利用基本不等式ab2√ab求最值十大变形技巧

ａ２＋ｂ≥．廊求最值十大变形技巧浙江宁波万里国际学校高中本文就利用基本不等式堡＿娑≥√面（口＞０，ｂ＞０）求最值的常见变形技巧作一总结，供参考．１变正例１设菇＞０，则Ｙ＝３—３ｘ一土的最大值为（）Ａ．３Ｂ．３—３厄Ｃ．３—２万Ｄ．一１４解因为石＞０，所以３ｘ＞０，上＞０，（３菇）＋ｉ１≥２√（３彳）・了１＝２万，当３茗＝÷，即菇＝孚时取等号，从而得ｙ＝３—３ｘ一÷≤３—２石，当且仅当石＝乎时取等号，，故函数），＝３—３茗一÷的最大值为３—２西，选ｃ点评如果变量为负，首先化为正，然后再利用基本不等式求最值．练习１若算＜０，求函数），：一１２＋３茗的最大值．２代入例２已知上＋鱼：ｌ（ｍ＞０，ｎ＞０），则ｍｎ的最小值为（）Ａ．５Ｂ．１ｃ．８Ｄ．９解因为上＋三：１，所以ｍ，ｌ：ｍ，ｌ（上＋三）：２ｍ＋，ｌ：（２ｍ＋ｎ）．（上＋三）：４＋巫＋塾≥４＋２存・等＝８，选ｃ－点评整体代换，创造利用不等式的条件，然后再利用基本不等式求最值．练习２在４ｘ（）＋９（）＝１中的两个括万方数据张振继（特级教师）号中，分别填上两个正数，使它们的倒数和最小，应分别填上——和——。３乘方例３设口≥ｏ，ｂ≥０，且口２＋等＝１，求口・√ｌ＋ｂ２的最大值．册）２：口：（１＋ｂ２）：２［口：．（了１＋譬）］解设Ｙ＝口・√１＋ｂ２，则ｙ２＝（口・≤×［——‘』］２＝×（÷）２＝≤２×［牮］２－２×。晕）２＿话１８＇因为），＞０＇所以ｙ≤学．当且仅当口２＝虿１＋譬，且口２＋譬＝ｌ，即口＝譬，６：年时取等号．故口・／丽的最大值为毛等点评通过平方变形，创造利用不等式的条件，然后利用基本不等式求最值．练习３已知正数算，，，满足２ｘ２＋３ｙ２＝９，求膏￣／１＋Ｙ２的最大值，并求此时并和Ｙ的值．４拆项例４若不等式石＋Ｙ≥ａ（ｘ＋２在叫）对一切正数菇，Ｙ恒成立，求口的最大值．在万）得口≤—羔＋Ｌ解因为并＞０，Ｙ＞０，由茁＋Ｙ≥ａ（ｘ＋２茗＋２、／２ｘｙ而—生■兰：——冬竺＝＝≥名＋２，，／２ｘｙ膏＋２，／ｘ。（２ｙ）ｘ＋！一１茗＋（ｚ＋２ｙ）一２。当ｚ＝２ｙ时取“＝”号．所以ｏ≤ｉ１．即口的最３１５０４０大值为告・点评本题将２ｘｙ拆成石・（２ｙ），通过拆项，然后创设利用不等式的条件求最值．练习４（２００６年陕西卷）已知不等式（茗＋ｙ）（上＋旦）≥９对任意正实数石，ｙ恒成立，则正实石了数Ⅱ的最小值为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８５添项ｇ，１５设ｏ＜省＜ｌ，口＞ｏ，６＞ｏ，则￡＋≯二的最小值为（）Ａ．口６Ｂ．２（口２＋ｂ２）Ｃ．（８＋６）２Ｄ．（ｏ一６）２解＝口：＋６ｚ＋虫业＋旦≥（ｏ＋６）ｚ，当且仅解｝＋产１￡＋０２＿：［菇＋（１一戈）］（￡＋：＃Ｌ）直一石ｉ＝［菇＋（１一戈）］（等＋＃ｉ）算ｌ—Ｘ当Ｌ！口２：＃旦，即茁：—‰∈（ｏ，１）时取等ＸＪ一卫。十Ｏ号，生＋—Ｌ的最小值为（血＋６）２，选ｃ．点评通过添项，然后创设利用不等式的条件求最值，添项时一定要注意保持恒等．练习５（２００７年山东卷）函数Ｙ＝ｌｏｇ。（髫＋３）一１（口＞０，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线／＇ｔ＇ｔＸ＋ｎｙ＋１＝０上，其中ｍｔｔ＞０，则上＋三的最小６值为一换元例６已知ｎ＜０，ｂ＜ｏ，则ｙ＝南＋南的最小值为（）Ａ．亨Ｂ．２（在一１）ｃ２厄一ｌｎ２（厄＋１）解设ｍ＝Ⅱ＋２ｂ＜０，ｎ＝ｔｌ，＋ｂ＜０，解得口＝２ｎ—ｍ。ｂ＝ｍ一忍，旦＞０．ｍ强ｙ＝忐＋南＝譬＋等＝２ｎ＋堡一２≥２．／堑．塑一２：２（厄一１），／７／，／／，７Ｖｍｎ故，，＝≯％＋了毛的最小值为２（厄一１），选万方数据ｃ‘点评通过换元，然后创设利用不等式的条件求最值，常见的换元有三角换元、代数换元等．筝习６设戈＞一１，求函数ｙ＝垒＿±妄￥｝土盐的最值．７消元例７若戈，Ｙ＞Ｏ，且旦＋鱼＝１（Ⅱ，ｂ为正常再Ｙ数，且ｔｌ，≠ｂ），求％＋Ｙ的最小值．』生：ｚ＋丛生＿巡解由已知，得Ｙ＝旦，所以聋＋Ｙ＝戈＋Ｘ—Ｏ戈一ａ髫一ａ＝（∞一Ｄ）＋卫生＋Ｄ＋ｂ≥２河＋ｏ＋ｂ＝（石＋万）２．当且仅当旦＝茁一ｏ，即髫＝口＋，／－ｆｆ，Ｙ＝６＋￣／ｎ６时取“＝”号，故工＋Ｙ的最小值为（伍＋万）２．点评通过消元化二元为一元函数，然后再利用基本不等式求最值．练习７（２００８年江苏卷）设正数石，Ｙ，ｚ满足并—２，，＋３ｚ＝０，则Ｌ的最小值为——．．．２８构造例８设石，Ｙ均为正数，且名ｙ一童一Ｙ—ｌ＝０，则算＋Ｙ的取值范围是（）Ａ．０＜菇＋Ｙ≤２（压＋１）白．髫＋Ｙ≥（厄＋１）２ｃ０＜石＋Ｙ≤（压＋１）２Ｄ．菇＋Ｙ≥２（，／２＋１）解因为ｘ，Ｙ均为正数，且拶一髫一Ｙ一１＝０，所以石＋），＋１：茁ｙ≤堕乒，ＢＤ（石＋ｙ）２—４（茗－ｇＹ）一４≥０，解得石＋Ｙ≥２（以＋１），或戈＋，，≤２（１一√２）．由于立，Ｙ均为正数，所以算＋Ｙ≥２（拉＋１），选Ｄ．点评利用基本不等式构建不等关系，通过解不等式，然后才能求出函数的最值来．练习８’已知正数口，ｂ满足ａｂ＝ｎ＋ｂ＋３，则Ⅱ＋ｂ的最小值为一——，９重组例９已知正数石，Ｙ，ｚ满足ｘｙｚ（ｘ＋Ｙ＋彳）＝１，求（省＋Ｙ）（Ｙ＋二）的最小值．解（髫＋Ｙ）（Ｙ＋ｚ）＝ｘｙ＋船＋），２＋ｙｚ＝影＋ｙ（Ｘ＋Ｙ＋：）≥２厶万页石丐了万＝２，当且仅当ｌ戈ｙｚ（菇＋Ｙ＋三）＝，１时取等号，故（髫＋ｙ）（，，＋彳）的Ｌ戈ｚ。Ｙ（髫＋Ｙ＋ｚ）最小值为２．点评有时候要对所给题设进行重新组合，然后再利用不等式求得所求的最值．练习９（２００６年重庆卷）若口，ｂ，ｃ＞０，且口（ｏ＋ｂ＋ｃ）＋６ｃ＝４—２√§，贝４２口＋ｂ＋ｃ的最／Ｊ、值为（）Ａ．万一１Ｂ．石＋１ｃ．２万＋２Ｄ．２万一２１０引参例１０设ｘ＞０，Ｙ＞０，ｚ＞０，且石＋ｙ＋彳＝ｌ，求上＋尘＋９的最小值．（１９９０年日本１ＭＯ代表ｚＹｏ队选拔赛试题）．解石＋Ｙ＋二＝１，即菇＋Ｙ＋ｚ一１＝０，弓Ｉ进参数ｔ＞０，则上＋４＋一９：一１＋一４＋导＋￡（戈＋Ｙ＋彳一互Ｙｚ石Ｙ石ｌ、：—１—＋红＋尘＋￡ｙ＋—９—＋ｔｚ一‘＝１２，Ｉｔ—ｔ．当且仅当红＝÷，秒＝等，拓＝詈，ｚ＝３６时取等号，故上＋！＋旦的最小值为３６．＾ｊ’‘点评通过引参数，可以创设利用基本不等式求最值的条件，从而求得所要求的最值．求证：２缈＋２弘＋２猫≤掣．练习１０如果茹，Ｙ，ｚ∈Ｒ，且石２＋Ｙ２＋ｚ２＝１，练习题参考答案１铲詈他＝－［（一詈）＋３（－－Ｘ）］≤一１２．２．而１，西１．３．厢，戈＝万，ｙ＝１．４．（名＋ｙ）（÷＋号）＝１＋口＋考＋等≥ｌ＋万方数据口＋２√考‘等＝（石＋１）２，当且仅当考＝等，即考＝石时詈“＝”号．由已知不等式（算＋，，）（÷＋号）≥９对任意正实数ｘ，Ｙ恒成立，则只需（√Ⅱ＋１）２≥９，即石＋１≥３，口≥４．选（ｃ）．５．函数Ｙ＝ｌｏｇ。（戈＋３）一１（口＞０，８≠１）的图象恒过定点Ａ（一２，一１），所以（一２）・ｍ＋（一１）・ｎ＋１＝０，２ｍ＋ｎ＝１，ｍ，ｎ＞Ｏ，则上＋三：（上＋三）．（２玑＋ｎ）：４＋旦＋堑≥４＋２／旦．４一ｍ：８．ｍｎ～ｍ凡当且仅当ｔ＝２，即ｚ＝１时取“＝”号，故函数Ｙ：鱼＿』掣车±盟的有最小值９，无最大值．Ｚ十ｌ７．由茗一２ｙ地＝ｏ，得ｙ＝学，于是乞２＝￡±暑兰兰堕＝÷（÷＋警＋６）≥÷（２ｘｚｑＸｚｑｚｘｑ２＋６）＝３，当且仅茗＝Ｙ＝３ｚ时Ｌ取最小ｘｚ值为３．８．由／万≤下ａ＋ｂ，得口６≤（生≠）２，由口６＝口＋６＋３，得口＋６＋３≤（｝＃）２，解得口＋６≥６．故口＋ｂ的最小值为６．９．因为口（口＋ｂ＋ｃ）＋ｂｃ＝（ａ＋ｂ）（口＋ｃ）≤（生号业）２，即（ａ＋ｂ）＋（口＋ｃ）≥２，／４—２√互所以，２口＋６＋ｃ＝（口＋ｂ）＋（口＋ｃ）≥２、ｌ～一２５＝２，３—２，当且仅当ｂ＝Ｃ时取“＝”号，选（Ｄ）．１０．提示：茗ｙ≤争２＋争２，２ｙｚ≤Ａ），２＋ｉ１ｚ２，２杞≤一１、ｚ２＋Ａ≯（Ａ＞０）．４１利用基本不等式a+b/2(√)ab求最值十大变形技巧

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

张振继

浙江宁波万里国际学校高中,315040中学数学杂志（高中版）

ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONG BAN)2010，\"\"(3)0次

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