【2013延庆一模】北京市延庆县2013届高三一模统考理科数学试卷

数学（理科） 2013年3月

本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A{1,3,m}，B{1,m}，ABA，则m

A．0或3 B．0或3 C．1或3 D．1或3 log4x,x012.已知函数f(x)x，则f[f()] 163,x0A. 9 B.19 C.9 D.19 3. 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是

A．420 B．560 C．840 D．20160 4.在极坐标系下，圆C:24sin30的圆心坐标为 A.(2,0) B.(2,5.已知双曲线

x222) C.(2,) D. (2,22)

ab相同，则双曲线的渐近线方程为

y221(a0,b0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y16x的焦点

A．y32x B．y32x C．y33x D．y3x

6.已知直线l1:ax(a1)y10，l2:xay20，则“a2”是“l1l2” A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是 A.2 B. 22 C.3 D. 23

8.已知函数f(x)axbx2(a0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则 A．当a0时，x1x20，x1x20 B. 当a0时，x1x20，x1x20 C. 当a0时，x1x20，x1x20 D. 当a0时，x1x20，x1x20

32（7题图）

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知|a|1，|b|2，向量a与b的夹角为60，则|ab| . 10. 若复数z(m2m2)(m1)i（为虚数单位）为纯虚数， 其中mR，则m .

11. 执行如图的程序框图，如果输入p6，则输出的S . 12.在ABC中，a,b,c依次是角A,B,C的对边，且bc. 若a2,c23,A6，则角C . 13.如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O， 交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E. 则

BEBC .

（13题图）

0 [02 ] 对应的线 4 14. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间,4（14题

段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后(n1)，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为f(n)，

则f(3) ；f(n) .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分13分） 已知f(x)3sin2x2sinx.

2（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若x[0,6]，求f(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值．

16.（本小题满分14分）

P 60 ，侧面PAB是边长为2如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，ABC的正三角形，侧面PAB底面ABCD. M A Q B D C (Ⅰ)设AB的中点为Q，求证：PQ平面ABCD； （Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值； （Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角

MBDC的大小为60，求

CMCP的值.

17. （本小题满分13分）

空气质量指数PM2.5 (单位:g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测,获得PM2.5甲城市 乙城市 日均浓度指数数据如茎叶图所示:

3 0 2 2 4 3 2 0 4

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内 4 8 9 6 5 5

6 1 5 1 6 4

哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)

7 8 7 6 9 7

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 8 2 3 0 8 8 0 7 空气质量类别均为优或良的概率；

9 8 9 1 8 0 9

(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数,

求X的分布列及数学期望. 18. （本小题满分13分） 已知函数f(x)2alnx212xax(aR).

2(Ⅰ) 讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）当a0时，求函数f(x)在区间[1,e]的最小值. 19. （本小题满分14分）

已知动点P(x,y)与一定点F(1,0)的距离和它到一定直线l:x4的距离之比为(Ⅰ) 求动点P(x,y)的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知直线l:xmy1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l:x4的垂线，垂足依次为点D、E.连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 20. （本小题满分13分）

12.

A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：

(1)对任意x[1,2]，都有(2x)(1,2) ；

(2)存在常数L(0L1)，使得对任意的x1,x2[1,2]，都有|(2x1)(2x2)| L|x1x2|.

(Ⅰ)设(x)31x,x[2,4]，证明：(x)A；

(Ⅱ)设(x)A，如果存在x0(1,2)，使得x0(2x0)，那么这样的x0是唯一的； (Ⅲ)设(x)A，任取xn(1,2)，令xn1(2xn),n1,2,,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式|xkpxk|

Lk11L|x2x1|成立.

高三数学（理科答案） 2013年3月

一、选择题：(5840)

B B C D D A D B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.7 10.2 11.14.

3132 12.120 13.

12

1357jn,,,； n2（这里j为[1,2]中的所有奇数） 22222三、解答题：(5630) 15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3sin2xcos2x1 2sin(2x T 由  226)1 „„„„4分

，f(x)最小正周期为. „„„„5分

2232k2x622k(kZ)，得 „„„„6分

2k2x32k „„„„7分

3kx6k „„„„8分

f(x)单调递增区间为[3k,[6,k](kZ). „„„„9分 ]， „„„„10分

（Ⅱ）当x[0,6]时，2x662f(x)在区间[0,6]单调递增， „„„„11分

[f(x)]minf(0)0，对应的x的取值为0. „„„„13分

16.（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明：因为侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，所以PQAB， 因为侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCDAB，PQ侧面PAB， 所以PQ平面ABCD. „„„3分（Ⅱ）连结AC，设ACBDO，建立空间直角坐标系Oxyz，

3212则O(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，D(3,0,0)，P(,,3)，„„„5分

PD(331,,3),平面ABCD的法向量m(0,0,1)， 22设斜线PD与平面ABCD所成角的为，

m·PD330|则sin|cosm,PD||. „„„8分

10271|m||PD|344（Ⅲ）设CMtCP(32t,32t,3t)，则M(32t,32t1,3t)，

BM(32t3,32t1,3t)，DB23(1,0,0)， „„„10分

DB0x0， 设平面MBD的法向量为n(x,y,z)，则nDBn·33nMBn·MB0(t3)x(t1)y3tz0，

22取z3，得n(0,6t3t2,3)，又平面ABCD的法向量m(0,0,1)„„„12分

m·n所以|||cosm,n||cos60|，所以|m|n|33(256t3t2)212， 解得t2（舍去）或t

25.所以，此时

CMCP. „„„14分

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好.

„„„2分

（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为

101523， „„„4分

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为

51513， „„„6分

231329在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.

„„„8分

(Ⅲ)X的取值为0,1,2，

C5C10C21502

11 1021 „„„9分

C5C10C21520P(X0)37，P(X1)C5C10C215，P(X0)221

X的分布列为：

X P

0

37371

10212212

10212

23221

„„„13分

数学期望EX0

18. （本小题满分13分）

解：函数f(x)的定义域为(0,)，

xax2ax22 „„„1分

(Ⅰ)f(x)(x2a)(xa)x， „„„4分

（1）当a0时，f(x)x0，所以f(x)在定义域为(0,)上单调递增； „5分

（2）当a0时，令f(x)0，得x12a（舍去），x2a， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下： 此时，f(x)在区间(0,a)单调递减， 在区间(a,)上单调递增；

„„„7分

（3）当a0时，令f(x)0，得x12a，x2a（舍去）， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下： 此时，f(x)在区间(0,2a)单调递减， 在区间(2a,)上单调递增.

„„„9分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知当a0时，f(x)在区间(0,2a)单调递减，在区间(2a,)上单调递增.

e2 „„„10分

（1）当2ae，即a时，f(x)在区间[1,e]单调递减，

12e； „„„11分

2所以，[f(x)]minf(e)2a2ea（2）当12ae，即e2a12时，f(x)在区间(1,2a)单调递减，

在区间(2a,e)单调递增，所以[f(x)]minf(2a)2a2ln(2a)，„„„12分 （3）当2a1，即12a0时，f(x)在区间[1,e]单调递增， 12所以[f(x)]minf(1)a

19. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意得

. „„„13分

(x1)y|x4|2212，化简并整理，得

x24y231.

所以动点P(x,y)的轨迹C的方程为椭圆

3232x24y23321. „„„3分

32（Ⅱ）当m0时，A(1,)、B(1,)，D(4,)、E(4,)

直线AE的方程为：2x2y50，直线BD的方程为：2x2y50，

5,y0，直线AE、BD相交于一点(,0). 225假设直线AE、BD相交于一定点N(,0). „„„5分

2方程联立解得x5证明：设A(my11,y1)，B(my21,y2)，则D(4,y1)，E(4,y2)，

xmy1由x2y2消去x并整理得(3m24)y26my90，显然0，

134由韦达定理得y1y2因为NA(my136m3m42，y1y293m42. „„„7分

3,y1)，NE(,y2)， 22333所以(my1)y2y1my1y2(y1y2)

2229m36m 0 „„„11分 223m423m4所以，NA//NE，所以A、N、E三点共线， „„„12分 同理可证B、N、D三点共线，所以直线AE、BD相交于一定点N(,0).14分

2520. （本小题满分13分）

解：(Ⅰ)对任意x[1,2]，(2x)312x,x[1,2]，

33(2x)35，133352，所以(2x)(1,2).

对任意的x1,x2[1,2]， |(2x1)(2x2)||x1x2|2312x12312x11x21x232，

3312x12312x11x231x2，

223所以0＜

312x122312x11x21x2322，

令

3212x1312x11x231x2＝L，0L1，

|(2x1)(2x2)|L|x1x2|，所以(x)A. „„„5分 (1,2),x0x0使得x0(2x0)，x0(2x0)则 (Ⅱ)反证法:设存在两个x0,x0

由|(2x0)(2x0)|L|x0x0|，得|x0x0|L|x0x0|，所以L1，矛盾，故结论成立.

„„„8分

////(Ⅲ)x3x2(2x2)(2x1)Lx2x1， 所以|xn1xn||(2xn)(2xn1|

L|xnxn1| L|xn1xn2| „„L2n1|x2x1|

|xkpxk||(xkpxkp1)(xkp1xkp2)„„(xk1xk)|

xkpxkp1xkp1xkp2xk1xk

Lkp2x2x1Lpkp3x2x1＋„+LLk1k1x2x1Lk1(1L)1L|x2x1|1L|x2x1|. „„„13分