相似三角形的性质及判定

 课 题 授课日期及时段 教学目的 相似三角形的性质及判定 1. 掌握相似三角形的概念以及它的性质并能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似； 2. 理解并掌握相似三角形的三个判定并能够利用这些条件判定两个三角形相似。 教学内容 一、 课堂检测 1．已知3(x2y)4(xy)，则x:y ，xyx 2．x3y4z5，则xyzx ，x2y3z2x3y5z 3. 若线段AB=10cm，C是AB的黄金分割点，则较短线段CB= cm。 4.如图，直线l1//l2//l3，已知AG=1.2cm，BG=2.4cm，EF=4cm，CD=3cm，则 CH= ，KF= 。 5.比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm，则这两城市的实际距离是 公里。 6.梯形的两腰AD，BC延长后相交于点M， (1) 如果AD=3.3cm，BC=2cm，DM=2.1cm，则MC= cm。 (2) 如果CDAB59，AD=16cm，则DM= cm。 7. 若bab＝35，那么ab＝ 8. 若a:b:c1:2:3，求abcabc的值。 参考答案：1. 1:10 ； 531110 2. 4 ；2619 3. 555 4. CH=1 ;KF= 5. 10 6. 381411 7. 8. -2 二、知识梳理 1. 相似三角形的性质

1

（1）相似图形与相似变换 相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。 （2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作相似于。 （3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 （4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。 注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序. 全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2.相似三角形的引理及判定 （1）相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）相似三角形的判定 ① 两角对应相等的两个三角形相似； ② 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； ③ 三边对应成比例的两个三角形相似； ④ 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 三、重难点讲解 例1、若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（ ） A.55° C.25° 变式1：△ABC的三边之比为3∶4∶6,△A1B1C1∽△ABC,若△A1B1C1中最长的边为18厘米,则最短的边长为 。 分析：解：∵△ABC的三边之比为3：4：6，且△ABC∽△A'B'C' ∴△A'B'C'的三边之比为3：4：6 ∵△A'B'C'中最长边长为18 ∴其最短的边长最少边长为9 例 2、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（ ） A.△ABC∽△A′B′C′ B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等 C.△ABC与△A′B′C′的相似比为 41 B.100° D.不能确定 2

D.△ABC与△A′B′C′的相似比为 31解析：相似的意义就是图形的扩大或者缩小，相似的三角形，对应角相等，对应边成比例。据此可以判断答案。 答案：C 变式2：△ABC的三边长分别为2、2、10，△A1B1C1的两边长分别为1和5，当△A1B1C1的第三边长 为 时，△ABC～△A1B1C1。 分析：根据三边对应成比例的两个三角形相似，易得相似比为5 ：1，故要使△ABC和△A1B1C的三边成比例，则第三边长为 15÷ 5=3． 例3、 如图，D是AB上一点，△ACD～△ABC，且AD:AC2:3, 00 ∠ADC=65 , ∠B=43 . (1) 求∠ACB, ∠ACD的度数； (2) 写出△ACD和△ABC的对应边成比例的比例式，求出相似比。 答案：（1）∠ACB=650，∠ACD=430 （2）ADACACABCBCD32 变式3：如图，D、E分别是△ABC的AB,AC边上的点，△ABC∽△ADE.已知AD∶DB＝1∶2,BC＝9cm，AE=3cm， 求DE和AC的长. 答案：DE=3cm，AC=9cm。 例4、如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20cm.在这个草坪的示意图上，这条边长为5cm,其他两边的长度都为3.5cm.求该草坪其他两边的实际长度. 3.5cm5cm3.5cmAEDBC 分析：只知道实际三角形的一边长是20cm，对应示意图上那一边还不能确定，所以需要讨论： ①对应长边5cm，得到相似比是4:1，另外两边都是3.5×4=14cm。 ②对应腰3.5cm，得到相似比是40:7.另外两边分别是：20cm和5×思考几个问题 问题一：两个直角三角形一定相似吗？为什么？

3

407=2007cm。 问题二：两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 问题三：两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ 问题四：两个等边三角形一定相似吗？为什么？ 问题五：两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 例5、如图,若∠ACD＝∠B,证明△ACD∽△ABC； 变式1：已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.求证：ΔABC∽ΔDEF E80°CF60°80°DB40°A 分析：本题目看似图中的角度不相等，但是根据三角形的内角和等于1800，会发现几个角度是相等的。 例6、如图,若∠BAC＝90°,AD⊥BC,则△ABC∽△DBA∽△DAC.

4

分析：判断三角形相似，首先分析题中的条件，正确选用判定定理，题目条件中没有边之间的比例，那么就想到选用判定定理中第一个，有两个角相等的两个三角形相似。△ABC和△DBA相似，他们首先有一个直角，再找一个角，即发现他们有一个公共角B，即可证明两三角形相似。△DBA和△DAC，有了一个直角相等，另外一个角似乎找不到啦。△ABC和△DBA相似，发现∠C=∠BAD。 变式2：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。 （1）求证：ΔAEF∽ΔADC； （2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。 解析：（1）∠AEB=∠ADC=900，∠A=∠A. 所以ΔAEF∽ΔADC （2）ΔAEF∽ΔBDF, ΔACD∽ΔBCE , ΔACD∽ΔBFD, ΔAEF∽ΔBCE BDFEAC例7、 用数学眼光看世界 如图4—6—7，长梯AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm，量得BD长55 cm，求梯子的长。 . 分析：实际问题就是将数学知识用到实际中，理解点与线的距离，就是过这点做直线的垂线，那么就出现了直角。 设D点到墙壁距离交点为E，B点到墙壁距离交点为F，可知： △ADE ∽△ABF,所以又因为AD+BD=AB, 所以ADADBDDEBFADABDEBF, 。 变式：如图，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米. 5

解析：相似三角形的问题在实际问题中的应用，能够把它转化到相似上。 解：∵DE∥AB ∴△CDE∽△CAB ∴CD：CA=DE：AB ∴30：60=DE：10 ∴DE=5毫米 ∴小管口径DE的长是5毫米． 例8依据下列各组条件，判定△ABC与△A´B´C´是不是相似，并说明为什么： ⑴∠A=120º，AB=7厘米，AC=14厘米， ∠A´=120º，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米； ⑵AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米， A´B´=12厘米，B´C´=18厘米，A´C´=24厘米 分析：根据题目中的条件，判断用哪个判定定理判断三角形相似，题（1）是两个边和一个角，角必须是两边的夹角。可知两个三角形是相似的。 题（2）是三条边，利用判定定理三，大边对应大边，小边对小边。判断两个三角形也是相似的。 例9如图， AC⊥BD，垂足为C，过D点作DF⊥AB，垂足为F，交AC于E点．请找出图中所有的相似三Ａ 角形，并说明理由． Ｆ Ｅ Ｂ 解析：相似的三角形有△AEF∽△DEC, △AEF∽△ABC, △AEF∽DBF , △ABC∽△DBF, △ABC∽△DEC, △BDF∽△EDC. Ｃ Ｄ 例10已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC， Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？ 分析：正方形的四边相等，两个三角形的两组对应边成比例，夹角相等的的两个三角形互为相似三角形． 解答：解：△ADQ∽△PCQ

6

∵BP=3PC， ∴CP= 14BC= 14CD， ∵Q是CD的中点， ∴CQ=DQ= 12AD． ∴ CPQD= CQAD= 12， 又∵∠C=∠D． ∴△ADQ∽△QCP． 例11 证明若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 解析： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， ABA′B′=ACA′C′ 解法一：设 ABA′B′=ACA′C′=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′； 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． 解法二：如图，假设AB＞A′B′，在AB上截取AB″=A′B′，过B″作B″C″⊥AC，垂足为C″ ∴∠C=∠AC″B″， ∴BC∥B″C″； ∴Rt△ABC∽Rt△AB″C″， ∴ ACAC″=ABAB″ ∵AB″=A′B′， ∴ ACAC″=ABA′B′ 又∵ ABA′B′=ACA′C′， ∴ ACAC″=ACA′C′， ∴AC″=A′C′ ∵AB″=A′B′，∠C′=∠AC″B″=90° ∴Rt△AB″C″≌Rt△A′B′C′； ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． 7

例12 如图，一艘军舰从点A向位于正东方向的C岛航行，在点A处测得B岛在其北偏东75，航行75英里到达点D处，测得B岛在其北偏东15，继续航行5英里到达C岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到B岛？ 解析：∠BAC=15，∠BDC=75， 所以∠ABC=75，∠BC=15， 所以三角形ABC和三角形BDC为相似三角形， BC/DC=AC/BC,所以BC=20 半小时内赶到B岛，那么速度>=20除以0.5，得到速度至少大于40海里/小时 0000Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 三、课堂习题 1. 已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么 △A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________. 图1 2. 如图1，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm. 3. 下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似. 其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上).

8

4. 如图4—6—5，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（ ） A.C.ABCDABCDOAADOBOC B.D.OAODBCADOBBCOBOD  图4—6—5 图4—6—6 5. 如图4—6—6，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm,AB=4 cm，则AC的长为（ ） A.2 cm C.12 cm 6. 好好想一想 如图4—5—1：分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.,若△ABC的边长为a. B.D.23 cm 3 cm 图4—5—1 （1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积. （3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？ 7. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。 9

8. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。 （1）求证：△CDE∽△FAE； （2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF。 D C E F A B 答案：1.直角三角形， 96cm2 2.4对 3. 1.5 4.②③ 5. C 6. D 7. (1)相似，相似比为：1:2 （2）△ABC面积为8. 如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC＝4 而CD×AB＝AC×BC＝2SABC，得CD 又△CEH∽△CAB，得12x125CMCDEHAB603712534a ，△DEF面积为2316 a（3）面积比等于相似比的平方。2 于是5x5，解得：x 如图乙，设正方形CFGH的边长为y cm 由GH∥AC，得：GHACBHBC 10

即y437601260  x，y，yx377353y，解得：y12 即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为 9. 相似三角形的识别、特征在解题中的应用。 解析：由AB∥DC得：∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D ∴△CDE∽△FAE CDFADEAE127cm ，又E为AD中点 ∴DE＝AE，从而CD＝FA，结合已知条件，易证 BF＝BC，∠F＝∠BCF 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD ∴∠F＝∠DCE，∠EAF＝∠D ∴△CDE∽△FAE （2）∵E是AD中点，∴DE＝AE 由（1）得： ∴CD＝AF ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD ∴AB＝CD＝AF ∴BF＝2CD，又BC＝2CD ∴BC＝BF ∴∠F＝∠BCF CDAFDEAE 四、课堂小结 1.学习了相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。 3. 相似三角形的引理及判定 （1）相似三角形的引理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）相似三角形的判定 ① 两角对应相等的两个三角形相似； ② 两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； ③ 三边对应成比例的两个三角形相似； ④ 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 11

五、课后作业 1. 选一选 （1）下列命题错误的是（ ） A.两个全等的三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似 C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D.相似的两个三角形不一定全等 （2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（ ） A.3AB=4DE B.4AC=3DE C.3∠A=4∠D D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF） （3）如图：点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定 能使△ACP∽△ABC的是（ ） A.∠ACP＝∠B B.∠APC＝∠ACB C. （4）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ） ACABAPACPA D.PCBCACAB BC A.C.AEADAEACACABDEBC B.∠B=∠ADE D.∠C=∠AED （5）在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（ ） A.4∶5 C.5∶9 B.5∶4 D.4∶9 （6）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是（ ） 12

A.1 C.2 2. 填空 （1）若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________. （2）△ABC的三边长分别为2、2、10，△A1B1C1的两边长分别为1和5，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC～△A1B1C1。 B.2 D.4 （3）如图（3），在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽________,理由是________. （4）如图（4），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________. 图（3） 图（4） 3. 如图，在ABC中，ABC2C，BD平分ABC， 试说明：AB·BC = AC·CD 4. 如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形. (1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB； (2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.

13

5. 如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然而再选点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点为D，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？ 6. 在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动， （1）是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP； （2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使△ADP∽△BCP，则AP的长度为多少？ A D B C 7. 一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？ 参考答案： 1.（1）B (2) A (3) D (4) A (5) D (6)D

14

2. (1)24cm （2）2 （3）△DAC ；ACCDDBABBDABCD 3. △ADB∽△ABC 和BD=CD,得到得ACBCACBCCD (4) 3对， △ADC∽△ACB, △ADC∽△CDB,△BDC∽△BCA ,AB·BC = AC·CD 4. 解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB ∵△PCD是等边三角形 ∴∠PCD=∠PDC=60° ∴∠ACP=∠PDB=120° 若CD=AC•DB，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB （2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD ∵∠PDB=120° ∴∠DPB+∠DBP=60° ∴∠APC+∠BPD=60° ∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120° 5. 两岸间的大致距离为100米． 6. 解：（1）当∠DPC=90º时 ⊿PAD∽⊿CBP. (2)当⊿PAD∽⊿CBP时 PB∶AD=BC∶AP 设PB=x x∶4=6∶(10-x) x²-10x＋24=0 （x-4）（x-6）=0 当x-4=0时 x=4 当x-6=0时 x=6 10-4=6 10-6=4 ∴当AP=4或AP=6时，可以使得 ⊿PAD∽⊿CBP 7. 分析：①把30厘米作为最长边，50厘米的钢筋截成10与25即可，利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形；②把30厘米作为中长边，50厘米的钢筋截成12与36即可，利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形． 解答：解：两种截法， ①把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有 ②30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分， 则有 20125030603653102025503060122； 。 15