完全平方公式

完全平方公式

一、教材分析： （一）教材的地位与作用

本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的，其地位和作用主要体现在以下几方面：

（1）整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。

（2）乘法公式是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能。

（3）公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好模式。 （二）教学目标的确定

在素质背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学目标如下： 1、知识目标：

理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。 2、能力目标：

渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。 3、情感目标：

培养学生敢于挑战，勇于探索的精神和善于观察，大胆创新的思维品质。 （三）教学重点与难点

完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式，其本质是多项式乘法，是学生今后用于计算的一种重要依据，因此，本节教学的重点与难点如下：

本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。 本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平方。

二、教学方法与手段 （一）教学方法：

针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发，边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。

采用小组讨论，大组竞赛等多种形式激发学习兴趣。 （二）教学手段：

利用投影仪辅助教学，突破教学难点，公式的推导变成生动、形象、直观，提高教学效率。 （三）学法指导：

在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。 三、教材处理

根据本节内容特点，本着循序渐进的原则，我将以“边长为(a+b)的正方形面积是多少？”这个实际问题引入新课，关于两数和的平方公式通过实例、推导、验证几个步骤完成。关于两数差的平方公式，我将为学生提供三种不同的思路，由学生自己选择学习、理解，然后再归纳的方法进行，再通过分层次练习，加以巩固。 教学过程 一、 导学： 1、 请你来判断

有一个财主家有一块边长为（a+b）的正方形土地，阿凡提有三块土地，一块是边长为a的正方形土地，一块是边长为b的正方形土地，一块是长为a、宽为b的长方形土地，阿凡提一开始想拿两块地来换财主的地,但财主不肯.后来又提出愿意用三块土地换财主的一块土地，财主一听，大喜过望。”请问：财主真的占了便宜吗？（屏幕上出示，由老师讲述）

财主土地

阿凡提土地

师：请各小组拿出准备好的纸片，两人合作，一个做财主，一个做阿凡提，通过拼接的办法看看？

（学生活动，通过拼接，很多学生已经得出结论，并开始互相讨论） 2、初识完全平方公式

师：假如你们是财主，你们会不会换给阿凡提呢？谁占便宜？ 生：不换，阿凡提占便宜！

多媒体演示课件，再让学生结合刚才教学活动，自己总结。 师：为什么？

生：因为财主的地多出一块！

师：好！那么我们从他们两人的地面积看看，能得到什么？财主的地面积？阿凡提地的面积？ 生： S财=(a+b)2 S阿=a2+ab+b2

师：这就是我们这节课所要讲的内容：完全平方和公式！ 板书课题，并书写公式！ 二、 自学：

1、细心再思量，你能证明这个公式吗？

师：公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗? 生：我们行！

师：好，那就请各位同学两个一组，利用多项式乘法法则推证公式！

学生经过讨论，合作，推证出：

师：请一位同学用语言来叙述这条公式！

生：两数和的平方等于这两数的平方和再加上这个数乘积两倍。 2、 课堂玩一玩：

屏幕显示：下面的计算中有些地方用纸牌盖上了，我们来比一比谁能最快地说出纸牌下盖的是什么式子。

(1)（x+2)2= x2 + （4x）+4 (2) (2a+3b) 2=(2a)2 +12ab +(3b)2

说明：等式右边的括号处是用纸牌盖住的，由学生填写。 3、 认真闯一闯：

师：两数和我们知道了，那么他的兄弟两数差的平方又如何求呢？公式又是如何呢？（给予学生一定的时间思考，讨论）

师：减去一个数，实际上可以等于„„ 生：等于加上这个数的相反数！ 师：好，这给我们什么启发呢？

生：可以利用刚学的公式进行推断两数差的平方公式！

师：请同学们在练习本上推断两数差的平方

屏幕上给出推断过程：（划线部分由学生写出） (a−b)2= [a+(−b)]

2

= a+ 2 a (−b)+ (−b)2

2

= a2 −2ab+b

2

师：请同学们用语言来叙述这个公式！

生：两数差的平方等于这两个数的平方和减去这两个数乘积的两倍。 4、再来玩一玩（要求如上一样） (1)（x-3)2= x2 -（6x ）+9 (2)(2a-3b)2= (2a)2 -12ab +(3b)2 5、 强化新公式

师：两道新公式：有什么特点？ (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a−b)2 = a2 −2ab+b2

学生通过观察，讨论得知：两个公式右边，乘积的两倍的符号与公式左边符号有关系：当两数同号时，就取正；当两数异号时，就取负！

师：两道公式我们可以用谐音来帮助记忆：a平方，b平方，积的两倍中间放，符号与前一个样。 6、 火眼金睛

屏幕显示：指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2x+3y)2＝4x2+ 9y2 ； (2) (2x−3y)2＝2x2 - 2(2x)(3y)+3y2; (3) (2x−3y)2＝(2x)2- 2(2x)(3y)+(3y)2.

解: （1）少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项) :2•(2x)•(3y) ; ( 2 )首项、末项被平方时, 未添括号;

( 3 ) 用公式正确，只是计算要到最后结果

三、 例题精析，习题精练

1、师生同闯关 屏幕显示：

例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x+1)2 ； (2) (3m−2n)2 解：(1) (2x+1)2 (2) (3m−2n)2 = (2x)+2 • 2x • 1 + 1

2

2

=(3m)−2•(3m) •(2n)+(2n)

2

2

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=4x2+4x +1 =9m−12mn + 4n

师：使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪个是 a , 哪个是 b.被平方时要加括号。 2、单枪匹马闯难关

计算：巩固公式并正确应用（找学生上黑板演示，演示完后，由另一学生上黑板评讲） (1)(m +a); (2) ( 3 x − 2y); (3) (2m+ 5n ) ;

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3、 生活大挑战

小明的妈妈在布置新家的时候，要给一边长为a米的正方形桌子铺上正方形的桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，让小明帮忙算一算，需要多大面积的桌布？

4、 开拓新视野，再展身手

（1） 运用完全平方公式计算： 1）102 2) 79.8 （2） 已知 (a+b)=25 ab=3 则 a+b=___ 四、课堂小结

1、通过本节课的学习活动，你们认识了什么？（学生经过思考回答）

生：我们刚学习了完全平方公式： (a+b)= a+ 2ab +b (a-b)2= a- 2ab +b2 (a平方,b平方,

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2

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2

2

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积的两倍中间放,符号与前一个样)

2、公式在应用过程中应注意什么？引导学生归纳

生：在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；首项、末项被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键。 五、课后作业

1、必做题：课本85页习题14.3 2、3 2、选做题：计算 (a+b+c) 课后反思

新课程标准倡导“让生活走进课堂，从课堂走向生活”的理念，教师逐渐变为创新课堂的建设者，而不再是以前的主导者。课堂是师生合作探究的场所，学习过程是师生积极互动、共同发展的活动。

“因为快乐,所以学习”，让学生在快乐中学习是我从教所追求地一种境界。本节课在一种轻松、愉快的环境中完成，而且取得了良好的教学效果。首先从一个自编的小故事开始，一下子调动了学生的学习积极性。随着学生的剪纸拼接，很自然引入了新课，并且公式的推导完全由学生通过这个故事，动手、动口、动脑完成，从而有种“水到渠成”的效果。这里完全体现了学生是学习的主体，教师只是引路人。体现了学生是学习的主体性、主动性原则。这也是我认为本节课设计的成功之处。

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八年级的学生活泼好动，好表现，争强好胜。所以在教学环节的设计中，我设计出“课堂玩一玩”，“认真闯一闯”，“火眼金睛”，“师生同闯关”，“单枪匹马闯难关”，“生活大挑战”，“再试身手”等环节。一环紧扣一环，充分调动了学生上课的热情，让学生在每一个环节里都有一种跃跃欲试的感觉。这样既满足学生的求知欲，又满足初二学生的表现欲。 需要反思的是：1、对公式的拓展不足。例如，对公式(a+b+c)是留作学生课后选做，不敢放手让学生在课堂上大胆讨论、作答。2、应再设计一个环节，让学生互相出题，并将题目按小组展示在黑板上，让学生自由演算，小组间进行评价。解题的对与错，完全由学生完成。 在实施开放式教学过程中，我们教师应将创新的教材、创新的教法与创新的课堂环境有机地结合起来，将学生自主学习与创新意识的培养落到实处，培养学生主动探索、善于发现及合作交流的精神。在教学中，应多让学生主动参与，多联系学生感兴趣的事，这样就会取得更好的教学效果。

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