初中七年级数学培优训练(奥数)专题04 初识非负数

初中七年级数学培优训练（奥数）专题4 初识非负数

阅读与思考

绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1.去绝对值符号法则

aa0aa0a0 a02.绝对值的几何意义

从数轴上看，a即表示数a的点到原点的距离，即a代表的是一个长度，故a表示一个非负数，

ab表示数轴上数a、数b的两点间的距离.

3.绝对值常用的性质 ①a0 ②a2aa2 ③abab ④

2aab0 bb⑤abab ⑥abab

例题与求解

【例1】已知a5,b3，且abba，那么ab .

（祖冲之杯邀请赛试题）

解题思路：由已知求出a、b的值，但要注意条件abba的制约，这是解本题的关键.

【例2】已知a、b、c均为整数，且满足ab10ac101，则abbcca（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：ab1.

10≥0，ac≥0，又根据题中条件可推出ab，ac中一个为0，一个为

10

【例3】已知x11＋x22＋x33＋…＋x20022002＋x20032003＝0，求代数式

2x12x22x3…－2x20022x2003的值.

解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x1,x2,x3,…，x2002,x2003的值，注意2n12n的化简规律.

【例4】设a、b、c是非零有理数，求

abcabacbcabc的值. abcabacbcabc解题思路：根据a、b、c的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键.

（希望杯邀请赛试题）

【例5】设x1,x2,x3,x4,x5,x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6.

记S|x1x2||x2x3||x3x4||x4x5||x5x6||x6x1|，求S的最小值.

（四川省竞赛试题）

解题思路：利用绝对值的几何意义建立数轴模型.

【例6】已知(ab)b5b5，且2ab10，求ab的值.

（北京市迎春杯竞赛试题）

解题思路：由2ab10知2ab10，即b2a1，代入原式中，得

2(3a1)22a42a4，再对3a1的取值，分情况进行讨论.

A级

1.若m,n为有理数，那么，下列判断中： （1）若mn，则一定有mn； （2）若mn，则一定有mn； （3）若mn，则一定有mn；

（4）若mn，则一定有m(n)；正确的是 .（填序号） 2.若有理数m,n,p满足

22mmnnpp1，则

2mnp .

2mnp3.若有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图所示，则c1acab化简后的结果是 .

4.已知正整数a,b满足b2b20，abab0，且ab，则ab的值是 .

（四川省竞赛试题）

5.已知a1,b2,c3,且abc，那么abc .

2

6.如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示：

则在ab,b2a,ba,ab,a2,b4中，负数共有（ ） A．3个 B．1个 C．4个 D．2个

（湖北省荆州市竞赛试题）

7. 若a8,b5，且ab0，那么ab的值是（ ）

A．3或13 B．13或－13 C．3或－3 D．－3或－13 8.若m是有理数，则mm一定是（ ）

A．零 B．非负数 C．正数 D．负数 9.如果x2x20，那么x的取值范围是（ ）

A．x2 B．x2 C．x2 D．x2

10.a,b是有理数，如果abab，那么对于结论（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中（ ）

A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）（2）都正确 D．（1）（2）都不正确

（江苏省竞赛试题）

11.已知a,b,c是非零有理数，且abc0，求

12.已知a,b,c,d是有理数，ab9,cd16，且abcd25，求badc的值.

（希望杯邀请赛试题）

ababbcbccaca的值.

B级

1.若2x5，则代数式

x5x5x22xxxab的值为 .

111的值(a1)(b1)(a2)(b2)(a2002)(b2002)22.已知a1ab20 ，那么1为 .

3.数a在数轴上的位置如图所示，且a12，则3a7 .

（重庆市竞赛试题）

4.若ab0，则

aabbabab的值等于

（五城市联赛试题）

5.已知(x5)2y2y60，则y21xyx2x3 . 5（希望杯邀请赛试题）

6.如果0p15，那么代数式xpx15xp15在p≤x≤15的最小值（ ） A.30 B.0 C.15 D.一个与p有关的代数式 7.设k是自然数，且kab0，则

aa12等于（ ） bb A.3 B.2 C.332 D.2 kk（创新杯邀请赛试题）

8.已知0a4，那么a23a的最大值等于（ ）

A．1 B．5 C．8 D．9

（希望杯邀请赛试题）

9.已知a,b,c都不等于零，且xabcabc，根据a,b,c的不同取值，x有（ ） abcabcA．唯一确定的值 B．3种不同的值 C．4种不同的值 D．8种不同的值 10.满足abab成立的条件是（ ）

A．ab0 B．ab1 C．ab0 D．ab1

（湖北省黄冈市竞赛试题）

11.有理数a,b,c均不为0，且abc0，设xabcbcbcab，试求代数式

x1999x2000的值.

（希望杯邀请赛训练题）