actancot. ac22x2y24. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2

ab中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsinax2y25. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可

ab在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

ab2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7. 椭圆

a2b2A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y28. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

ab4a2b2a2b2111122

;（2）|OP|+|OQ|的最大值为22;（3）SOPQ的最小值是22.

|OP|2|OQ|2a2b2ababx2y29. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交

ab|PF|e. x轴于P，则

|MN|2x2y210. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

aba2b2a2b2x0. P(x0,0), 则aa

13

x2y211. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则

ab2b22(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan.

21cosx2y212. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

ab2ab2|cos|PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|22.(2)

accos22a2b22cot. tantan1e.(3) SPAB2ba2x2y213. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交

ab于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线

垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

双曲线

x2y21. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线

abx2y2于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

abb2x0B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,

abPF1F2, PF2F1，则

cacatancot（或tancot）. ca22ca2214

x2y24. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

ab在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

(sinsin)ax2y25. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21ab时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

ab|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y27. 双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是

abA2a2B2b2C2.

x2y28. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

ab4a2b2a2b2111122

22;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）SOPQ的最小值是2. 2222baba|OP||OQ|abx2y29. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的

ab|PF|e. 垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y210. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相

aba2b2a2b2交于点P(x0,0), 则x0或x0.

aax2y211. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，

ab2b22则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2bcot.

21cosx2y212. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

ab2ab2|cos|PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|22.

|accos2|2a2b22cot. (2) tantan1e.(3) SPAB2ba2x2y213. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与

ab双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线

必与切线垂直.

15

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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