文科数学
考试时间：____分钟 题型 得分 单选题 填空题 简答题 总分 单选题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。）
1．已知集合A. B. C. D. 2．A. B. C. D.
，，则
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A. A B. B C. C D. D 4．若
，则
A.
B.
C.
D.
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 6．函数
的最小正周期为
A.
B.
C. D.
的图像关于直线
对称的是
7．下列函数中，其图像与函数
A. B. C. D. 8．直线
分别与轴，
轴交于
，
两点，点
在圆
上，
则面积的取值范围是 A. B.
C. D.
9．函数
的图像大致为A. A B. B
C. C D. D
10．已知双曲线的距离为 A. B.
的离心率为，则点到的渐近线
C.
D. 11．
的内角，则
，
，
的对边分别为，，．若
的面积为
A.
B.
C.
D.
，
，
，
是同一个半径为4的球的球面上四点，
体积的最大值为
为等边三角形且
12．设其面积为A. B. C. D.
，则三棱锥
填空题 （本大题共4小题，每小题____分，共____分。）
13．已知向量，，．若，则________．
14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
15．若变量满足约束条件则的最大值是________．
16．已知函数，，则________．
简答题（综合题） （本大题共6小题，每小题____分，共____分。）
17．（12分） 等比数列（1）求（2）记
中，的通项公式； 为
的前项和．若
，求
．
．
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数和不超过的工人数填入下面的列联表：
，并将完成生产任务所需时间超过
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，．
19．（12分） 如图，矩形（1）证明：平面（2）在线段
所在平面与半圆弧
平面
上是否存在点
； ，使得
平面
？说明理由．
所在平面垂直，
是
上异于
，
的点．
20．（12分）
已知斜率为的直线与椭圆
．
交于，两点．线段的中点为
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，
．
为上一点，且．证明：
21．（12分）
已知函数．
（1）求曲线（2）证明：当
在点时，
处的切线方程；
．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系且倾斜角为（1）求（2）求
中，的参数方程为交于
两点．
（为参数），过点
的直线与
的取值范围； 中点
的轨迹的参数方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数（1）画出（2）当
的图像； ，
，求
的最小值．
．
答案
单选题
1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. C 7. B 8. A 9. D 10. D 11. C 12. B 填空题 13. 14. 分层抽样 15. 3 16. 简答题 17. （1）设由已知得故（2）若若综上，18.
（1）第二种生产方式的效率更高． 理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完
，则． 或
，则
．由
的公比为，由题设得
，解得
．
．由得
得，解得
．
，此方程没有正整数解．
（舍去），
．
或
．
成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高． 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知列联表如下：
．
（3）由于有差异． 19.
，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率
（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD． 因为BC⊥CD，BC因为M为
平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC． 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．
MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．
20. （1）设
，
，则
，
．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
，则 ．
（2）由题意得F（1，0）．设
由（1）及题设得又点P在C上，所以
，从而
，
，
．
．
于是．
同理．
所以．
故21. （1）因此曲线
．
，
在点
．
．
处的切线方程是
（2）当令当所以22. （1）当
时，
，则
时，
，．因此
单调递减；当
．
． ．
时，
，
单调递增；
的直角坐标方程为时，与
交于两点．
．
当时，记
，解得
，则的方程为或
，即
或
．与交于两点当且仅当．
综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为
．
，，，则，且，满足
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
23.
（1）
的图像如图所示．
（2）由（1）知，大值为，故当且仅当为
的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最且时，在成立，因此的最小值
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