13.建模作业_优化问题

第五章 优化模型-优化问题

1.已知某工厂计划生产I,II,III三种产品，各产品需要在A,B,C设备上加工，有关数据如下： 产品 设备 A B C 单位产品利润 (千元)

I 8 10 2 3 II 2 5 13 2 III 10 8 10 2.9 设备有效台数（每月） 300 400 420 试问:（1）如何发挥生产能力，使生产盈利最大？

模型的建立及求解：

设生产I,II,III产品x1，x2，x3件z为所获得的利润。于是数学模型如下：

maxz3x12x22.9x38x12x210x330010x5x8x400 1232x113x210x3420x1,x2,x30;利用matlab求解（附录一）得到最优值Z =135.2667（千元）， 生产方案如下表。 产品 数量

23 I II 23 III 7 生产I,II,III产品分别为23,23,7利润最大为125.2667千元。 （2）若为了增加产量，可租用别的工厂设备B,每月可租用60台，租金1.8万元，租用B设备是否划算？

模型的建立及求解：

租用别的工厂设备B以后模型为：

maxz3x12x22.9x38x12x210x330010x5x8x460 1232x113x210x3420x1,x2,x30;利用matlab求解（附录二）得到最优值Z =129（千元），

生产方案如下表。 产品 数量 I 31 II 28 III 0 生产I,II,III产品分别为31,28,0利润最大为129千元。

（3）若另有俩种新产品Ⅳ、Ⅴ,其中新产品Ⅳ需用设备A为12台时，B为5台时，C为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品Ⅴ需用设备A为4台时，B为4台时，C为12台时，单位产品盈利1.87千元，如A,B,C的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？

模型的建立及求解：

添加两个新产品Ⅳ、Ⅴ后，Ⅳ、Ⅴ对应的产品数分别为x4，x5，建立模型如下：

maxz3x12x22.9x32.1x41.87x58x12x210x312x44x530010x5x8x5x4x400 123452x113x210x310x412x5420x1,x2,x3,x4,x50;利用matlab求解（附录三）得到最优值Z =136.9625（千元），生产方案如下表。 产品 数量

27 I II 16 III 0 0 Ⅳ Ⅴ 14 生产I,II,III，Ⅳ，Ⅴ产品分别为27,16,0,0,14利润最大为136.9625千元。 （4）对产品工艺重新进行设计，改进结构.改进后生产每件产品I需用设备A为9台时，设备B为12台时，设备C为4台时，单位盈利4.5千元，这时对原计划有何影响？

模型的建立及求解：

改进结构后，建立的模型如下：

maxz4.5x12x22.9x39x12x210x330012.5x5x8x400 1234x113x210x3420x1,x2,x30;利用matlab求解（附录四）得到最优值Z =153.1618（千元），

生产方案如下表。 产品 数量

23 I II 25 III 0 生产I,II,III产品分别为23,25,0利润最大为153.1618千元。 2. 有一个大型的冶金矿山公司，共有14个出矿点，已知其年产量及各矿点矿石的平均品位（含铁量的百分比）如下表所示：

各矿点信息 矿点号 1 2 3 4 5 6 7 出矿量（万吨） 70 7 17 23 3 9.5 1 平均铁品位（%） 37.16 51.25 40.00 47.00 42.00 49.96 51.41 矿点号 8 9 10 11 12 13 14 出矿量（万吨） 15.4 2.7 7.6 13.5 2.7 1.2 7.2 平均铁品位（%） 48.34 49.08 40.22 52.71 56.92 40.72 50.20 按照炼铁生产要求，在矿石产出后，需按要求指定的品位值T进行不同品位矿石的混合配料，然后进入烧结工序.最后，将小球状的烧结球团矿送入高炉进行高温炼铁，生产出生铁.该企业要求：将这14个出矿点的矿石进行混合配矿.依据生产设备及生产工艺要求，混合矿石的平均品位T规定为45% .问：应如何配矿才能获得最佳效益？ 模型的建立及求解：

设从第一矿点到第十四个矿点，每个矿点的配矿量分别为xi万吨（i表示矿点数），每个矿点铁的平均品味为yi。由题目给点条件，可得如下线性规划模型：

Max(xiyi),i1,2,3,将（1）展开

,14（1）

Max0.3716x10.5125x20.4x30.47x40.42x50.4996x60.5141x70.4838x80.4908x90.4022x100.5271x110.5692x120.4072x130.5020x14约束条件为混矿后的平均品味限制和各矿点的含矿量限制：

(xy)/x,i1,2,3,iii,14（2）

将（2）展开

(0.3716x10.5125x20.4x30.47x40.42x50.4996x60.5141x70.4838x80.4908x90.4022x100.5271x110.5692x120.4072x130.5020x14)0.45(x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14)0.02x0.0784x10.0625x20.05x340.03x50.0496x0.0641x0.0338x0.0408x0.0478x0.0771x78910110.1192x120.0428x1030.052x14170x170,0x27,0x3简化得： 

0x423,0x53,0x69.50x71,0x815.4,0x92.70x107.6,0x1113.5,0x122.70x1.2,0x7.21314得到最终模型： Max(xiyi)i,1,2,3, ,

0.0784x10.0625x20.05x30.02x40.03x50.0496x60.0641x0.0338x0.0408x0.0478x0.0771x78910110.1192x120.0428x130.052x1400x170,0x27,0x317S.T

0x423,0x53,0x69.50x71,0x815.4,0x92.70x107.6,0x1113.5,0x122.70x1.2,0x7.21314利用matlab求解（附录五）得到最佳效益Max=63.8991，具体分配方案见下表。 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 矿点 1 2 3 产量 31 7 17 23 3 9.5 1 15.4 2.7 7.6 13.5 2.7 1.2 7.2

3. 三个家具商店购买办公桌：A需要30张，B需要50张，C需要45张.这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张.下表给出了工厂和商店的距离（单位公里），假设每张每公里运费0.5元.寻求一个运送方案

使运费最少？

工厂和商店的距离 工厂 1 2 家具店 A 10 7 B 5 20 C 30 5 模型的建立及求解： 设工厂1运给A x1a张，给B x1b，给C x1c张。工厂2运给A x2a张，给B x2b，给C x2c张，z表示最小费用。

minz[10*x1a5*x1b30*x1c7*x2a20*x2b5*x2c]*0.5x1ax1bx1c70x2ax2bx2c80x1ax2a30x1bx2b50x1cx2c45 0x1a300x1b500x1c450x2a300x2b500x2c45.利用matlab求解（附录六）得到A B C分别在工厂1和工厂2的购买张数，如下表： 工厂 1 2 家具店 A 0 30 B 50 0 C 0 45 最优方案为： 工厂一运给A 店铺0张，给B 店铺50张，给C 店铺0张。 工厂二运给A 店铺30张，给B 店铺0张，给C 店铺45张。 总运费为342.5元

4. 某车间有一批长度为180公分的钢管（数量充分多），今为制造零件，要将其截成三种不同长度的管料，70公分，52公分，35公分.生产任务规定，这三种料的需要量分别不少于100根，150根，100根.所有截法如下表所示.我们知道，截钢管时不免要产生“边角料”，从节约原料的观点来考虑，应该采取怎样的

截法，才能在完成任务的前提下，使总的边角料达到最小限度？

所有可能的截法 截法 长度 70 52 35 边料（cm） （1） （2） （3） （4） 2 0 1 5 1 2 0 6 1 1 1 23 1 0 3 5 （5） （6） （7） （8） 0 3 0 24 0 2 2 6 0 1 3 23 0 0 5 5 需要量 100 150 100 模型的建立及求解：

设xi表示第i种方法截的数量，(i1,2,,8)，Z表示剩余边料的总和，为了节约材料，Z越小越好，而且还得满足各个长度的数量要求。建立模型如下：

minz5x16x223x35x424x56x623x75x82x1x2x3x41002xx33x52x6x7150st..2x1x33x42x63x75x8100x0,i1,2,,8i

利用matlab求解（附录七）得到剩余边料最小值为600cm， 具体截取方案如下表。 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 数量（根） 15 60 0 11 0 15 0 5

5. 某人有一笔50万元的资金可用于长期投资,可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等.不同的投资方式的具体参数如下表所示.投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%.问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？

投资参数

序号 1 2 3 4 5 6 7 投资方式（i） 国库券 公司债券 房地产 股票 短期存款 长期储蓄 现金存款 投资期限（年）ni 3 10 6 2 1 5 0 风险系数 增长潜力% 年收益率% ri 11 15 25 20 10 12 3 si 1 3 8 6 1 2 0 mi 0 15 30 20 5 10 0 模型的建立及求解： 设国库券、公司债券、房地产、股票、短期存款、长期储蓄、现金存款分别存

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8，Z表示平均年收益，由题意可建立模型如下：

Zmax(11x115x225x320x410x512x63x7)/50(3x110x26x32x41x55x6)/505(1x3x8x6x1x2x)/504123456S.T(15x230x320x45x510x6)/5010x1x2x3x4x5x6x750公司债券 房地产 股票

利用matlab求解（附录八）得到最优年收益为17%，投资方案如下表格。 存款方案 国库券 短期存款 长期储蓄 现金存款 存款额（万） 26.578 2.7907 20.6312 0 0 0 0

6. 设有M=400万元资金，要求4年内使用完，若在一年内使用资金x万元，则可获得效益g(x)x万元，效益不能再使用，当年不用的资金可存入银行，年利率为r=10%，试制定出这笔资金的使用方案，使4年的经济效益总和最大. 模型的建立及求解：

设前四年使用的资金分别为x1,x2,x3,x4万元，总的经济效益为Z，第一年使用了x1万元，则可剩余400-x1万元，则第一年末的时候得到的效益为

x1万

元，第二年可使用的资金为(1r)(400x1)，第二年末得到经济效益为

x1x2，第三年可使用的资金为(1r)[(1r)(400x1)x2]万元，第三年末

经济效益为

x1x2x3，第四年可使用的资金为

(1r)(1r)[(1r)(400x1)x2]x3万元，第四年末总效益为

x1x2x3x4因此可以建立模型如下：

Zmaxx1x2x3x4x1400;x1x2440;x1x2x3484x1x2x3x4532.4

利用matlab求解（附录九）得到四年可获得最大效益为Z=43.0858万元，

投资方案如下表所示。 年份 投资额（万元）

7. 某个中型的百货商场要求售货人员每周工作5天，连续休息2天，工资200元/周，已知对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，问如何安排可使配备销售人员的总费用最少？

销售人员调查表 星期 所需售货员人数 开始休息的人数 一 18 二 15 三 12 四 16 五 19 六 14 日 12 第一年投资额 第二年投资额 第三年投资额 第四年投资额 86.3027 103.7161 127.0870 152.2390 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 模型的建立及求解： 设星期一到星期天每天休息的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7由于要求售货人员每周工作5天，连续休息2天，工资200元/周，则可建立如下模型：

Zmin200(x1x2x3x4x5x6x7)x2x3x4x5x618x3x4x5x6x715x1x4x5x6x712x1x2x5x6x716 S.Tx1x2x3x6x719xxxxx1412347x1x2x3x4x512xi0,i1,2,3,4,5,6,7xi为整数利用matlab求解（附录十）得到最少费用为46400元， 每天安排休息的人数如下表。 星期 所需售货员人数 开始休息的人数 一 18 0 二 15 0 三 12 0 四 16 0 五 19 13 六 14 5 日 12 14

8. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知有关数据见下表。工厂在做决策时，要考虑如下的问题：

（1）根据市场信息，产品甲的需求有所上升，故产品甲的产量大于乙的2倍； （2）超过计划供应的原材料时，需高价采购，这就增加成本； （3）不要使设备超负荷运行；

（4）应尽可能达到并超过计划利润指标48；

试问问如何安排生产？给出数学模型和计算结果。

生产数据

原材料 设备 利润 甲 5 4 6 乙 10 4 8 拥有量 60 36 模型的建立及求解：

设生产甲产品为x1，生产乙产品为x2，获得利润为Z。根据问题一，应有

x12x2；根据问题二，可知x1x260；根据问题三可知4x14x236；根据问题四，要尽可能实现利润最大化。由此可建立如下模型：

Zmax6x18x2x12x20S.Tx1x2604x4x3621

利用matlab求解（附录十一）得到最大利润Z=400， 生产甲乙产品的数量如下表。 生产类别 甲产品 乙产品 数量 40.0000 20.0000

附录一：

%zs13_1_1.m

c=[-3,-2,-2.9];

a=[8,2,10;10,5,8;2,13,10]; b=[300,400,420]; vlb=[0,0,0]; vub=[];

[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); xi=round([x']) Z=-z

附录二： %zs13_1_2.m

c=[-3,-2,-2.9];

a=[8,2,10;10,5,8;2,13,10]; b=[300,460,420]; vlb=[0,0,0]; vub=[];

[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); xi=round([x']) Z=-z-18

附录三： %zs13_1_3.m

c=[-3,-2,-2.9,-2.1,-1.87];

a=[8,2,10,12,4;10,5,8,5,4;2,13,10,10,12]; b=[300,400,420]; vlb=[0,0,0,0,0]; vub=[];

[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); xi=round([x']) Z=-z

附录四： %zs13_1_4.m

c=[-4.5,-2,-2.9];

a=[9,2,10;12,5,8;4,13,10]; b=[300,400,420]; vlb=[0,0,0]; vub=[];

[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); xi=round([x']) Z=-z

附录五： %zs13_2.m

c=[-0.3716 -0.5125 -0.4 -0.47 -0.42 -0.4996 -0.5141 -0.4838 -0.4908 -0.4022 -0.5271 -0.5692 -0.4072 -0.5020]; a=[0.0784,-0.0625,0.05,

-0.02,0.03,-0.0496,-0.0641,-0.0338,-0.0408,0.0478,-0.0771,-0.1192,0.0428,-0.052]; b=0;

vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];

vub=[70;7;17;23;3;9.5;1;15.4;2.7;7.6;13.5;2.7;1.2;7.2;]; [x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); disp('取最优值对应的各个矿点的产值') xi=[x'] disp('最优值') Z=-z

附录六： %zs13_3.m

c=[10 5 30 7 10 5];

a=[1 1 1 0 0 0;0 0 0 1 1 1]; b=[70 80];

aeq=[1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1]; beq=[30 50 45]; vlb=[0 0 0 0 0 0]; vub=[30 50 45 30 50 45];

[x,z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub); xi=round([x']) Z=0.5*z

附录七： %zs13_4.m

c=[5,6,23,5,24,6,23,5];

a=[-2,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,-2,-1,0,-3,-2,-1,0;-1,0,-1,-3,0,-2,-3,-5]; b=[-100,-150,-100]; vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0]; vub=[];

[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); disp('取最优值所对应各个方案截的数量') xi=[round(x)'] disp('最优值') z

附录八： %zs13_5.m

c=[11,15,25,20,10,12,3]./(-50);

a=(1/50).*[3 10 6 2 1 5 0;1 3 8 6 1 2 0;0 -15 -30 -20 -5 -10 0]; b=[5 4 -10];

aeq=[1 1 1 1 1 1 1]; beq=[50];

vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0]; vub=[];

[x,z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub); disp('投资方案') X=[x']

disp('最优年收益') Z=-z/100

附录九：

M文件

%yueshu.m

function [g,ceq]=yueshu(x) %定义非线性的约束条件 g(1)=x(1)-400;

g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;

g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;

g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4; ceq=0; end

M文件

%fun8.m

function y=fun8(x)

y=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4))); end

代码：

%zs13_6.m x0=[1;1;1;1]; vlb=[0;0;0;0]; vub=[]; A=[]; b=[]; Aeq=[];

beq=[];

[x,z]=fmincon('fun8',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'yueshu'); X=[x'] Z=-z

附录十： %zs13_7.m

c=200*[11 15 25 20 10 12 3];

a=(-1)*[0 1 1 1 1 1 0;0 0 1 1 1 1 1;1 0 0 1 1 1 1;1 1 0 0 1 1 1;1 1 1 0 0 1 1;1 1 1 1 0 0 1;1 1 1 1 1 0 0]; b=(-1)*[18 15 12 16 19 14 12]; aeq=[]; beq=[];

vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0]; vub=[];

[x,z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub); disp('周一到周七休息的人数分别为') X=[x']

disp('需要最少的费用') z

附录十一： %zs13_8.m c=(-1)*[6 8];

a=[-1 2;1 1;-4 -4]; b=[0 60 -36]; aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0]; vub=[];

[x,z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub); disp('甲乙产品分别生产') X=[x']

disp('需要最少的费用') Z=-z