概率论与数理统计试题

《概率论与数理统计》期末试题（1)

一、填空题(每小题3分，共15分）

1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)P(B)0.5,则A,B至少有一个不发生

的概率为__________。

2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X1)4P(X2)，则P(X3)______. 3． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量YX2在区间(0,4)内的概率

密度为____________

4． 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，P(X1)e2,则

_________，P{min(X,Y)1}

5． 设总体X的概率密度为

(1)x,0x1, f(x) 1.

其它0,X1,X2,,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设A,B,C为三个事件,且A,B相互独立,则以下结论中不正确的是 （ ） （A）若P(C)1，则AC与BC也独立。 （B）若P(C)1，则A （C）若P(C)0，则AC与B也独立。 C与B也独立。

(D）若CB，则A与C也独立.

2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为(x),则P(|X|2)的值为（ ） （A）2[1(2)]。 （B)2(2)1.

（C）2(2)。 （D）12(2)。 3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是 (） （A）X与Y独立。 （B）D(XY)DXDY. （C)D(XY)DXDY。 （D）D(XY)DXDY。 4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 1111P69183 若X,Y独立，则,的值为 （)

2112 （A),。 (A）,.

99991151,。 （C) , （D）6618185．设总体X的数学期望为,X1,X2,,Xn为来自X的样本,则下列结论中正确的是（）

（A）X1是的无偏估计量。 (B)X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致)估计量. （D）X1不是的估计量.

三、(7分）已知一批产品中90％是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为

0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0。02,求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

四、(12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5。 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差。

五、(10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D{(x,y)|x0,y0,xy1} 上服从均匀分布。 求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）ZXY的分布函数与概率密度.

六、(10分）向一目标射击,目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,22)分布。 求(1）命中环形区域D{(x,y)|1x2y22}的概率;（2）命中点到目标中心距离Z

2七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(,)，今抽取容量为16的

2样本，测得样本均值x10，样本方差s0.16。 （1）求的置信度为0.95的置信区

X2Y2的数学期望.

y 0 1 2 x 间；(2）检验假设H0:20.1（显著性水平为0。05)。 （附注)t0.05(16)1.746,t0.05(15)1.753,t0.025(15)2.132,

2220.05(16)26.296,0.05(15)24.996,0.025(15)27.488.

《概率论与数理统计》期末试题(2）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分)

（1） 设P(A)0.5,P(B)0.6,P(B|A)0.8,则A,B至少发生一个的概率为

___P(AB)P(A)P(B)P(AB)1.10.20.9______。

（2） 设X服从泊松分布，若EX26,则P（X〉1) =__________

1(x1),0x2,（3） 设随机变量X的概率密度函数为f(x)4 今对X进行8次

,其他.05315独立观测，以Y表示观测值大于1的观测次数，则DY8

8881（4） 元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统,能够正

100常工作100小时以上的概率为

（5） 设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(,2)，今随机地测量16个零件,

得

1616Xi1i8，Xi234. 在置信度0.95下，的置信区

i1 (t0.05(15)1.7531,t0.025(15)2.1315)

二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中,每小题3分，共15分）

（1）A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ） （A）(AB) （B）(A （C)(ABAB。

B)AB.

B)ABABAB.

（D)(AB)C(AC)(BC)。 （2）设X1,X2是随机变量，其分布函数分别为F1(x),F2(x)，为使

F(x)aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值（ ）

中应取

3222,b。 （B）a,b. 55331313 (C)a,b。 (D）a,b.

2222（3）设随机变量X的分布函数为FX(x)，则Y35X的分布函数为FY(y)（ ）

（A）a （A）FX(5y3)。 （B）5FX(y)3. （C）FX(

y33y). （D）1FX()。 55

1（4)设随机变量X1,X2的概率分布为 1 i1,2.

P4 且满足P(X1X20)1，则X1,X2的相关系数为XX （ )

1211. （C）。 （D）1。 421（5）设随机变量X~U[0,6],Y~B(12,)且X,Y相互独立，根据切比

4 雪夫不等式有P(X3YX3)( ）

55 (A）0.25. (B）. （C）0.75. （D）。

1212三、（8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布,而进入

超市的每一个人购买A种商品的概率为p,若顾客购买商品是相互独立的，

（A)0. （B）

求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制)X服从正态分布，平均成绩（即参

数之值)为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数,求（1）Y的分布列. （2）

Xi101142EY和DY.((2)0.977,(1)0.8413)

五、(10分）设(X,Y)在由直线x1,xe,y0及曲线y

上服从均匀分布，

（1）求边缘密度fX(x)和fY(y)，并说明X与Y是否独立。 （2)求P(XY2)。

D 21

所围成的区域 x

y y=1/x 0 1 e2 x

六、（8分)二维随机变量(X,Y)在以(1,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求ZXY的概率密度。

七、（9分)已知分子运动的速度X具有概率密度

x2)4x2(e,x0,0,3f(x) x1,x2,0,x0.y D1 –1 0 x x+y=z 1 ,xn为X的简单随

机样本

（1） 求未知参数的矩估计和极大似然估计； (2)验证所求得的矩估计是否为的无

偏估计。

八、(5分）一工人负责n台同样机床的维修，这n台机床自左到右排在一条直

线上,相邻两台机床的距离为a（米)。假设每台机床发生故障的概率均为

1，且相互独立，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 n的路程，求EZ。

《概率论与数理统计》期末试题(3）

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1） 设事件A与B相互独立,事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且

P(A)P(B)0.5，P(C)0.2，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的

概率为P(ABCABC)P(ABC)P(ABC)

（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2

个球,发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为____P(B2|A)（3） 设随机变量X的概率密度为f(x)1___。 22x,0x1, 现对X进行四次独立重复观

0,其它,1522察，用Y表示观察值不大于0。5的次数,则EYDY(EY)1.

44（4） 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为

(X,Y)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1) P0.40.2ab 若EXY0.8，则cov(X,Y)EXYEXEY0.80.70.1.

2（5） 设X1,X2,,X17是总体N(,4)的样本，S是样本方差,若P(S2a)0.01，则

a______8______.

2222 （注：0.01(17)33.4， 0.005(17)35.7, 0.01(16)32.0, 0.005(16)34.2）

二、单项选择题（每小题3分,共15分)

（1）设A、B、C为三个事件，P(AB)0且P(C|AB)1,则有 ( C ) (A）P(C)P(A)P(B)1. （B）P(C)P(A (C)P(C)P(A)P(B)1. （D）P(C)P(A（2）设随机变量X的概率密度为

B). B).

f(x)12e(x2)24,x

且YaXb~N(0,1)，则在下列各组数中应取 （ B ） （A)a1/2,b1. （B）a2/2,b2.

（C）a1/2,b1. （D）a2/2,b2. (3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

XP01Y01 0.40.6P0.40.6 则有 （ C)

(A）P(XY)0. (B）P(XY)0.5.

（C）P(XY)0.52. （D)P(XY)1. (4)对任意随机变量X，若EX存在，则E[E(EX)]等于 （ C ）

（A）0. (B)X. （C）EX. （D)(EX)3. (5）设x1,x2,x表示样本均值，则的置信度为1,xn为正态总体N(,4)的一个样本，的置信区间为 （ D ）

44,xu/2). nn22 (B)(xu1/2,xu/2).

nn22 （C）(xu,xu).

nn22 (D)(xu/2,xu/2).

nn （A）(xu/2三、(8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的

箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率.

四、（10分）设随机变量X的概率密度为

ax1,0x2, f(x)0,其它. 求（1)常数a; （2）X的分布函数F(x)； （3）P(1X3).

五、(12分）设(X,Y)的概率密度为

ex,0yx, f(x,y)其它.0, 求（1）边缘概率密度fX(x),fY(y)； （2)P(XY1)； （3)ZXY的概率密度fZ(z).

六、（10分）(1）设X~U[0,1]，Y~U[0,1]且X与Y独立，求E|XY|； （2）设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y独立，求E|XY|。 七、（10分)设总体的概率密度为

x1,0x1, (0) f(x;)其它.0, 试用来自总体的样本x1,x2,,xn，求未知参数的矩估计和极大似然估计。

《概率论与数理统计》期末试题（1)

一、填空题 1。 0。9 2.

11e 61,0y4,14y3。 fY(y)fX(y) 2y0,其它.4。 2 1e4 5. 11nlnxini11

二、单项选择题 1～5 D A B A A

三、解:设A‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B‘任取一产品确是合格品’ 则(1） P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B) 0.90.950.10.020.857. （2） P(B|A)P(AB)0.90.950.9977. P(A)0.8572535四、解：X的概率分布为 P(Xk)C3()()kk3kk0,1,2,3.

X 即

P02712515412523612538 125 X的分布函数为

0,27,12581, F(x)125117125,1,x0,0x1,1x2, 2x3,x3.

EX326, 552318DX3.

5525五、 解： y （1)(X,Y)的概率密度为 1

x+y=1 D D1 2,(x,y)D f(x,y)0,其它. 0 z 1 x fX(x)x+y=z （2）利用公式fZ(z)22x,0x1 f(x,y)dy0,其它f(x,zx)dx

其中f(x,zx)2,0x1,0zx1x0,其它2,0x1,xz1. 0,其它. 当 z0或z1时fZ(z)0 z z=x 0z1时 fZ(z)2 故Z的概率密度为

z0dx2x02z

z2z,0z1, x fZ(z)

0,其它. Z的分布函数为

z fZ(z)z00,0,z0,zfZ(y)dy2ydy,0z1z2,0z1,

01,z1.z11, 或利用分布函数法

z0,0, FZ(z)P(Zz)P(XYz)2dxdy,0z1,

D11,z1.0,2, z1, fZ(z)FZ(z)z0,0z1, z1.2z,0,0z1,其它.

六、解: （1）P{X,Y)D}f(x,y)dxdy

D1 e24D x2y281dxdy8r282018221er28rdrd

21er28rd()e82ee； 1x2y2812y （2)EZE(X2Y2)r281x2y2e8r2dxdy 0 1 2 1 8020re1rdrde8r2dr

40r28x re

r2800e2dr218edr2。 2r2七、解:(1）的置信度为1下的置信区间为 (Xt/2(n1)s,nXt/2(n1)s) n X10,s0.4,n16,0.05,t0.025(15)2.132

所以的置信度为0。95的置信区间为(9.7868，10。2132）

2 （2）H0:20.1的拒绝域为2(n1).

15S22151.624,0.05 (15)24.996 0.12因为

222424.9960.05(15)，所以接受H0。

《概率论与数理统计》期末试题(2）答案 一、

1。 1e2e2213e2

51554。 [P(X1100)][11e]e. 5. （0.2535,1.2535)。 二、 B C D A D

三、解：设B‘一天中恰有k个顾客购买A种商品’ k0,1, Cn‘一天中有n个顾客进入超市' nk,k1, 则 P(B) 



P(CB)P(C)P(B|C)

nnnnknkn!eCnknknpk(1p)nk

(p)knk e(1p)nk

k!nk(nk)!(p)kpe k0,1, k!。

四、解：(1）Y~B(100,p)，其中pP(60X84)( (8472)

607212)2()1

 由 0.023P(X96)1( 得 (967212)1(24)

24)0.977,即

242，故

1

所以 p2(1)10.6826。

k 故Y的分布列为P(Yk)C100(0.6826)k(0.3174)100k

(2）EY1000.682668.26,DY68.260.317421.6657。 五、解：区域D的面积 SDe211e2dxlnx12 x

1,(x,y)D,(X,Y)的概率密度为f(x,y)2

0,其它. （1）fX(x)110xdy,f(x,y)dy20,1xe2,其它.1xe2,其它.

1, 2x0,

fY(y)e2112dx,11f(x,y)dx1ydx,20,1ye2,e2y1,

其它122(e1),11, 2y20,1ye2e2y1

其它 （2）因f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y不独立。 （3）P(XY2)1P(XY2)1xy2f(x,y)dxdy

1111310.75。 2244六、解1：(X,Y)的概率密度为f(x,y)1,(x,y)D,

0,其它. 设Z的概率密度为fZ(z)，则 fZ(z)f(zy,y)dy

1,0y1,2y1z1 f(zy,y)

0,其它 z 当 z1或z1时fZ(z)0

y 1 当 1z1时fZ(z) y 所以Z的密度为

0 z120dyz1 2z1,|z|1, – 1 fZ(z)2

0,其它. 解2：分布函数法，设Z的分布函数为FZ(z)，则

FZ(z)P(Zz)P(XYz)xyzf(x,y)dxdy

z1,0,z10,(z1)2 dxdy,1z1,1z1,

4D1z1.1,1,z1z1,故Z的密度为 fZ(z)FZ(z)20,七、解：(1）先求矩估计

|z|1,其它.

1EX2x204x33ex()2dx

x()2 ex()2040xedx2 2X

再求极大似然估计 L(X1,,Xn;)i1n4xi23e(xi)2

1n 3n lnL3nlnln(n2nn24n(x1xn)2e2x22ii1

4)ln(x10

nxn)12xi1n2i

lnL3n2n2 3xidi1 得的极大似然估计 (2）对矩估计EEX2xi2i13n，

22 2 所以矩估计 2X是的无偏估计。

八、解:设从左到右的顺序将机床编号为1,2,,n

X为已经修完的机器编号,Y表示将要去修的机床号码，则 P(Xi)11,P(Yj),i,j1,2,nn,n

P(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj) Z|ij|a 于是 EZ1 n2|ij|aP(Xi,Yj)

i1j1nni1j1nn |ij|a1 2nnani 2(ij)(ji)

ni1j1ji1(n21)a. 3n《概率论与数理统计》期末试题（3）

一、填空题

1。 P(ABCABC)P(ABC)P(ABC) 2. P(B2|A)21 223. EYDY(EY)151 444. cov(X,Y)EXYEXEY0.80.70.1 5.8

二、单项选择题 C B C C D

三、解:设A‘从箱中任取2件都是一等品’ Bi‘丢失i等号' i1,2,3。

则 P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)

21C43C521C522 222;

2C910C95C99所求概率为P(B1|A)四、解：(1）1 ∴ a

（2）X的分布函数为

P(B1)P(A|B1)3。

P(A)82a2f(x)dx(ax1)dx(x2x)02a2

021 2

0,xxu F(x)f(u)du(1)du,021,x0,0,x2,0x2, x4x2.1, （3）P(1x3)32x0,0x2, x2.x1f(x)dx(1)dx. 1124,x000,f(x,y)dyxx五、解：（1）fX(x)xedy,x0.xe,00,f(x,y)dxx fY(y)edx,yx0,x0.y0y0.

0,y0, y

e,y0. （2)P(XY1)xy1120f(x,y)dxdy(eyy11201yyexdxdy

12y y=x  （3)fZ(z)ee)dy12ee1。

f(x,zx)dx

xe,x0,xz2x, f(x,zx)

0,其它. z z =2 x 当 z0 时 fZ(z)0 z=x z0 时 fZ(z) 所以

z20 x x+y=1 zz2edxexez

0,z0, fZ(z)z

x z20 ee,z0.

六、解： （1）E|XY| 1f(x,y)|xy|dxdy

100x0(xy)dxdy1x(yx)dxdy

13； （2）因X,Y相互独立，所以ZXY~N(0,2)

ZX2Y2~N(0,1) EXY22,所以E|XY|2. 七、解：先求矩估计 11EX0xdx1

11 故的矩估计为X11X

再求极大似然估计 n L(x11,,xn;)xin(x1x1n)

i1 lnLnln(1)nlnxi

i1n

dlnLdnlnxi0

i1 所以的极大似然估计为

11.

nnlnxii1

y 1 0 1 x