2020-2021学年度安徽省安庆市第一中学高一上学期期中数学试卷【含解析】

2020-2021学年度安徽省安庆市第一中学高一上学期期中数

学试卷【含解析】

一、单选题

1．若2{1,a21,a1}，则a =（ ） A．2 【答案】D

【分析】分别令a212，a12，求出a值，代入检验．

【详解】当a212时，a1，当a1时，a1a212，不满足互异性，舍去，当a1时，集合为{1,2,0}，满足； 当a12时，a1，不满足互异性，舍去. 综上a1． 故选：D．

【点睛】本题考查集合的定义，掌握集合元素的性质是解题关键．求解集合中的参数值，一般要进行检验，检验是否符合元素的互异性．如有其他运算也要满足运算的结论． 2．设命题p：所有矩形都是平行四边形，则p为（ ） A．所有矩形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是矩形 C．有的矩形不是平行四边形 D．不是矩形的四边形不是平行四边形 【答案】C

【分析】根据全称量词命题p的否定是存在量词命题，判断即可. 【详解】解：命题p：所有矩形都是平行四边形， 则p为：有的矩形不是平行四边形. 故选：C.

【点睛】本题考查了全称量词命题的否定命题应用问题，是基础题. 3．如果ab，那么下列不等式一定成立的是（ ） A．2a2b 【答案】C

【解析】分析：根据题目中所给的条件，结合不等式的性质得到大小关系. 详解：ab，2a2b,故A不正确；cacb,B也不正确；

B．cacb

C．acbc

D．a2b2

B．1或－1

C．1

D．－1

acbc，C正确；D a2b2不一定正确，当a,b为负数时，不等式不成立.

故答案为C.

点睛：这个题目考查了根据已知条件得到不等式的大小关系；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 4．函数fxx31的图象可能为（ ） xA． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法即可得出正确选项. 【详解】由fxx31可知：该函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B､C. x又fx在0,上为增函数，排除D， 故选：A.

【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数图象，考查了函数的奇偶性、和单调性，属于中档题 5．若f(x1)xA．f(x)xx C．f(x)xxx1

22x，则f(x)的解析式为（ ）

B．f(x)x2x(x0) D．f(x)x2x

【答案】C

【分析】令x1t，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可. 【详解】f（x1）＝x+x， 设x1t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，

∴f（t）＝（t﹣1）2+t﹣1＝t2﹣t，t≥1，

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）． 故选：C.

【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.

6．已知函数f(2x)的定义域是[0,2]，则函数yf(x1)f(x1)的定义域是（ ） A．{1} 【答案】C

【分析】由复合函数的定义域可得函数f(x)的定义域，再解不等式组即可得解. 【详解】因为函数f(2x)的定义域是0,2，所以函数f(x)的定义域为0,4，

B．[1,2]

C．[1,3]

D．[2,3]

0x14yf(x1)f(x1)若要使有意义，则，解得x1,3.

0x14所以函数yf(x1)f(x1)的定义域是1,3. 故选：C.

7． 对于函数yf(x),xR,“yf(x)的图象关于数”的（ ）

A．充分而不必要条件 C．充要条件 【答案】B

【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要

轴对称”是“

=f(x)是奇函

x24x,x2x2∈R，8．已知函数f(x)，若存在x1，且x1≠x2，使得f(x1)f(x2)，

2ax5,x2则实数a的取值范围为（ ） A．,0 【答案】B

【分析】转化条件为f(x)在,2上的取值范围与在2,上的有交集，结合二次函数及一次函数的性质分类讨论即可得解.

2【详解】当x2时，f(x)x4x，由二次函数的性质可得f(x)单调递增且

9,B．

49,C．

29D．0,

2f(x),4；

若要满足题意，只需使f(x)在,2上的取值范围与在2,上的有交集，

当x2时，若a0，则f(x)2ax54a5,， 则4a54，解得a99，此时0a；

44若a0，f(x)5，符合题意；

若a0，则f(x)2ax5,4a5，符合题意； 综上，实数a的取值范围为,故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为f(x)在,2上的取值范围与在

9. 42,上的有交集，再结合一次函数、二次函数的性质即可得解.

二、多选题

9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A．yx与yC．yx3 2B．yt1与y(x1)2 D．yx2与yx

1x1y与 2x1x1【答案】BC

【分析】可判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为相同函数，否则为不相同函数.

【详解】A中yx的定义域为R，y相同函数；

定义域和对应关系B中y|t1|的定义域为R，y(x1)2|x1|的定义域为R，都相同，是相同函数；

x3的定义域为{x|x0}，定义域不同，不是

C中yx2的定义域为R，y|x|2x2的定义域为R，定义域和对应关系都相同，是

相同函数；

D中y1x1{x|x1}y的定义域为，的定义域为{x|x1}，定义域不同，2x1x1不是相同函数． 故选：BC．

10．下列命题正确的有（ ） A．a,bR，a2(b1)0

2

ab 1a1b1,x0的最小值为4 C．函数f(x)xx2B．若ab0，则

D．ab0是a2b20的充要条件 【答案】AB

【分析】举出例子可判断A、C，作差可判断B，由充分条件、必要条件的定义可判断D.

【详解】对于A，当a2,b1时，满足a2(b1)0，故A正确；

2a1bb1aabab0， 对于B，若ab0，则

1a1b1a1b1a1bab，故B正确； 1a1b10，故C错误； 对于C，f(1)112所以

对于D，当a2,b0时，满足ab0，但不满足a2b20， 故ab0不是a2b20的充分条件，故D错误. 故选：AB.

11．已知全集U和集合A，B，C，若A⊆B⊆∁UC，则下列关系一定成立的有（ ） A．A∩B=A

【答案】ACD

【分析】根据集合的关系，以及集合的交并补即可判断. 【详解】根据条件A⊆B⊆∁UC，作出维恩图如下，

B．B∪C=B D．(∁UA)∪(∁UC)=U

C．C⊆∁UA

由图可知，A∩B=A，C⊆∁UA，(∁UA)∪(∁UC)=U正确；B∪C=B错误. 故选：ACD

f(x1)f(x2)1恒成12．若函数f(x)满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式22x1x2

立，则称f(x)在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数f(x)中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（ ） A．f(x)4x1 C．f(x)2x2x1 【答案】BC

【分析】令g(x)f(x)x，问题转化为判断g(x)在(1,)上是增函数，分别对各

2B．f(x)xx21 x2D．f(x)x22x1

个选项判断即可．

【详解】若函数f(x)满足对x1，x2(1,)，当x1x2时，不等式恒成立，

f(x1)f(x2)[f(x1)x12][f(x2)x22]10， 则

x12x22(x1x2)(x1x2)f(x1)f(x2)1x12x22g(x1)g(x2)0，x1，x2(1,)，且x1x2， 令g(x)f(x)x，则

x1x22g(x)在(1,)上是增函数，

对于A,f(x)4x1，则g(x)f(x)x2x24x1，对称轴是x2， 故g(x)在(1,2)递增，在(2,)递减，故A错误；

2对于B,f(x)xx112，则g(x)f(x)xx，是对勾函数， xx故g(x)在(1,)递增，故B正确；

对于C,f(x)2x22x1，故g(x)f(x)x2x22x1，对称轴是x1， 故g(x)在(1,)递增，故C正确；

对于D,f(x)x22x1，则g(x)f(x)x22x1， 故g(x)在(1,)递减，故D错误； 故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性问题，考查转化思想，关键在于

f(x1)f(x2)1恒成立可转化为新函数g(x)f(x)x2满足22x1x2g(x1)g(x2)0上恒成立，即g(x)在(1,)上是增函数，属于中档题．

x1x2

三、填空题

213．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)2x1，则f1_________. x【答案】3

【分析】根据奇函数的定义，先求f(1)，即可得结果. 【详解】因为当x>0时，f(x)2x所以f(1)213， 又函数f(x)为奇函数， 所以f(1)f(1)3， 故答案为：3

14．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，则f(x)的单调递增区间为_________. 【答案】[0,)

【分析】由已知可设f(x)x,由题意知f(2)调性可得解.

【详解】因为f(x)为幂函数, 设f(x)x,

由函数f(x)的图象过点(2,2)， 则22,即即f(x)x,

故f(x)的单调增区间为[0,), 故答案为 [0,).

15．已知集合Ax1x2，Byyx,xA，Cyyxa,xA，若B1221， x2，求出,再结合函数f(x)的单

1, 22C，则实数a的取值范围是_________.

【答案】a1或a3

【分析】转化条件为B1,4、C1a,2a，再由交集的结果即可得解. 【详解】因为Ax1x2，



所以Byyx,xA1,4，Cyyxa,xA1a,2a，

2又BC，所以2a1或1a4，解得a1或a3，

所以实数a的取值范围是a1或a3. 故答案为：a1或a3. 16．已知实数x，y满足x，y>0，则x2yx4y的最大值为_________.

【答案】2 【分析】平方后结合基本不等式可得2x2y2，即可得解.

x4y2x2yx4y4xy2x4yx4y【详解】由题意，112， x4yx4yx4yx4y当且仅当x4y时，等号成立，

所以x2yx4y的最大值为2.

故答案为：2.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

四、解答题

17．已知集合Axx2x30，集合Bxxa1. （1）若a=3，求A∩B和A∪B；

（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）A2B{x|3x2}，ABx4x1（2）0a2

【分析】（1）化简集合A，当a=3时，化简集合B，根据交集、并集运算即可；

a13A,B（2）化简集合，得到集合B是集合A的真子集，解不等式组即得解.

1a1

【详解】（1）Axx2x30x3x1. 因为a3，所以Bxx31x4x2， 因此A2B{x|3x2}，ABx4x1；

（2）Ax3x1，Bxxa1xa1x1a， 因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集， 因此有a13，等号不同时成立，

1a1解得0a2.

18．已知函数f(x)ax2bx3(a，b∈R).

（1）若关于x的不等式f(x)0的解集为(-1，3)，求a+b的值； （2）若b=-a-5，解关于x的不等式f(x)4x2. 【答案】(1)1 (2)答案见解析

【分析】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值，再求ab;

（2）不等式化为(x1)(ax1)0，讨论a的取值，即可求出对应不等式的解集． 【详解】（1）因为不等式f(x)0等价于ax2bx30，它的解集是(1,3)， 所以1和3是一元二次方程ax2bx30的两实数根，

b

13a

由一元二次方程根与系数关系，得，

313

a

解得a1，b2，所以ab1．

2（2）将不等式f(x)4x2化为ax(a1)x10，

即(x1)(ax1)0

1当a0时，由原不等式可得x10，解得x1；

2当a0时，由原不等式可化为(x1)(x)0，

①当0a1，即

1a111时，解不等式得x1或x； aa

11时，不等式的解为x1； a11③当a1，即1时，解不等式得x或x1；

aa111由原不等式可化为(x1)(x)0，且1，解此不等式得x1； 3当a0时，

aaa1综上，当a0时，不等式的解集为{x|x1}；

a②当a1，即

当a0时，不等式的解集为{x|x1}； 当0a1时，不等式为{x|x1或x}； 当a1时，不等式的解集为{x|x1}； 当a1时，不等式的解集为{x|x1a1或x1}． a【点睛】关键点点睛：解含参二次不等式时，首先考虑能否分解因式，当能分解因式时，综合考虑对应二次函数的开口方向及零点的大小关系，分类求解，注意要不重不漏，结果最后写成解集的形式，本题运算较为复杂，属于中档题.

19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（万元）的专项补贴（补贴资金不超过20万元），并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到

t615（万件），A公司生产t（万件）防护服还需要投入成本60+3x+50t（万元）. x4（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府贴x万元计入公司收入）；

（2）政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？并求出利润的最大值. 【答案】（1）y2x450120,0x20；（2）当政府补贴11万元时，A公司的x4防护服利润达到最大，最大值为68万. 【分析】（1）由题目等量关系运算即可得解； （2）转化条件为y2x4225128，结合基本不等式即可得解. x4【详解】（1）由题意，该公司的收入为80tx万元，投入为603x50t， 所以该公司的利润y80tx603x50t306152x60 x42x450120,0x20； x4

（2）由（1）得y2x4502251202x4128 x4x44x422512868， x4225即x11时，等号成立， x4当且仅当x4所以当政府补贴11万元时，A公司的防护服利润达到最大，最大值为68万. 20．已知实数x>0，y>0，且2xyxya(x2y2)(a∈R). （1）当a=0时，求x+4y的最小值，并指出取最小值时x，y的值； （2）当a1时，求x+y的最小值，并指出取最小值时x，y的值. 2【答案】（1）

9（2）4 211【分析】(1) 当a=0时，由已知可得2，然后利用乘1法，结合基本不等式可

xy求解； (2)当a121122时，2xyxy(xy)xy(xy)xy，然后结合基本不

222等式可求解.

【详解】（1）当a=0时，2xyxy，

112， xy11114yx14yx9x4y(x4y)()(5)(52),

xy22xy2xy24yx1133且2，即 y,x时取等号， 当且仅当xyxy42此时x+4y的最小值为

9， 2（2）当a121122时，2xyxy(xy)xy(xy)xy，

222212xy，

3xyxyxy322解得xy4，

当且仅当x=y即2xyxy故xy的最小值4.

12(xy2)，即 x=y=2时取等号， 2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．已知定义在R上的函数f(x)的单调递增函数，且对∀x，y∈R，都有

f(xy)f(x)f(y)1，f(2)=5.

（1）求f(0)，f(1)的值；

2（2）若对x,，都有f(kx)f(2x1)1成立，求实数k的取值范围.

3211【答案】（1）f(0)1；f12；（2）k4.

【分析】（1）令xy0可得f(0)，令xy1可得f1； （2）转化条件为k得解.

【详解】（1）令xy0，则f(0)f(0)f(0)1，所以f(0)1； 令xy1，则f(2)f(1)f(1)15，所以f12；

22（2）由题意，不等式f(kx)f(2x1)1可转化为f(kx)f(2x1)12，

222211x,的最小值即可对恒成立，换元后求得x2xx2x32所以fkx2x1f1，

2因为函数f(x)单调递增，所以kx22x11， 所以k2211x,恒成立， 对2xx322111令t2,3，则2t22t2t，

x22所以当t2即x所以k4.

1时，2t22t取最小值4， 2

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化不等式为k22对x2x2211x,恒成立，再转化为求2的最小值即可得解.

xx3222．已知函数yf(u)的定义域为A，值域为B.如果存在函数ug(x)，使得函数

yfg(x)的值域仍为B，则称ug(x)是函数yf(u)的一个“等值域变换”.

（1）若函数yf(u)u1，ug(x)x21(x>0)，请判断ug(x)是不是函数xyf(u)的一个“等值域变换”？并说明理由；

x2ax1（2）已知单调函数yf(u)的定义域为Au1u2，若ug(x)2xx1是函数函数yf(u)的一个“等值域变换”，求实数a的取值范围. 【答案】（1）不是；证明见详解.（2）

2【分析】（1）求出yf(u)u1的值域以及yfg(x)的值域，根据题中定义即

可判断.

x2ax1（2）根据题意可得g(x)2的值域与u的取值范围相同，转化为

xx1x2ax1ux2x1，从而可得0，再由1u2，利用韦达定理即可求解.

【详解】（1）ug(x)x证明如下：

1(x>0) 不是函数yf(u)的一个“等值域变换”， xyf(u)u211，

fu的值域为1,，

11又yfg(x)x1x223， xxx21122x2，当且仅当x1时取等号， 22xx135， x22yfg(x)x2即yfg(x)的值域为5,， 两函数的值域不同，

ug(x)x1(x>0) 不是函数yf(u)的一个“等值域变换”. x

（2）

yf(u)在定义域1,2上为单调函数，

yf(u)在两端点处取得最值，

又

x2ax1是函数函数yf(u)的一个“等值域变换”， ug(x)2xx1yfg(x)与yf(u)值域相同，

1gx2，即g(x)的值域与u的取值范围相同，

x2ax122由u2得xax1uxx1，

xx11ux2aux1u0有根，

au41u0，

即3u2a8u4a0，

2222又1u2，1,2是方程3u2a8u4a0的两个根，

222a81213a2a， 2124aa3所以实数a的取值范围是.

【点睛】方法点睛：本题考查了函数的值域求法，常见方法如下： （1）利用函数的单调性求值域. （2）对于分式型的值域利用分离常数法. （3）换元法. （4）数形结合法. （5）判别式法.