定积分在几何中的应用

1．7.1 定积分在几何中的应用

学习目标 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．

知识点 定积分在几何中的应用

思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？

答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．

梳理 (1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃbaf(x)dx.

(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃbaf(x)dx.

(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝ʃba[f(x)－g(x)]dx.(如图)

类型一 利用定积分求面积 命题角度1 求不分割型图形的面积

例1 试求曲线y＝x2－2x＋3与y＝x＋3所围成的图形的面积．

解 如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．

y＝x＋3，由

2

y＝x－2x＋3，

解得x1＝0，x2＝3. 从而所求图形的面积为

2S＝ʃ30[(x＋3)－(x－2x＋3)]dx

92－1x3＋3x23＝ʃ3＝0(－x＋3x)dx＝022. 3

反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．

(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．

(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．

跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积．

2

y＝x－4，解 由

y＝－x＋2，

x＝－3，x＝2，得或 y＝5y＝0，

所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S，

222

根据图形可得，S＝ʃ－3(－x＋2)dx－ʃ－3(x－4)dx

1132＝(2x－x2)|2－3－(x－4x)|－3 232525125＝－(－)＝. 236

命题角度2 分割型图形面积的求解

1

例2 (1)求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．

3解 画出图形，如图所示．

y＝x，

解方程组

x＋y＝2，

y＝x，x＋y＝2，

及 11y＝－3xy＝－3x，

得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 113

所以S＝ʃ1[x－(－x)]dx＋ʃ[(2－x)－(－x)]dx 01

33113

＝ʃ1(x＋x)dx＋ʃ(2－x＋x)dx 01

33

3221111＝(x＋x2)|0＋(2x－x2＋x2)|3

6261

3211＝＋＋(2x－x2)|3 3631

51113＝＋6－×9－2＋＝. 6336

(2)由抛物线y2＝8x (y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积为________． 答案

40

3

解析 由题意，如图所示，

2y＝8xy>0，由 x＋y－6＝0，

x＝2，得所以抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)． y＝4，

方法一 (选y为积分变量) 12S＝ʃ40(6－y－y)dy 811＝(6y－y2－y3)|4

2240140

＝24－8－×64＝.

243方法二 (选x为积分变量)

6

S＝ʃ20(8x)dx＋ʃ2(6－x)dx 322126

＝8×x|20＋(6x－x)|2 23

1611

＝＋[(6×6－×62)－(6×2－×22)] 32240＝. 3

反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．

1

跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0所围成，则其面积为

x________．

2

答案 ＋ln 2

3

1y＝x，x＝1，

解析 解方程组得

2y＝1.y＝x，所以S＝ʃ102

＝＋ln 2. 3

(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．

22

y＝x，y＝x，解 由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.

y＝xy＝2x，

32211

x|0＋ln x|2xdx＋ʃ21dx＝1 x3

22

故所求的面积S＝ʃ10(2x－x)dx＋ʃ1(2x－x)dx

x21x322＝20＋x－31

1817＝－0＋(4－)－(1－)＝. 2336

类型二 定积分的综合应用

1

例3 如图，已知点A(0，)，点P(x0，y0)(x0>0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP

4的面积相等，则x0＝________.

答案

6 4

11

解析 由题意知×x0×＝

24113

即x0＝x0， 83解得x0＝

x00x2dx，

66

或x0＝－或x0＝0. 44

6

. 4

∵x0>0，∴x0＝引申探究

1．例3中，若阴影部分面积是△OAP面积的4倍，其他条件不变，求x0. 11

解 由题意4××x0＝

24

x00x2dx.

11

∴x0＝x323x001＝x3， 30

332

即x30＝x0，得x0＝或x0＝0(舍去)， 226解得x0＝±，

2∵x0>0，∴x0＝

6. 2

2．曲线y＝x2在点P(2,4)处的切线与曲线及直线y＝0所围成的图形的面积为多少？ 解 ∵y′|x＝2＝4，

故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即y＝4x－4，

1222

所求图形的面积为ʃ0xdx＋ʃ1(x－4x＋4)dx

11322＝x3|10＋(x－2x＋4x)|1 332＝. 3

反思与感悟 解决此类问题的关键是利用定积分表示，或求出相关的图形的面积． 跟踪训练3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的图形的1

面积为，试求：

12

切点A的坐标以及在切点A处的切线方程． 解 如图，设切点A(x0，y0)，

其中x0≠0，

由y′＝2x，得过点A的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x20，

x0x0令y＝0，得x＝，即C(，0)．

22

设由曲线和过点A的切线与x轴所围成的图形的面积为S， 则S＝S曲边△AOB－S△ABC， ∵S曲边△AOB＝

x001x2dx＝x33x001＝x3， 30

11x0213

S△ABC＝|BC|·|AB|＝(x0－)·x＝x.

2220401313131

∴S＝x0－x0＝x0＝.

341212∴x0＝1，从而切点为A(1,1)， 切线方程为2x－y－1＝0.

1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )

8

S＝ʃab[f(x)－g(x)]dx S＝ʃ0(22x－2x＋8)dx

① ②

7ab

S＝ʃ41f(x)dx－ʃ4f(x)dx S＝ʃ0[g(x)－f(x)]dx＋ʃa[f(x)－g(x)]dx

③ ④

A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 答案 D

88

解析 ①应是S＝ʃba[f(x)－g(x)]dx，②应是S＝ʃ022xdx－ʃ4(2x－8)dx，③和④正确，故选D.

2．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的图形的面积为( )

2πA. 53C. 2答案 B

2x－1x31

解析 由图可得f(x)＝1－x2与x轴所围图形的面积为ʃ1－1(1－x)dx＝3－1

4

B. 3πD. 2

114＝(1－)－[－1－(－1)3]＝. 333

3．曲线y＝ex，y＝ex及x＝1所围成的图形的面积为____________．

－

1答案 e＋－2

e

解析 如图，所围成的图形的面积为

xxʃ10(e－e)dx

－

＝(ex＋ex)|10

－

1－

＝e＋e1－2＝e＋－2.

e

4．设a>0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________. 4答案 9

a

解析 由题意可知ʃ0xdx＝a2， 3322222

又∵(x)′＝x，∴x|a0＝a，

333224即a＝a2，∴a＝.

935．求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积． 解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积． 由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，

因此所求图形的面积为

222

S＝ʃ1－1|x－1|dx＋ʃ1(x－1)dx 222＝ʃ1－1(1－x)dx＋ʃ1(x－1)dx

x31x3

＝(x－)|－1＋(－x)|21 33

11118＝(1－)－(－1＋)＋(×23－2)－(－1)＝. 33333

对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．

这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．

课时作业

一、选择题

1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )

A．ʃcaf(x)dx B．|ʃcaf(x)dx|

C．ʃbaf(x)dx＋ʃcbf(x)dx D．ʃcbf(x)dx－ʃbaf(x)dx

答案 D

解析 ∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，

∴阴影部分的面积S＝ʃcbf(x)dx－ʃbaf(x)dx.

2．由直线x＝0，x＝2π

3，y＝0与曲线y＝2sin x所围成的图形的面积等于(A．3 B.32 C．1 D.12

答案 A

解析 直线x＝0，x＝2π

3，y＝0与曲线y＝2sin x所围成的图形如图所示，其面积为 22S＝

302sinxdx＝－2cos x|03

＝－2cos

2π

3

－(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.

)

1

3.由曲线y＝(x>0)，直线y＝1，y＝2及y轴所围成的平面图形的面积为( )

x

A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2 答案 A

11

解析 由A(，2)，B(1,1)，曲线y＝(x>0)，直线y＝1，y＝2及y轴所围成的平面图形的面

2x积为

12

S＝ʃ21dy＝ln y|1＝ln 2，故选A. y

4．由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形的面积为( ) 1A. 41C. 2答案 C

解析 由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形如图，所以由曲线y＝x，y＝x3围成的封闭图形的13

面积为2ʃ10(x－x)dx＝.故选C. 2

3

B. 44D. 3

5.如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，四边形ABCD是矩形，则阴影区域的面积等于( )

4A. 3C．2 答案 B

解析 点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2， 故阴影部分的面积为

13252

S＝ʃ21(4－x)dx＝(4x－x)|1＝，故选B. 33

6．曲线C：y＝ex在点A处的切线l恰好经过坐标原点，则曲线C，直线l，y轴所围成的图形面积为( ) 3e

A.－1 2eC. 2答案 D

解析 设切点A(x0，ex0)， 直线l的斜率k＝y′|xx0＝e0，

x5B. 37D. 3

eB.＋1 2eD.－1 2

ex0又k＝，

x0ex0∴e＝，即x0＝1.

x0x0

则l的方程为y＝ex，

ee1x

∴S＝ʃ0(e－ex)dx＝(ex－x2)|1＝－1.

202

7．曲线y＝x与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为( ) 1A. 21C. 6答案 D

解析 联立曲线y＝x与直线y＝2x－1，构成方程组

11B. 125D. 12

y＝x，x＝1，解得 y＝2x－1，y＝1.

1x＝2，联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得

y＝0.

∴曲线y＝x与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为 S＝ʃ10212

xdx－1(2x－1)dx＝x2|10－(x－x)|1 3

13222115＝＋－＝. 34212

二、填空题

π3π

8．直线x＝，x＝，y＝0及曲线y＝cos x所围成图形的面积为________．

22答案 2 解析 S＝322cosxdx＝－sin x|＝2.

322

9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．

1答案 3

2

解析 根据题意得S阴＝ʃ103xdx

＝x3|10＝1，

S阴11则点M取自阴影部分的概率为＝＝. S矩3×13

2

10．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c＝________.

31答案 2

2

y＝x，1

解析 由得x＝0或x＝. c3

y＝cx，

1

∵当0cx3，

c∴S＝＝

1c011c (x－cx)dx＝(3x3－4cx4)|02311112

3－3＝3＝. 3c4c12c3

11∴c3＝，∴c＝.

82

11．由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴所围成的图形的面积S＝________. 答案

10 3

解析 如图所示，

2

y＝x＋1，由 x＋y＝3，

x＝1，x＝－2，得或(舍)． y＝2y＝5

且x＋y＝3与x轴交于点(3,0)，

x2＋10≤x≤1，3∴S＝ʃ0f(x)dx，其中f(x)＝

3－x112

∴S＝ʃ0(x＋1)dx＋ʃ31(3－x)dx

x3x－x3

＋x1＝＋021 319110＝＋1＋(9－)－(3－)＝. 3223三、解答题

12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此27

切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．

4

3

2

解 由图知方程f(x)＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0， 所以f(x)＝x2(x＋a)．

43xax27－aa432a－有＝ʃ0[0－(x＋ax)]dx＝－4＋30＝，

412

所以a＝±3.

又－a>0⇒a<0，所以a＝－3.

13．已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．

(1)若t＝2，求S2；

(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值． 解 (1)当t＝2时，S2＝

22[2－(4－x2)]dx

134

x－2x|2＝(2－1)． ＝323

t

(2)当t∈(0,2)时，S1＝ʃ0[(4－x2)－(4－t2)]dx

123t

t2x－x30＝＝33t. 

22

S2＝ʃ2t[(4－t)－(4－x)]dx

132282

x－txt＝－2t2＋t3. ＝33348所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋. 33S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，

令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，

当00，S单调递增，所以当t＝1时，Smin＝2.