抛物线及性质

抛物线及性质

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【知识要点】

1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物

线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

2．抛物线y22pxp0的几何性质：

p0关于x轴对称。抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

范围：x≥0，抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸。 对称性：抛物线y22px顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是坐标原点。

离心率：抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e表示。由抛物线的定义可知，e=1。 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 y22pxp0 y22pxp0 x22pyp0 x22pyp0 （0，0） x轴 （0，0） x轴 （0，0） y轴 （0，0） y轴 p,0） 2p（,0） 2p（0,） 2p（0,） 2（2xp 2e1 e1 e1 e1 xp 2py 2py 23、抛物线焦点弦的性质：设直线过焦点F与抛物线y2pxp0相交于A（x,y）,B（x,y）两点，

1

1

2

2

p2则：①x1x2；②y1y2p2；③通径长为2p；④焦点弦长|AB|=x1+x2+p 。

44、夹在抛物线y2px内,长为定值a(a2p)的动弦,当其过抛物线焦点时,动弦的中点到y轴的距离最短.

若a2p时,结论为:当ABx轴时,其中点到y轴的距离最短.

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深圳博龙教育培训中心 命题人：熊剑锋 审题人：李永佳

【典型例题】

例1、直线l:y=kx+1，抛物线C：y2=4x,当k为何值时l与C相切、相交、相离

例2、斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长

例3、抛物线y2=8x的焦点为F，A（4，－2）为一定点，在抛物线上找一点M，使|MA|＋|MF|为最小，求M点的坐标

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例4、顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边OA所在的直线方程为y=2x，斜边AB的长为53，求抛物线方程.

例5、若抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－

1，求m的值． 2【经典练习】

1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ）

A．x28y B．x24y C．x24y D．x28y

2、直线yx3与抛物线y24x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为 （ ）

A．56 B．64 C．48 D．72

23、已知抛物线yx3上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则AB等于 （ ）

A．3 B.4 C．32 D．42 4、已知AB是抛物线y＝4x的焦点弦，其坐标A(x1,y1),B(x2,y2)满足x1＋x2＝6，则直线AB的斜率是（ ）

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A.12 B. C.1 D.2 22博 龙 教 育 • 成就孩子未来！

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5、已知圆x2y26x70，与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p ___________ 6、直线y=kx－2和抛物线y=8x交于A、B两点，如果AB中点的横坐标为2，则k的值是 ____。 7、直线ax＋y=4与抛物线y=2px的一个交点为（1，2），则抛物线的焦点到这条直线的距离为 _______________。

22

x2y21的右焦点F作倾斜角为的弦AB，求弦长|AB|及弦中点C到F的距离 8、过双曲线

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9、顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y－4＝0所得的弦长为35，求抛物线的方程．

10、已知抛物线y24x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，

求点M的轨迹方程．

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【课后作业】

1、过已知点A(0,1)且与抛物线y22x只有一个公共点的直线有（ ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2、θ是任意实数,则方程x+ysinθ=4的曲线不可能是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

3、若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y22x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则当PAPF取得最小值时点P的坐标是 （ ）

A．（0，0） B．（1，1）

1C．（2，2） D．(,1)

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2

4、与y24x关于yx对称的抛物线是（）

A． B． C． D．

5、抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离是5，则此点的纵坐标是__________． 6、已知抛物线

的弦

过定点（－2，0），则弦

中点的轨迹方程是________．

7、已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点 （1）求｜MF｜+｜NF｜的值

（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由

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