高中数学_高考复习二项式定理教学设计学情分析教材分析课后反思

《高考复习二项式定理》教学设计

一、【考纲要求】

1．能用计数原理证明二项式定理；

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

考纲解读：

1.掌握二项式定理和二项展开式的性质。

2.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项等相关问题。

3.二项展开式的通项公式是高考热点。本节在高考中一般以选择题或填空题形式出现，分值5分，属容易题。

二、【知识网络】

三、【考点梳理】

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一、二项式定理

公式

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkkCnabnn+Cnb(nN*)叫做二项式定理。其中

kCn(k0,1,2,,n)叫做二项式系数。

knkkTk1Cnab叫做二项展开式的通项，它表示第k1项。

要点诠释：

二项展开式的通项公式

knkkTk1Cnab(k0,1,2,,n)集中体现了二项展开式中的指数、项

数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项及其系数中有着广泛的应用。使用时要注意：

（1）通项公式表示的是第“k+1”项，而不是第“k”项；

（2）通项公式中a和b的位置不能颠倒；

（3）展开式中第k+1项的二项式系数

Cnk与第k+1项的系数，在一般情况下是不相同

的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心以防出错。

二、二项展开式的特点

(1)项数为n+1项。

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n。

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；

字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到n。

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三、二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。

②单调性：当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数

n1Cn2n1Cn2nCn2最大；

当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大。

③二项式系数之和为2，即

n012CnCnCnnCn2n。

其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即

024135CnCnCnCnCnCn2n1

要点诠释：

nkk1．对于二项式定理的构成，展开式中含ab的项的系数可理解为从n个相同的a+b

中先取出k个b，有

Cnk种不同取法，再从剩下的n-k个括号中取出n-k个a，有

knkkCnCnCknnkCnk种方

法，据分步计数原理，共有的项的系数.

nkk种不同方法数，该方法数就对应着展开式中含ab2. 二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别是：它们是完全不同的两个概念。二项式系数的指

012Cn,Cn,Cn,n,Cn，它只与各项的项数有关，而与a,b的值无关；而项的系数是

指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a,b的值有关。

四、【典型例题】

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题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数

124x【例1】在二项式

(x)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的

有理项和二项式系数最大的项.

【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。

124x124x【解析】

(x)n的展开式的通项为

kTk1Cn(x)nk()k

010111212Cn()，Cn()，Cn()222 前三项的系数为

110102122CnCn()Cn()222∴n=8 ∴

通项化简为

Tk1C(x)k88k3k1k16(4)C()x4(0k8,kZ)22x

1kk8设第k+1项为有理项，则k是4的倍数，所以k=0，4，8.

351xT98，256x2.

有理项为T1=x4，T5=

T5∵n=8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数

35x8

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最大且为

T5高三一轮复习学案步步为营

题型二 求展开式中各项系数之和

712xa0a1xa2x2【例2】已知

a7x7,求：

①a1a2a7,

②a1a3a5a7,

③a0a2a4a6,

④a0a1a7.

【思路点拨】二项展开式求各项系数和或部分系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决。

【解析】令x=1,得

a0a1a7(12)71.

令x=-1得

a0a1a2a737

（1）a0=1.a1a2a72

137a1a3a5a7=10942（2）两式相减除2得，。

1+37a0a2a4a6=10932（3）两式相加除2得，

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（4）展开式中，a0，a2，a4，a6都大于零，而a1，a3，a5，a7都小于零

a0a1a2a7=a0a1a7372187

变式训练 设

1a0

(2)a1a3a523x100a0a1xa2x2a100x100,求：

a99

2(3)a0a2a4a100a1a3a5a992

(4)a0a1a2a100

【总结升华】

赋值法在二项式定理中的应用是高考常考的内容，二项式定理实质是关于a,b,n的恒等式，除了正用、逆用这个恒等式，还可根据所求系数和的特征，让a,b取相应的特殊值，至于特殊值a,b如何选取，视具体问题而定。

三、可化归为二项式定理的问题

254【例3】1在(xx1)(x1)的展开式中，含x项的系数是

A．－25 B．－5 C．5 D．25

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2(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数是

D．60

A．10 B．20 C．30

（3）在(x23x2)5的展开式中，x的系数为_________。

4(x23x2)5[x(x3)2]5x5(x3)5...C5x(x3)2425【解析】（3）法一：

上式中只有

4C5x(x3)24中含有x的项，

4C5324240x∴所求原展开式中的系数是。

法二：利用求解组合应用题的思路

注意到

(x23x2)5(x23x2)(x23x2)5个因式

25(x3x2)∴ 欲求展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，

其余四个因式都取常数2即可。

∴ 原展开式中x

144C(3x)C2240x 54的一次项为

∴ 所求原展开式中x的系数为240；

【总结升华】多项展开式中某一项系数的主要求法：

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（1）两次利用二项展开式的通项公式；

（2）借助求解组合应用题的思想解决，但注意分清楚类，不重不漏。对于此类题目，应用通项公式的方法较繁琐，在应试过程中，采用组合的思想解决问题更便捷高效，学生应重点掌握。

五、【定时检测】

1.在(1x3)(1x)6的展开式中，x5的系数为_________。12.2017.全国卷12(1x)6的展开式中，x2的系数为______。x23.2018.全国卷(x2+)5的展开式中，x4的系数为_________。x5.在(xy)(xy)8的展开式中，x2y7的系数为_________。6.(12x3x2)6的展开式中x5项的系数为_________。4.2016.全国卷(2xx)5的展开式中，x3的系数为_________。7.2017.全国卷在(xy)(2xy)5的展开式中，x3y3的系数为____。

《高考复习二项式定理》学情分析

学生在高二的学习和高三的自主复习，已经基本掌握了二项式定理的基本内容，对于通项公式比较熟悉，二项式系数的性质也有所了解。

本节课作为一节高三一轮复习课，主要从应试的角度出发，要求学生掌握如何应用组合的思想解决展开式的系数问题。此种方法比之前所掌握的通项公式的方法更便捷高效，学生应重点掌握，从而培养学生观察、分析、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。

《高考复习二项式定理》效果分析

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本节课教学方法的多样化和教学手段的现代化。积极采用现代教育方法和手段，在课程教学时理论联系实际，教师在讲授时，运用多媒体课件、网络教学资源等现代化手段，适时示范，使枯燥乏味的课生动具体，提高了课堂教学效果。

通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面可能会出现的结果：

1、学生对于二项式定理系数求解问题能够运用组合思想很轻松地掌握。

2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。

3、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。

《高考复习二项式定理》教材分析

二项式定理是选修2—3第一章第3节的内容。它是解决高次多项式问题的有力工具。在函数、数列、不等式证明等问题中时常会碰到高次多项式的问题，二项式就是解决该类问题的重要工具之一。

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二项式定理其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及修概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律；

（2）能够利用二项式定理对给出的二项式进行正确的展开。

难点：

二项式定理的形成过程，以及二项式定理与计数原理的关系。

高2016级________班 姓名__________

《高考复习二项式定理》评测练习

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一、【考纲要求】

1．能用计数原理证明二项式定理；

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二、【知识网络】

三、【考点梳理】

一、二项式定理

nab_________________________叫做二项式定理。其中C公式

kn(k0,1,2,,n)叫做__________。Tk1______叫做二项展开式的通项，它表示第k1项。

二、二项展开式的特点

(1)项数为_______项。

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为____。

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(3)字母a按_______排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；

字母b按_______排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到n。

三、二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即__________。

②单调性：当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数______最大；

当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数_______，______相等，且最大。

③二项式系数之和为________，即____________________________。

其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，

024135CnCnCnCnCnCn_______。即

四、【典型例题】

题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数

124x【例1】在二项式

(x)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的

有理项和二项式系数最大的项.

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题型二 求展开式中各项系数之和

【例2】已知

12x7a0a1xa2x2a7x7,求：

①a1a2a7,

②a1a3a5a7,

③a0a2a4a6,

④a0a1a7.

变式训练 设

23x100a20a1xa2xa100x100,求：

1a0

(2)a1a3a5a99

(3)a20a2a4a100a1a3a5a992

(4)a0a1a2a100

三、可化归为二项式定理的问题

【例3】

1在(x2x1)(x1)5的展开式中，含x4项的系数是13



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A．－25 B．－5 C．5 D．25

2(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数是

D．60

A．10 B．20 C．30

（3）在(x23x2)5的展开式中，x的系数为_________。

五、【定时检测】

1.在(1x3)(1x)6的展开式中，x5的系数为_________。

12.2017.全国卷12(1x)6的展开式中，x2的系数为______。x

23.2018.全国卷(x2+)5的展开式中，x4的系数为_________。x

4.2016.全国卷(2xx)5的展开式中，x3的系数为_________。

5.在(xy)(xy)8的展开式中，x2y7的系数为_________。

6.(12x3x2)6的展开式中x5项的系数为_________。

7.2017.全国卷在(xy)(2xy)5的展开式中，x3y3的系数为____。

六、【课堂小结】

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七、【课后反思】

《高考复习二项式定理》课后反思

二项式定理这一节是高三一轮复习中第十章概率、变量间的相关关系中的第三节。二项展开式的通项公式是高考热点。本节在高考中一般以选择题或填空题形式出现，分值5分，属容易题。

在高三的复习课中，对于二项式定理的内容的复习，我采用的方法是：先设计导学案，其中包括对这部分内容知识点的总结，解题方法的总结，常见的题目类型及例题，近几年来高考中对这部分的考察内容；然后在课前把导学案发给学生，督促学生认真完成，实在不会的地方可以查找资料，或先与同学进行讨论；在上课前收齐导学案进行批改，对学生存在的问题做到心中有数，上课时对大多数同学存在的问题重点讲解及时补缺；课后要求学生对于自己的导学案进行完善，把课前没有做或做错的题目做完，然后再进行收阅。

在本节课的教学设计中，我很好的把握了重点和难点，通过简单例子反复强调二项展开式的特点和通项公式的特点及功能，学生理解起来很轻松。对于例题的选择也是结合近几年的高考特点由浅入深，总体的设计还比较满意。在教学的过程中，我发现学生经过练习，对于根据二项式通项求二项展开式中的特定项这一类型掌握得比较好，而且这一类型的题目考察得比较多，形式比较固定。但对于可转化为二项式定理的题目，如三项式展开，多项式相乘，部分学生掌握得不是很好，所以本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，通过教学过程中我的观察，以及课后与学生的交流，我认为原因主要是平时对这两种类型的练习比较少，课本或资料中关于这两种类型的题目也比较少，而且这两种类型需要学生自己的观察与思考，不仅仅是套用公式。让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般

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的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程。

因此，对于二项式定理的复习，再设计或找一些比较典型的多项式展开的题目给学生练习，争取让学生能掌握好二项式定理的内容，在考试时在这一部分拿上分。在以后的复习中，我们一方面要加强对基础知识的复习，另一方面也要加强对于学生的思维能力的训练，引导学生主动思考而不是只听教师讲，然后进行简单的模仿就够了，从而导致复习哪一部分的内容时题目会做，过一段时间就又不会做题目的现象，真正提高学生的做题能力和思维能力。

《高考复习二项式定理》课标分析

一、考纲要求

1．能用计数原理证明二项式定理；

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二、考纲解读

1.掌握二项式定理和二项展开式的性质。

2.会用二项式定理的知识解决系数和、常数项等相关问题。

3.二项展开式的通项公式是高考热点。本节在高考中一般以选择题或填空题形式出现，分值5分，属容易题。

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