圆的认识知识点总结

圆的定义：

圆就是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫作圆。在一个个平面内，线段oa拖它紧固的一个端点o转动一周，另一个端点a随之转动所构成的图形叫作圆，紧固的端点o叫作圆心，线段oa叫作半径。 相关定义:

1在同一平面内，至定点的距离等同于定长的点的子集叫作圆。这个定点叫作圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

2连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

3通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，字母则表示为d。直径所在的直线就是圆的对称轴。4相连接圆上任一两点的线段叫作弦。最久的弦就是直径,直径就是过圆心的弦。

5圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

6由两条半径和一段弧围起的图形叫作扇形。7由弦和它面元的一段弧围起的图形叫作弓形。8顶点在圆心上的角叫作圆心角。

9顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10圆周长度与圆的直径长度的比值叫作圆周率。它就是一个无穷不循环小数，通常用π则表示，π=3.14159265……在实际应用领域中，通常挑π≈3.14。11圆周角等同于相同弧所对的圆心角的一半。

12圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。 圆的子集定义：

圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。 圆的字母则表示：

以点o为圆心的圆记作“⊙o”，读作o”。圆―⊙；

半径―r或r（在环形圆中外环路半径则表示的字母）；弧―⌒；直径―d；

扇形弧长―l；周长―c；面积―s。 圆的性质:

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也就是中心对称图形，其对称中心就是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理

①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中存有一组量成正比，那么他们所对应的其余各组量都分别成正比。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式：θ=(l/2πr)×360°=180°l/πr=l/r(弧度)。

即为圆心角的度数等同于它面元的弧的度数；圆周角的度数等同于它面元的弧的度数的一半。③如果一条弧的短就是另一条弧的2倍，那么其面元的圆周角和圆心角就是另一条弧的2倍。（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心就是三角形各内角平分线的交点，至三角形三边距离成正比。

③r=2s△÷l（r：内切圆半径，s：三角形面积，l：三角形周长）。④两二者切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆o中的弦pq的中点m，过点m任作两弦ab，cd，弦ad与bc分别交pq于x，y，则m为xy之中点。

（4）如果两圆平行，那么相连接两圆圆心的线段（直线也可以）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度数等同于它所缠的弧的度数的一半。（6）圆内角的度数等同于这个角所对的弧的度数之和的一半。（7）圆外角的度数等同于这个角所封盖两段弧的度数之高的一半。（8）周长成正比，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积小。 点、线、圆与圆的位置关系： 点和圆边线关系

①p在圆o外，则po>r。②p在圆o上，则po=r。③p在圆o内，则0≤po直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。ab与圆o相离，d>r。②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。ab与⊙o相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相

切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。ab与⊙o相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）圆和圆位置关系①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。设两圆的半径分别为r和r，且r〉r，圆心距为p，则结论：外离p>r+r；外切p=r+r；内含p?圆的计算公式:1.圆的周长c=2πr=或c=πd2.圆的面积s=πr23.扇形弧长l=圆心角（弧度制）×r=n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积s=nπr2/360=lr/2（l为扇形的弧长）5.圆的直径d=2r6.圆锥侧面积s=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径r=n°/360°l（l为母线长）（r为底面半径）圆的方程:1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点o（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。2、圆的一般方程：方程x2+y2+dx+ey+f=0可变形为（x+d/2）2+（y+e/2）2=（d2+e2-4f）/4.故有：①当d2+e2-4f>0时，方程表示以(-d/2,-e/2)为圆心，以

（√d2+e2-4f）/2为半径的圆；②当d2+e2-4f=0时，方程表示一个点（-d/2，-e/2）；③当d2+e2-4f<0时，方程不表示任何图形。3、圆的参数方程：以点o（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,（其中θ为参数）圆的端点式：若已知两点a（a1,b1）,b（a2,b2），则以线段ab为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。经过圆

x2+y2=r2上一点m（a0，b0）的切线方程为a0x+b0y=r2在圆（x2+y2=r2）外一点m（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为a,b，则a,b两点所在直线的方程也为a0x+b0y=r2。?圆的历史:圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子――圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即

π≈3.14.如果用c表示圆的周长：c=πd或c=2πr.《周髀算经》上说\\周三径一\\，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现\\周三径一\\只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π=3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与

3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。