中考圆的综合题训练(含答案)

1、（12分）（2014•攀枝花,23．）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

！

2．（8分）（2014•苏州27）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=

，连接AB、AD、BD，弦AB不经过

圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF． （1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；

（2）求证：BF=BD；

（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF并说明PB与AE的位置关系．

）

3．（9分）（2014•苏州28）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4

cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的

移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）

（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为 °；

（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；

（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

%

4.（2014上海25．本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）

如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝

45，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；

~

（2）联结AP，当AP2014成都27本小题满分

10分）

如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是⌒

AC

上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.

（1）求证：△PAC∽△PDF；

（2）若AB=5，⌒AP =⌒

BP ，求PD的长；

（3）在点P运动过程中，设AGx，tanAFDy，求y与x之间的函数关系式.（不要求写出x的取值范围）

BGtanAFDAE，

FE

(

6．（9分）（2014•淄博24）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB=30°的点P有 个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

》

7、（10分）（2014•襄阳25．）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．

（1）求证：△ADP∽△BDA；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

|

8、（10分）（2014•南宁25．）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． （1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； \"

（2）求证：∠ACF=90°；

（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求

的长．

【

9、（12分）（2014•泰州25．）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方． （1）若直线AB与有两个交点F、G．

①求∠CFE的度数；

②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；

（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

。

10、（2014•湖州24．）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；

（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b； /

（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

11、（2014 徐州28.本题10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG. （1）试说明四边形EFCG是矩形；

（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；

\"

②求点G移动路线的长.

；

】

《

12、（12分）（2014•荆州25．）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=

，以O为圆心，OA长为半

径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

（1）求证：四边形ABHP是菱形；

（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由； （3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

-

，

、

13、（2014日照本小题满分14分21．）

阅读资料：

小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：

如图l，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长刚交切线PC于点P．连接AC，BC，OC． 因为PC是⊙O 的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2． 又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．在△PAC与△PCB中，又因为∠P=∠P，所以△PAC～△PCB，所以

PAPC=PCPB，即PC2=PA·PB．问题拓展：

（1）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2），等式PC2=PA·PB，还成立吗请证明你的结论． 综合应用：

￥

（2）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P．

①当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；

是BC的中点，PD交AC于点E．求证：PC2②DPA2CEAE

图1 图2 图3

@

；

.

14、（11分）（2014•河北25．）图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不

与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

（1）点O到弦AB的距离是 ，当BP经过点O时，∠ABA′= °； （2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长： （3）若线段BA′与优弧

只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．

(

15、（12分）（2014•漳州24．）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）

（1）【理解与应用】 `

如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为 _________ ． （2）【类比与推理】

如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值； （3）【拓展与延伸】

如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

》

\"

16、（10分）（2014•常州28．）在平面直角坐标系xOy中，点M（

，

），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使

⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；

（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E． ①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；

②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．

@

17、（9分）（2014年云南省23．）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点． （1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；

（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为

，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF

若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．

【

|

￥

18、（2014•江西，第22题8分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP。 （1）求△OPC的最大面积； （

2）求∠OCP的最大度数； ^（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线.

：

19. （2014•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC． （1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；

（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）； ，

（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．

圆综合大题复习答案 1．（12分）（2014•攀枝花）

解答： 解：（1）连接PA，如图1所示．

∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2

，∴OA=

．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA=

=2．

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．

∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．

（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：

】

∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．

∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=∴点M的坐标为（﹣2，

）．

（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．

，PH=PO=1．∴OH=2．

\" 3．（9分）

（2014•解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，

∵AB=4∴CD=4

cm，AD=4cm， cm，AD=4cm，

=

=

，

∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，苏州）解∴∠OAD=45°， ∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，答： OC=1，OA=

，∴tan∠OCA=

=

．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG

的大小不变，始终等于120°．

∴tan∠DAC=∴∠DAC=60°，

∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105；

2．（8分）（2014•苏州）

解答： （1）解：连接OB，OD，

∵∠DAB=120°，∴

|

所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半径为3，

的长为：

×π×3=2π；

（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E， —

连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1， 在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4

，∴tan∠C1A1D1=

=

，∴∠C1A1D1=60°，

，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，

∴劣弧

（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线， ∴BF=AC，∵

=

，∴

+

=

+

，∴

=

，∴BD=AC，∴BF=BD；

在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E=∴t﹣2=

，∴t=

+2，∴OO1=3t=2

+6；

（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P， ∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，

=

，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=

（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，

如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置， 设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，

∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，

在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=∴t1=2﹣

、

，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，

，

②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，

记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴解得：t2=2+2

，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣

＜t＜2+2

+2﹣（2﹣．

）=t2﹣（

+2），

4、2014上海

5、2014成都

&

6．（9分）（2014•淄博）

解答：

解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC， 以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2． 在优弧AP1B上任取一点P，如图1，

则∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有无数个．故答案为：无数． （2）①当点P在y轴的正半轴上时， 过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．

∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．

/

∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG=

=

=2

．

∴点C的坐标为（3，2）．

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，

∵点C的坐标为（3，2

），∴CD=3，OD=2

．∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==

．∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=

．

∴P2（0，2﹣）．P1（0，2

﹣+

+）．

+﹣

）． ）、（0，﹣2

+

）．

②当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P3（0，﹣2（0，2

{

﹣

）、（0，2

）．P4（0，﹣2）、（0，﹣2

综上所述：满足条件的点P的坐标有：

（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==，∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC， ∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴∴AP2=（3+AP）•1，解得：AP=或AP==，AP2=CP•PD，． （3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．

∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩（舍去），∴BC=AB=2AP=1+形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH==

=

∴OP=

（0，

）．

②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣

）．理由：

①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），

连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB． ∵∠APB=∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，

同理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值， 此时点P的坐标为（0，

）和（0，﹣

）．

# （1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE， ∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线， 7．（10∴∠DAE=∠APE=90°， 分）∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°， （2014∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△•襄阳）ADP∽△BDA； 解答： （2）PA+PB=PC， 证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF， ∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC， ; 在△BPA和△BFC中，， ∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC； ∴P 8．（10分）（2014•南宁） 解答： 解：（1）BE=FH．

证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE， 在△ABE和△EHF中，

《

∴△ABE≌△EHF（AAS）∴BE=FH． （2）由（1）得BE=FH，AB=EH，∵BC=AB，∴BE=CH，∴CH=FH，∴∠HCF=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，

∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°． （3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=

FH．∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．

如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=CF=

FH．

∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，∴△CPE∽△FHE．∴

，即

，∴EF=4

．∵△AEF为等腰直

角三角形，∴AF=8．取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°， ∴

的弧长为：

=2π．

9．（12

解：（1）连接CD，EA，

分）（2014•

泰州）解答：

∴P（，）．

10．（2014•湖州）

证明：（1）如图，连接PM，PN，

∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE， 在△PMF和△PNE中，

，∴△PMF≌△PNE（ASA），

]

∴PE=PF，

∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°， （2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，

（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，

.

由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1， ∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，

②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上， 同理可证△PMF≌△PNE，

∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2﹣a，

（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，

∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M（b，

b）

∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0） —

∴OM2=（

b）2+（

b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（

b）2，∵FM=FG，

∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE

∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（

b）2]=64﹣

b2=64×（1﹣

b2），∵直线AB与

有两个交点F、G．

∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1

∴4≤b＜5， （3）如图，

当△OEQ∽△MPF∴=∴=， 解得，t=

，当△OEQ∽△MFP时，∴

=

，

=，解得，t=，

当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（Ⅱ）如图4，当t＞2时， ∴存在点P，使∠CPE=45°， ∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0） . ∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， 连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，

∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，

由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1

当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，

当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，

所以当t=，t=

，t=2±

时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．

11. （2014 徐州本题10分） }

（1）∵CE是⊙O的直径，点F、G在⊙O上，∴∠EFC=∠EGC=90°，

又∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°，∴四边形EFCG是矩形···························2分

（2）①∵四边形EFCG是矩形，∴∠BCD=90°，∴tanBDC=BCAD4CDAB3. ∵∠CEF=∠BDC，∴tanCEF=tanBDC，即CF43EF3，EF4CF.·

··········3分 ∴SEF•CF3矩形EFCG4CF2.

∵当点F与点B重合时，CF=BC=4；

当⊙O与射线BD相切时，点F与点D重合， 此时CF=CD=3；

当CF⊥BD时，S矩形EFCGBC•CDBD125.

∴

125CF4. '

∴当CF=

125cm时，S1082矩形EFCG取得最小值25cm；·····················6分 当CF=4cm时，S矩形EFCG取得最大值12cm2.································8分 ②如答图4，连接DG，并延长DG交BC得延长线与点G’.

∵∠BDG=∠FEG=90°，又∵∠DCG’=90°，∴点G得移动路线为线段DG’,·······9分 ∵CD=3cm，∴CG’=3CD94,∴DG’=CD2CD21544（cm）.··············10分 12．（12分）（2014•荆州）

解答： 解：（1）证明：连接OH，如图①所示．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD． 】

∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=． ∵OH=OA=

，∴sin∠HON=

=

．∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H， ∴OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3

．∴BC=3

．∵∠BAD=90°，∠

BDA=30°．∴tan∠BDA=

=

=

．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四边

形ABHP是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，∴BA与⊙O相切于点A．∵BD与⊙O相切于点H，∴BA=BH．∴平行四边形ABHP是菱形． （2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上． 如图②所示，点G落到AD上．

∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．

由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED=

=

=．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=

．

∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣

﹣

=

．∴OG=OM．∴点G与点M重合．

此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．

,

∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2． （3）①如图①， 在Rt△EGF中，tan∠FEG==

=

．∴FG=

x．∴S=GE•FG=x•

x=

x2．

②如图③，

ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．∵tan∠SRG==

=

，

∴SG=（x﹣2）．∴S△SGR=SG•RG=•（x﹣2）•（3x﹣6）．

=（x﹣2）2．∵S△GEF=x2，∴S=S△GEF﹣S△SGR=

x2﹣

（x﹣2）2．

=﹣

x2+6

x﹣6

．

综上所述：当0≤x≤2时，S=

x2；当2＜x≤3时，S=﹣

x2+6

x﹣6

．

当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．

\\

∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°． ∵OT=

，∴OQ=2．∴AQ=

+2． ∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形． ∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣

x．

∴KQ=AQ﹣AK=（

+2）﹣（3

﹣

x）=2﹣2

+

x． 在Rt△FKQ中，tan∠FQK==

．∴FK=QK．∴3=（2﹣2

+

x）．

解得：x=3﹣

．∵0≤3﹣

≤2，∴S=x2=

×（3﹣）2=

﹣6．

∴FG与⊙O相切时，S的值为

﹣6．

13解：（1）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC2=PA·PB仍然成立．

；

证法一：如图1，连接PO，并延长交⊙O于点D，E，连接BD，AE．

图1

∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE， （2分）

∴△PBD～△PEA． ∴

PDPA=PBPE，即PA·PB=PD·PE， （4分） 由图1知PC2=PD·PE，∴PC2=PA·PB． （6分）

证法二：如图2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC．

∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CD， （2分） 《

∴∠CAD=∠PCD=90°，即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°， ∴∠D=∠2． （4分）

∵∠D=∠B，∴∠B=∠2，∠P=∠P，∴△PBC～△PCA， ∴

PAPC=PCPB，即PC2=PA·PB． （6分） （2）①由（1）得PC2=PA·PB，PC=12，AB=PA， PC2=PA·PB=PA（PA+AB）=2PA2，

∴2PA2=144，PA=±62，PA=-62无意义，舍去． ∴PA=62． （8分）

②证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F， ∴

PBPA=BDAF，CDAF=CEAE． （10分） —

∵D为BC的中点，∴BD=CD． ∴

BDAF=CDAF，∴PBPA=CEAE． （12分） PC2=PA·PB．

PC2PA2=PAPBPA2=PBCEPC2CEPA=AE，即PA2=AE． （14分）

证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，

∴

PBPA=BDGD，CDDG=CEAE．（10分） ∵D为BC的中点，∴BD=CD．∴BDGD=CDDG，∴PBPA=CEAE． （12分）

PC2=PA·PB．

PC2PA2=PAPBPA2=PBPA=CEPC2CEAE，即PA2=AE （14分）

）

解：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示． 14河北解答：

∵OH⊥AB，AB=2

，∴AH=BH=

．

∵OB=2，∴OH=1．∴点O到AB的距离为1． ②当BP经过点O时，如图1②所示． ∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，∴sin∠OBH==．∴∠OBH=30°．由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．

∴∠ABA′=60°．故答案为：1、60．

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．

∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．

∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=

．∵OG⊥BP，∴BG=PG=

．∴BP=2

．∴折痕的长为2

．*

（3）若线段BA′与优弧

只有一个公共点B，

Ⅰ．当点A′在⊙O的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°． Ⅱ．当点A′在⊙O的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°． 综上所述：线段BA′与优弧

只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

解：（1）如图2，

15．（12分）∵四边形ABCD是正方形，

（2014•漳∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．

州）解答：￥

∵AB=BC=2， ∴AC=2

．∴OA=

．∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=

．

（2）如图3，

∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5．

∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA． ∴

，

．∴

=

=1．∴

+

=1．∴EP+FP=．∴PE+PF的值为．

（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值． 理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4．

∵DG与⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°． ∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD=OA=4．

同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，

．∴

=

=1．∴

=1．∴PE+PF=4．∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．

16．（10解：（1）过点M作MH⊥OD于点H， 分）

∵点M（

，

），∴OH=MH=

，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OA=OM，

（2014•∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°∴∠AMB=90°； 常州）解（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD， 答：

∴OM=

=2，OD=2OH=2

，∴OB=4，∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5，∴E点坐标（5

，0） ②∵OD=2

，Q的纵坐标为t，∴S=

．

如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点， ∵OP=4，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，

此时S=

；

如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上， ∴OP=2

，∵OP•OQ=20，∴t=OQ=5

，此时S=

；∴S的取值范围5≤S≤10．

17解答：

解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．

∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．∴

=

=

．∵点P是AC中点，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．

∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°， ∴∠CHP=∠COA=90°．∴点P的坐标为（，2）．

设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，

∴

∴

∴直线DP的解析式为y=

x﹣5．

（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴

=

．

∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=

．∴OM=

．

∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）

②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示， ∵△DOM∽△CBA，∴=

．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴

=

．∴OM=

．∵点M在x轴的正半轴上，

∴点M的坐标为（

，0）．综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（

，0）或（

，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，

∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PFD．∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2

﹣

．

根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小． ∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC． ∴

=

．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴

=．∴DP=

．∴DE2=DP2﹣

=（

）2﹣

=

．

∴DE=，∴S四边形DEPF=DE=

．∴四边形DEPF面积的最小值为

．

19．（8解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．

分）∵AB与⊙O相切于点A， （2014•∴OA⊥AB． 株洲）解

答：

∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB==

=．

∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=

，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=

，∴HB=AB•sin∠HAB=

×

=．

∴S△ABC=AC•BH=×

×=．∴△ABC的面积为

．

（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；②当线段A1B所在的直线与圆O

相切时，如图2所示，

线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．

∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°． （3）连接MQ，如图3所示．

∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ． ∴△PDO∽△PMQ．∴

=

=

∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．

∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=

．∴DM=．

∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM=

=

=

．

∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥AB． ∵AM=

，∴BM=

，AB=．∴AC=

．∴CM=

=

=

．

∴CM的长度为

．