时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 已知集合,集合,则( )
A. B. C. D. 2. 在等差数列中,若,是方程的两根,则的前11项的和为
A. 22 B. C. D. 11
3. 总体由编号为01,02,03,,49,50的50个个体组成,利用随机数表以下选取了随机数表
中的第1行和第2行选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 A. 05 B. 09 C. 07 D. 20 4. 某地气象局预报说,明天本地降水概率为,你认为下面哪一个解释能表明气象局的观
点( ) A. 明天本地有的时间下雨,的时间不下雨 B. 明天本地有的区域下雨,的区域不下雨 C. 明天本地下雨的机会是
D. 气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报 5. 设有下面四个命题
：若复数z满足
,则
；
：若复数z满足,则； ：若复数,满足,则：若复数
,则
．
；
其中的真命题为 A. , B. , C. , D. ,
6. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,
验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石
7. 某兴趣小组有男生20人,女生10人,从中抽取一个容量为5的样本,恰好抽到2名男生和
3名女生,则
①该抽样可能是系统抽样； ②该抽样可能是随机抽样： ③该抽样一定不是分层抽样；
- 1 -
④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．
其中说法正确的为( ) A.①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ③④ 8. 已知向量,,且,则( )
A. B. C. 6 D. 8
9. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊,无法
确认,在图中以X表示若两个小组的平均成绩相同,则下列结论正确的是( )
A. , B. , C. , D. ,2,
10. 如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志
愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A. 24
11. 定义在R上的奇函数
A.
B. 18
满足B.
C. 12 ,且在C.
上
D. 9 ,则D.
( )
12. 如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 的长方体框架,一个建筑工人欲
从 A处沿脚手架攀登至 B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
- 2 -
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 设复数14.
15. 已知向量
,则复数的展开式中,
,
的共轭复数为______． 的系数为______． ,
,
,若
,则
的最小值______．
16. 给出下列命题：
①命题“若,则”的否命题为“若,则”； ②“”是“”的必要不充分条件； ③命题“,使得”的否定是：“,均有④命题“若,则”的逆否命题为真命题． 其中所有正确命题的序号是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （10分）已知函数
求函数若把
18. （12分）已知二项式
5,按要求完成以下问题： Ⅰ求n的值；
Ⅱ求展开式中含的项； Ⅲ计算式子
- 3 -
”；
,．
的单调区间；
向右平移个单位得到函数
,求
在区间
上的最小值和最大值．
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：
的值．
19. （12分）已知数列
求
的前n项和,点在函数的图象上
的通项公式；
的前n项和为,不等式
对任意的正整数恒成立,求实数a设数列
的取值范围．
20. （12分）如图,四棱锥中,底面ABCD,
段AD上一点,,N为PC的中点． 证明：平面PAB；
求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
,,,M为线
21. （12分）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求各有多少种情
况出现以下结果：
只鞋子没有成双的； 只恰好成两双；
只鞋子中有2只成双,另2只不成双．
22. （12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制
了频率分布直方图如图所示,规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败．
晋级成功 晋级失败 - 4 -
合计 男 女 合计 16 50 Ⅰ求图中a的值；
Ⅱ根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？
Ⅲ将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X,求X的分布列与数学期望． 参考公式：
,其中
- 5 -
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查不等式求解及集合的补集，属于基础题.
根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得CBA． 【解答】
2
解：因为A={x|x-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}， B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}， 则CBA=[3，+∞) , 故选A． 2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质和根与系数的关系,重点考查
这一性质的运用,属于
较易题.
根据方程求出a5+a7的值，根据等差数列的性质求得a6，再利用等差数列的前n项和公式和等差中项得前11项和. 【解析】
2
解:等差数列{an}中,若a5,a7是方程x-2x-6=0的两根, 则a5+a7=2,
∴a6=（a5+a7）=1， ∴{an}的前11项的和为
．
故选D． 3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了随机数表法的应用问题，是基础题．
从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且为小于或等于50的编号，注意重复的数值要舍去，由此求出答案． 【解答】
解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始， 由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为 08，02，14，07，02（重复，舍去），43， 可知选出的第4个数值为07， 故选C．
4.【答案】C
- 6 -
【解析】解：根据概率的意义，“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%， 故选C．
根据概率的意义，即可得出结论． 本题考查根据概率的意义，比较基础． 5.【答案】B
【解析】【分析】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，属于基础题．
根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】
解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；
p2：复数z=i满足z2=-1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题； p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．
故选B． 6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用数学知识解决实际问题，用样本估计总体，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论． 【解答】
解：由题意，这批米内夹谷约为1534×
≈169石，
故选B． 7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假. 【解答】 解：①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；
第二步确定分段间隔k=
=6；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤10）；
第四步将编号为l+6k（0≤k≤4）依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因
此①正确．
②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②
- 7 -
正确；
③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，
但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男三女，抽的比例不同，故③正确； ④该抽样男生被抽到的概率
=
；女生被抽到的概率=
，故前者小于后者．因此④不正确．
故选A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案． 【解答】
解：∵向量=（1，m），=（3，-2）， ∴+=（4，m-2）， 又∵（+）⊥，
∴（+）=12-2（m-2）=0，
解得：m=8， 故选D． 9.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础． 根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小． 【解答】
解：∵两个小组的平均成绩相同，
∴80+X+72+74+74+63=81+83+70+65+66， 解得：X=2，
由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，
22
∴根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得S甲＜S乙， 故选：A． 10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的
- 8 -
走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论． 【解答】
解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
22
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C4C2=6种走法． 同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法． 故选B.
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，对数函数的性质、运算性质，及函数的周期性、奇函数性质的综合应用，利用条件求出函数的周期、以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键．由已知条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出f（log354）的值． 【解答】 解：由f（x+2）=-得，f（x+4）=-=f（x），
所以函数f（x）的周期是4，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，且3＜log354＜4，
x且在（0，1）上f（x）=3，
所以f（log354）=f（log354-4）=-f（4-log354） =-（
）=-=-.
故选C．
12.【答案】B
【解析】解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路， ∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次， ∴最近的行走路线共有：n=A=5040，
∵不能连续向上，∴先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列， 接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53， 则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有m==1440种， ∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率p==
=．
故选：B．
根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，最近的行走路线共有：n=A=5040，先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列，接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排三个元素，也就是A53，求出最近的行走路线中不连续向上攀登的次数m==1440种，由此能法语出其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率．
本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原问题转化为排列、组合问题，特别要
- 9 -
注意题干中“不连续向上攀登”的限制． 13.【答案】1-i
【解析】【分析】
本题考查复数的代数形式混合运算，是基础题． 直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可． 【解答】
解：复数z=1+i，则复数+z2==1+i．
复数+z的共轭复数为：1-i 故答案为1-i． 14.【答案】-480
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通项公式
2425
Tr+1=，令6-r=2，解得r=4．T5=．又（y-2y），展开即可得出．xy的系数为×（-•23）=-480． 【解答】
解：通项公式Tr+1=， 令6-r=2，解得r=4． ∴T5=．
24
又（y-2y）=（y2）4-•2y+-+，
∴x2y5的系数为×（-•23）=-480． 故答案为-480． 15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由∥，可得：n+2m=4，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】 解：∵∥，
∴4-n-2m=0，即n+2m=4， ∵m＞0，n＞0， ∴+=（n+2m）=≥
2
=
=，
- 10 -
当且仅当n=4m=时取等号， ∴+的最小值是． 故答案为．
16.【答案】④
【解析】【分析】
本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．
①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断． 【解答】
22
解：①根据否命题的定义可知命题“若x=1，则x=1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，所以①错误．
②由x2-5x-6=0得x=-1或x=6，所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，所以②错误．
2
③根据特称命题的否定是全称命题得命题“∃x∈R，使得x+x-1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x-1≥0”，所以③错误．
④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题，所以④正确． 故答案为④.
2
17.【答案】解：（1）=1+2sinxcosx-2sinx =
sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z， 得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， 可得函数
的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；
，k∈Z，
令2kπ+≤2x+≤2kπ+得kπ+≤x≤kπ+可得函数
，k∈Z，
]，k∈Z．
的单调减区间为[kπ+，kπ+
（2）若把函数f（x）的图像向右平移个单位， 得到函数∵x∈[-，0]， ∴2x-∈[-
=的图像，
，-]，
- 11 -
∴
故g（x）在区间
∈[-2，1]．
上的最小值为-2，最大值为1．
【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
（1）利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，由x的范围求出的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围．
18.【答案】解：（Ⅰ）依题意，Cn1：Cn2=2：5，即5n=n（n-1），解得n=6； （Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6． ∴Tr+1=C6（2x）
r6-r=C62
r6-r
3
26-23
3
由6-r=3，得r=2，∴展开式中含x的项C62x=240x．
（Ⅲ）令x=1得C+C+C+C2+C+C+C=3．
【解析】（Ⅰ）依题意，Cn1：Cn2=2：5，即可求n的值；
3
（Ⅱ）写出通项，令x的指数为3，即可求展开式中含x的项；
3
（Ⅲ）令x=1得C+C+C+C2+C+C+C．
本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想． 19.【答案】解：（1）∵点（n，sn）在函数y=x+x的图象上， ∴当
时，
①，
②，
2
3
6
①-②得an=n， 当n=1时，∴an=n；
（2）由（1）知an=n，则
=（-）．
）]
，符合上式，
∴Tn=[（1-）+（-）+（-）+…+（-=（1+-=-（∵Tn+1-Tn=
+-） ）．
＞0，
∴数列{Tn}单调递增，
- 12 -
∴（Tn）min=T1=．
要使不等式Tn＞loga（1-a）对任意正整数n恒成立，只要＞loga（1-a）， ∵1-a＞0， ∴0＜a＜1，
∴1-a＞a，即0＜a＜．
【解析】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列{Tn}的单调性的分析，突出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于难题． （1）根据题意可得
，可得
=（-，从而即可求{an}的通项公式； ），从而可求得Tn=[（1-）+（-）
（2）由（1）知an=n，利用裂项法可求+（-）+…+（-）]，由Tn+1-Tn=
＞0，可判断数列{Tn}单调递增，从而可求
得a的取值范围．
20.【答案】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG， ∵N为PC的中点， ∴NG∥BC，且NG=又AM=
，
，BC=4，且AD∥BC，
∴AM∥BC，且AM=BC，
则NG∥AM，且NG=AM，
∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG， ∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB； 法二、
在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME， 在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=∵AD∥BC， ∴cos在△EAM中， ∵AM=
，AE=
，
=
，
，则sin∠EAM=
，
，
由余弦定理得：EM=
- 13 -
∴cos∠AEM=，
而在△ABC中，cos∠BAC=，
∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC， ∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC， ∴NE∥PA，则NE∥平面PAB． ∵NE∩EM=E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；
（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得
CM2=AC2+AM2-2AC•AM•cos∠MAC=．
∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，
∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD， ∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角． 在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN=在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=
=
， ，
∴sin．
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．
（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=
，再
由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；
（2）由勾股定理得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
21.【答案】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，
- 14 -
结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，
（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，
（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只， 结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．
【解析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，
（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决
（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．
本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．
22.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1， 可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1， 解得a=0.005；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25， 所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人）， 填表如下： 男 女 合计
晋级成功 16 9 25
晋级失败 34 41 75
合计 50 50 100
假设“晋级成功”与性别无关， 根据上表数据代入公式可得
，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75， 将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 所以X可视为服从二项分布，即
，
故
， ， ， ，
，
- 15 -
.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 .
）．
数学期望为或（
【解析】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．
（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数， 填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，
知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望 .
- 16 -
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