高中导数知识点及练习题

一、导数的概率

设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数Yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比

yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把xxxx0这个极限值叫做函数yf(x)在xx0处的导数，记作y/，即

f/(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x注：1.函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。 y3.是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义x是过曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）及点(x0x,f(x0x)）的割线斜率。 4.导数f/(x0)limx0f(x0x)f(x0)是函数yf(x)在点x0的处瞬时变化

x率，它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

yf(x0)f/(x0)(xx0)。

5.导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关，与x无关。

x趋近于x0，6.在定义式中，设xx0x，则xxx0，当x趋近于0时，

因此，导数的定义式可写成f/(x0)limxof(x0x)f(x0)f(x)f(x0)lim。 xx0xxx07.若极限limx0f(x0x)f(x0)不存在，则称函数yf(x)在点x0处不可导。

x8.若f(x)在x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线存在，反之不然。若曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）有切线，函数yf(x)在x0不一定可导，并且，若函数yf(x)在x0不可导，曲线在点（x0,f(x0)）也可能有切线。 一般地，

x0lim(abx)a，其中a,b为常数。特别地，limaa。

x0如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个

x(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x)。

称这个函数f/(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/，即f/(x)＝y/＝limyf(xx)f(x) limx0xx0xxx0函数yf(x)在x0处的导数y/就是函数yf(x)在开区间(a,b)xx0即y/(x(a,b))上导数f/(x)在x0处的函数值，在x0处的导数也记作f/(x0)。

＝f/(x0)。所以函数yf(x)注：1.如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在

开区间(a,b)内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导

函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f/(x)在点x0的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的x0换成x就可，即f/(x)＝

x0limf(xx)f(x)

x4.由导数的定义可知，求函数yf(x)的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量yf(xx)f(x)。 （2）.求平均变化率

yf(xx)f(x)。 xx（3）.取极限，得导数y/＝lim二.练习题 （一）、选择题

y。

x0x1．若函数yf(x)在区间(a,b)内可导，且x0(a,b)则limh0f(x0h)f(x0h)

h的值为（ ）

A．f'(x0) B．2f'(x0) C．2f'(x0) D．0

2．一个物体的运动方程为s1tt2其中s的单位是米，t的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 3．函数yx3x的递增区间是（ ）

A．(0,) B．(,1) C．(,) D．(1,)

4．f(x)ax33x22,若f'(1)4,则a的值等于（ ）

A．C．

1916 B． 331310 D． 335．函数yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取极值的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件

6．函数yx44x3在区间2,3上的最小值为（ ） A．72 B．36 C．12 D．0 （二）、填空题

1．若f(x)x3,f'(x0)3，则x0的值为_________________； 2．曲线yx34x在点(1,3) 处的切线倾斜角为__________； 3．函数ysinx的导数为_________________； x4．曲线ylnx在点M(e,1)处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；

5．函数yx3x25x5的单调递增区间是___________________________。 （三）、解答题

1．求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程。

2．求函数y(xa)(xb)(xc)的导数。

3．求函数f(x)x55x45x31在区间1,4上的最大值与最小值。

4．已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3； （1）求a,b的值；（2）求函数y的极小值。

（一）、选择题 1．函数yx33x29x2x2有（ ）

A．极大值5，极小值27 B．极大值5，极小值11

C．极大值5，无极小值 D．极小值27，无极大值 2．若f'(x0)3，则limf(x0h)f(x03h)（ ）

h0hA．3 B．6

C．9 D．12 3．曲线f(x)（ ）

A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)和(1,4) D．(2,8)和(1,4)

x3x2在p0处的切线平行于直线y4x1，则p0点的坐标为

4．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f'(x)g'(x),则

f(x)与g(x)满足（ ）

A．f(x)g(x) B．f(x)g(x)为常数函数 C．f(x)g(x)0 D．f(x)g(x)为常数函数

15．函数y4x2单调递增区间是（ ）

x1A．(0,) B．(,1) C．(,) D．(1,)

2lnx6．函数y的最大值为（ ）

x10A．e1 B．e C．e2 D．

3

（二）、填空题

1．函数yx2cosx在区间[0,]上的最大值是 。

22．函数f(x)x34x5的图像在x1处的切线在x轴上的截距为________________。

3．函数yx2x3的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。

4．若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是 。

5．函数f(x)x3ax2bxa2,在x1时有极值10，那么a,b的值分别为________。 （三）、解答题

1．已知曲线yx21与y1x3在xx0处的切线互相垂直，求x0的值。

2．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？

3． 已知f(x)ax4bx2c的图象经过点(0,1)，且在x1处的切线方程是yx2

（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的单调递增区间。

134．平面向量a(3,1),b(,)，若存在不同时为0的实数k和t，使

22xa(t23)b,ykatb,且xy，试确定函数kf(t)的单调区间。

（一）、选择题

1．若f(x)sincosx,则f'()等于（ ） A．sin B．cos C．sincos

D．2sin

2．若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象是（ ）

3．已知函数f(x)x3ax2x1在(,)上是单调函数,则实数a的

取值范围是（ ）

A．(,3][3,) B．[3,3] C．(,3)(3,) D．(3,3)

4．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f'(x)0，则必有（ ）

A． f(0)f(2)2f(1) B. f(0)f(2)2f(1) C. f(0)f(2)2f(1) D. f(0)f(2)2f(1)

5．若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为（ ）

A．4xy30 B．x4y50 C．4xy30 D．x4y30 6．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）

y yf(x)b aO x A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（二）、填空题 1．若函数fxxxc在x2处有极大值，则常数c的值为_________；

22．函数y2xsinx的单调增区间为 。

3．设函数f(x)cos(3x)(0)，若f(x)f(x)为奇函数，则=__________

14．设f(x)x3x22x5，当x[1,2]时，f(x)m恒成立，则实数m的

2取值范围为 。

5．对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，

a则数列n的前n项和的公式是

n1三、解答题

1．求函数y(1cos2x)3的导数。

2．求函数y2x4x3的值域。

23．已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值

3(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间。

(2)若对x[1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围。

x2axb4．已知f(x)log3,x(0,)，是否存在实数a、b,使f(x)同时满足

x下列两个条件：（1）f(x)在(0,1)上是减函数，在1,上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由.

三.导数综合应用

1.已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd的图象如图所示．

（I）求c,d的值；

（II）若函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的解析式；

（III）在（II）的条件下，函数yf(x)与y图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

2．已知函数f(x)alnxax3(aR)．

（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）函数f(x)的图象的在x4处切线的斜率为

g(x)1f(x)5xm的33,若函数213mxx2[f'(x)]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围． 32 3．已知函数f(x)x3ax2bxc的图象经过坐标原点，且在x1处取得极大值．

（I）求实数a的取值范围；

(2a3)2（II）若方程f(x)恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；

9（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意、R，求证：|f(2sin)f(2sin)|81．

4．已知常数a0，e为自然对数的底数，函数f(x)exx，g(x)x2alnx．

（I）写出f(x)的单调递增区间，并证明eaa； （II）讨论函数yg(x)在区间(1,ea)上零点的个数．

5．已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1．

（I）当k1时，求函数f(x)的最大值；

（II）若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；

6．已知x2是函数f(x)(x2ax2a3)ex的一个极值点（e2.718）．

（I）求实数a的值；

（II）求函数f(x)在x[,3]的最大值和最小值．

7．已知函数f(x)x24x(2a)lnx,(aR,a0) （I）当a=18时，求函数f(x)的单调区间； （II）求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值．

32

8．已知函数f(x)x(x6)alnx在x(2,)上不具有单调性． ．．．

（I）求实数a的取值范围；

（II）若f(x)是f(x)的导函数，设g(x)f(x)6个不相等正数x1、x2，不等式|g(x1)g(x2)|

12xax(a1)lnx,a1. 2 （I）讨论函数f(x)的单调性；

2，试证明：对任意两2x38|x1x2|恒成立． 279．已知函数f(x) （II）证明：若a5,则对任意x1,x2(0,),x1x2,有

f(x1)f(x2)1.

x1x212xalnx,g(x)(a1)x,a1． 2（I）若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；

（II）若a(1,e](e2.71828)，设F(x)f(x)g(x)，求证：当x1,x2[1,a]时，不等式|F(x1)F(x2)|1成立．

10．已知函数f(x)

11．设曲线C：f(x)lnxex（e2.71828），f(x)表示f(x)导函数．

（I）求函数f(x)的极值；

（II）对于曲线C上的不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1x2，求证：存在唯一的x0(x1,x2)，使直线AB的斜率等于f(x0)．

12．定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,)，

（I）令函数f(x)F(3,log2(2xx24))，写出函数f(x)的定义域；

（II）令函数g(x)F(1,log2(x3ax2bx1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0(4x01)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；

（III）当x,yN*且xy时，求证F(x,y)F(y,x)．