正方形的性质与判定知识点及例题

正方形的性质与判定

一．知识要点：

1．正方形的定义：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

二．例题讲解

1. 正方形的性质

【铺垫】正方形有 条对称轴．

【例1】如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AEAF，AF20，则BE的长为

平行四边形正矩形方菱形形ADFEBCA2A1A3A4A5A2，...，An【例2】将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 【铺垫】如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AECE．

AD E

C B

【例3】如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PEBC于E，PFCD于F.求证：APEF. AD

P F

CEB 1

【巩固】☆如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且ABP为等边三角

P形，那么DCP

【例4】如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE,DG，求证：BEDG.

AB

EF

DA

CGB

【例5】如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上的一点，CECF，FDC30，求BEF的度数.

DA

E

BFC

【例6】如图4.6－6，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求

DC证：AE＝EF．

解析：可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF

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2.正方形的判定

【例1】如图所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试说明四边形CEDF为正方形。 A DF

CEB

【例2】已知：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E．

⑴ 求证：四边形ADCE为矩形； ⑵ 当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

M

EAN

BC D

【例3】已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．

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