压缩感知理论在计算电磁学中的应用研究

本文以矩量法为例研究了压缩感知理论在计算电磁学中的应用。论文围绕欠定形式的矩量法方程的构造和求解展开了一系列的研究,旨在通过引入压缩感知技术提高矩量法的求解效率,主要内容如下:一、对计算电磁学中三种主要的数值方法的基本原理进行了概述,回顾了压缩感知理论的研究历程和应用现状,陈述了在计算电磁学中引入压缩感知理论的研究意义,探讨了具体的研究途径。

然后,详细介绍了矩量法的数学原理,列出了在矩量法中常用的一些基函数与权函数,并分析了矩量法在二维散射问题中的应用。同时,对压缩感知理论的理论基础和数学原理进行了介绍,并针对其中的一些关键问题进行分析与讨论,为后续的研究提供了相关的理论背景。

二、研究了矩量法中的基函数与权函数都是彼此线性相关的特殊情况。由于基函数线性相关,导出的矩量法方程将有稀疏解;由于权函数线性相关,导出的欠定方程可通过初等行变换而被转换为欠定方程。

引入压缩感知技术,可以减小阻抗矩阵的规模,提高方程的求解效率。另一方面,在迭代精细过程中,无须考虑当前解中零分量所对应的基函数,因而可以实现计算区域网格的自适应剖分和局部加密。

静电场数值实验验证了方法的可行性及高性能。三、研究了基函数与权函数都是线性无关的一般情况,提出了一种新的欠定方程构造方法。

首先,根据待解问题的物理先验信息选用适当的变换矩阵对待求解进行稀疏变换,构造出有稀疏解的矩阵方程;然后,对权函数进行随机删减得到欠定方程;最后,采用优化求解方法对方程进行求解。数值实验表明,稀疏变换矩阵的构造以及权函数随机删减策略,对算法的计算效果有着直接的影响。

四、将压缩感知理论引入到小波矩量法中,提出了一种确定性的欠定方程构造方法。在经典的小波矩量法中,阻抗矩阵、激励向量和解向量同时被局部化,从而可得到有稀疏解的矩阵方程。

另一方面,在散射问题中,激励向量与解向量都反映了散射体几何结构信息,因而局部化后的激励向量与解向量存在明显的相关性,即两者的支撑域高度重合。新方法据此对解向量中的稀疏分量分布进行了精确先验。

通过保留解向量支撑域所对应的权函数,建立相应的欠定方程,解决了欠定方程不确定对数值结果稳定性的影响。五、将利用压缩感知技术快速重构向量拓展到快速重构矩阵,提出了矩量法阻抗矩阵快速填充方法。

由于阻抗矩阵具有明确的物理意义,因而其元素间具有明显的相关性。通过构造关于阻抗矩阵的离散稀疏变换,可以得到一组关于阻抗矩阵列向量的并且有稀疏解的方程。

然后,采用随机删减方法建立起相应的一组欠定方程。最后,对欠定方程进行优化求解即可实现阻抗矩阵的快速填充。